探索图形（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

课题 3.8 探索图形 授课者： 课型：新授 课时：第1课时 一、教材内容分析： 以学生熟悉的立方体拼搭活动为切入点，通过给正方体表面涂色的趣味任务，引导学生深入探索立体图形的空间结构规律。教材设计体现"动手操作-数据记录-规律发现"的探究路径，先让学生用棱长为1cm的小正方体拼搭不同阶数的大正方体（从①到⑤），通过涂色活动直观感知小正方体因位置不同而产生的涂色差异；继而通过系统化的数据记录表格，引导学生分类统计三面涂色、两面涂色、一面涂色和未涂色小正方体的数量，培养有序思考和数据整理能力；最后通过对比不同阶数正方体的数据变化，引导学生发现"三面涂色始终8个（顶点位置）"、"两面涂色数与棱长相关"等核心规律，帮助学生建立空间想象与代数表达之间的联系，体现从具体操作到抽象思维的认知发展过程。 二、学情分析： 学生在之前已掌握正方体的基本特征，具备拼搭立方体的操作经验，这为探索图形规律奠定了基础。然而，在从三维立体空间到二维数据记录的转换过程中，学生容易遗漏被遮挡的小正方体，对"内部未涂色"正方体的空间定位存在困难；虽然能通过实物操作获得具体数据，但自主归纳一般性规律（如n阶正方体各类小正方体数量的计算公式）的能力较弱，需要教师通过阶梯式问题引导其发现数量与棱长的函数关系；部分学生可能过度依赖实物操作而缺乏空间想象能力，在过渡到更大阶数正方体的规律推演时会产生思维障碍。教学中需通过分层任务设计和思维可视化工具，帮助学生在具身体验中建构空间观念，实现从具体认知到抽象概括的跨越。 三、核心素养目标： ①情境与问题：通过正方体涂色切割的实际情境，引导学生发现小正方体涂色面的差异，提出“如何分类和计算不同涂色面小正方体的数量”的探究问题 ②知识与技能：掌握正方体表面涂色后小正方体的分类方法，理解涂色面数量与正方体棱长的关系，能运用公式计算各类小正方体的数量 ③思维与表达：能够通过操作验证和逻辑推理，用数学语言清晰阐述小正方体涂色数量的规律和推导过程 ④交流与反思：在小组合作探究图形规律的过程中，分享不同的分类和计算方法，反思探索策略的有效性 思政元素：在图形探索中培养严谨求实的科学态度，通过空间想象渗透几何美感和创新精神 四、教学重难点： 教学重点：理解正方体表面涂色后小正方体的分类方法，掌握数量计算规律 教学难点：理解涂色面数量与棱长的关系，能进行空间想象和规律推导 五、教学准备：正方体模型、涂色小正方体教具、学习单、多媒体课件 六、学习活动设计： 教学环节一：情境导入，发现问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 活动一：课件出示一个正方体。 1.引导学生思考所有的面涂色，涂了几个面？ 2.将刚才的正方体切开，你能发现什么？ 3.那针对这些小的正方体，你想研究些什么？ 活动一： 1.学生根据课件展示，思考问题。 预设：虽然只能看到3个面，但实际是涂了6个面。 2.学生根据课件的呈现，回答问题。 预设：每个小正方体涂色面的数量是不一样的。 3.学生根据切开的正方体，尝试提出研究问题。 预设1：表面涂2个面的小正方体有多少个？ 预设2：表面涂3个面的小正方体有几个？ 通过直观演示，感悟小正方体涂色面的数量是不一样的，激发学习兴趣，培养学生提出问题的能力。 教学环节二：引导合作，探究问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 活动一：游戏初体验。 指导学生游戏初体验。 1.教师呈现打乱的9个涂色小正方体，你们能帮我复原吗？ 活动要求：2分钟，比一比哪一组的动手能力强。 2.通过刚才的这个过程，你们觉得复原简单吗？难在哪？ 教师将学生的困惑进行整理。 （1）小正方体有几种？ （2）分别在什么位置？ （3）各有多少个？ 活动二：引导学生探究活动：正方体表面涂色问题（一） 1.看来这不仅是动手问题，还是个动脑问题。 请学生拿出学习单（一）探究。 探究活动：正方体表面涂色问题（一） （1）想一想，这样的小正方体一共有几种？ （2）再想一想，不同的小正方体分别在什么位置？ （3）数一数：不同的小正方体分别有多少个？确定吗？ 提示：简要作答，第（2）题只思考不作答。 2.组织学生汇报交流，并及时给予评价和纠正。 第（1）题提示：说三种的是哪种情况没想到？ 根据学生回答板书四种分类： 3面 2面 1面 0面 第（2）题提示：注意语言规范和简洁。 3面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点上。 2面涂色的小正方体在大正方体棱的中间。 1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间。 第（3）题提示：①语言表达完整；②对于这个三层的正方体来说，每个数据是一定的吗？ 指导学生有序、分类思考。 3.带学生继续在脑中形成表象，记忆每种小正方体的位置，同桌说一说。 4.请组长将刚才复原游戏中的小正方体再打乱，小组合作，根据刚才的分析，将大正方体复原。 5.组织学生进行经验分享。 活动三：指导学生探究活动：正方体表面涂色问题（二） 1.刚才研究的是棱长为3的大正方体涂色后各个不同的小正方体的情况，如果棱长是4、5，那么不同的小方块又是怎样的情况呢？ 拿出学习单二，独立完成，或同桌小声讨论。 探究活动：正方体表面涂色问题（二） 3面涂 色的个 数 2面涂 色的个 数 1面涂 色的个 数 0面涂 色的个 数 提示：观察、想象、思考，可以在图上圈一圈，画一画，完成学习单（二）。 2.组织学生汇报交流，没写完也不要紧，带着思考来交流。 3.根据学生的回答，重点解决答案不同的问题：棱长为4的0面涂色的数量。 找两个不同答案的同学说一说理由。 根据学生的回答，课件直观呈现： 活动四：指导学生探索规律。 1.引导学生观察记录的数据，你发现了什么？ 2.根据大家的思路，小组合作分析每种小正方体数量跟棱长的关系，尝试用算式表示。完成学习单（三）。 探究活动：正方体表面涂色问题（三） 3.组织学生汇报交流2面、1面、0面涂色的小正方体的数量。 4.根据学生回答，教师提出以下问题，引发学生继续思考。 问题1：2面涂色的算式中都有12，表示什么意思？后面的因数都比棱长数少几？为什么？ 问题2：1面涂色的算式中都有6，表示什么意思？借助拆开图，观察每个面上1面涂色的拼起来是什么形状？ 问题3：0面涂色的，请结合前面的拆开图考虑，看不见的部分是什么样的图形，棱长和大正方体的棱长有什么关系？ 5.继续带学生深入分析：如果用n表示棱长，那么请尝试写一写2面、1面、0面涂色的块数，填写在学习单（三）的下面。 教师需要帮助学生书写规范。 活动一：游戏初体验。 1.学生按照活动要求，小组合作将打乱的小正方体复原。 2.学生根据刚才的操作，思考复原的过程难在哪？ 预设1：每个涂色的小方块放在哪个位置比较难。 预设2：找几个面涂色的方块比较难。 预设3：可能会看错，比如感觉是2个面涂色，实际上是3个面涂色。 活动二：探究活动：正方体表面涂色问题（一） 1.学生根据学习单（一），独立思考完成任务。 2.学生汇报。第（1）题： 预设1：按涂色面数的不同，可以分为三种。 预设2：按涂色面数的不同，可以分为四种。 第（2）题：学生上台鼠标点击并语言表达。 预设1：3面涂色的在上面的4个角和下面的4个角。 预设2：2面涂色的在大正方体的棱上。 预设3：1面涂色的在大正方体每个面的中间。 预设4：0面涂色的在大正方体的第二层的中心。 第（3）题： 预设1：因为有3面涂色的正方体都在顶点上，正方体有8个顶点，所以3面涂色的正方体就有8个。 预设2：2面涂色的每层有4个，三层就是12个。每条棱上有1个2面涂色的，12条棱就有12个。 预设3：正方体每个面上有一个1面涂色的，6个面就有6个，数量也是一定的。 预设4：①大正方体一共有3×3×3=27个小正方体，去掉前面的8个、12个、6个，还剩下1个，所以0面涂色的只有1个。②大正方体只有中间那一个小正方体是我们看不见的，所以就它是0面涂色的。 3.学生同桌交流每种小正方体所在的位置。 4.学生根据前面的分析，小组合作复原大正方体。 5.经验分享。 预设：先将小正方体分类，然后拼摆。 活动三：探究活动：正方体表面涂色问题（二） 1.学生根据要求，独立完成学习单（二），探究棱长是4、5的正方体表面的涂色问题。 2.学生汇报，订正答案。 棱长为4的正方体。 预设： 3面涂色的有8个，2面涂色的有24个，1面涂色的有24个，0面涂色的有8个（还有可能回答4个）。 棱长为5的正方体 预设： 数据分别是8、36、54、27个。 3.学生间辩论棱长为4的0面涂色的数量。 预设1：一共4×4×4=64（个），64-8-24-24=8（个） 预设2：一共四层，上面一层都能看到，下面一层也都能看到，只有中间两层看不全，两层的棱长又都能看到，所以只有中间的看不到，看不见的长、宽、高都是2，所以2×2×2=8（个）。 活动四：探索规律。 1.学生观察分析记录的数据，表达自己的想法。 预设1：3面都涂色的小正方体的数量都是8，跟几层没有关系。 预设2：其余涂色的小正方体的数应该跟层数（棱长）有关系。层数（棱长）越多，数量也越多。 2.学生小组合作，完成学习单（三）。 3.学生汇报交流。 预设1：棱长是3的正方体 2面涂色：12×1=12，1面涂色：6×1=6，0面涂色1。 预设2：棱长是4的正方体 2面涂色：12×2=24，1面涂色：6×4=24，0面涂色：2×2×2=8。 预设3：棱长是5的正方体 2面涂色12×3=36，1面涂色6×9=54，0面涂色3×3×3=9。 4.小组交流，学生汇报。 问题（1） 预设： 2面涂色的都在棱上，12表示正方体的12条棱，少的是顶点上的2个小正方体。 问题（2） 预设： 1面涂色的都在每个面上，6表示6个面，拼起来的这个面是正方形。 问题（3） 预设：0面涂色的在正中间，三幅图分别是棱长为1、2、3的正方体，这些正方体的棱长比原来的棱长少2。 5.学生继续小组合作，尝试用含有字母n的式子表示每类小正方体的数量。 预设： 棱 长 为 n 8 12×（n-2） 6×（n-2）2 （n-2）3 通过操作，引发思想和行动的冲突，激发起学生探究的欲望。 通过观察、思考、想象等活动，使学生体会分类的数学思想。 培养学生分析问题、解决问题的能力。 在形成表象的过程中，初步培养学生的空间观念。 通过列表、想象、合作讨论、知识迁移等活动，进一步感知认识和理解正方体的特征，积累数学活动经验，培养推理意识。 借助直观演示，提高学生的空间观念。 经历“找规律”的全过程，渗透数形结合的数学思想，获得“化繁为简”的解决问题的经验，促进学生总结概括、推理意识和符号表达水平的提高。 通过3个问题辨析将知识的掌握从感性上升到理性，掌握知识的本质，为后续解决变式问题打好基础。 教学环节三：辅导练习，解决问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 1.基础练习 将一块1dm3的正方体铁块的表面涂上油漆，然后切割成1cm3的小正方体，在这些小正方体中，一面涂油漆的小正方体共有多少块？ 2.变式练习 将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，三面涂色的有多少块？两面涂色的有多少块？一面的呢？ 3.提升练习 把下图的表面涂色后，小正方体涂色的面数有哪些情况？分别有多少块？ 1.基础练习 预设：相当于解决棱长是10的大正方体中1面涂色块数的问题。直接带入公式： 6×（10-2）2=384（块） 2.变式练习 预设： 3面涂色小正方体依然在顶点上，共8个。 2面涂色的依然在棱上，每条长上有6-2=4块，每条宽上有5-2=3块，每条高上有4-2=2块。共有4×（4+3+2）=36（块） 1面涂色的面上，前面除了棱上还有（4-2）×（6-2）=8块，右面除了棱上还有（4-2）×（5-2）=6（块），上面除了棱上还有（5-2）×（6-2）=12（块）。共有2×（8+6+12）=52（块） 3.提升练习 预设： 5面涂色的1块， 4面涂色的6块， 3面涂色的2块， 2面涂色的3块， 1面涂色的1块。 扎实基础，培养学生应用规律解决问题的能力。 培养学生灵活运用知识解决问题的能力，进一步培养推理意识。 进一步培养学生的空间观念和推理意识。 教学环节四：引导反思，提升问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 引导学生谈谈收获。 1.通过这节课的学习，你有什么收获？ 2.在本节课整个探究的过程，你觉得哪些数学能力比较重要？ 3.课下请同学们用学到的知识数一数下面这个几何体中各小正方体的数量吧！ 一：学生思考并进行归纳总结。 预设1：棱长是3、4、5的正方体每种小正方体的数量是不同的。 预设2：棱长是n的正方体，每种小正方体的数量是有规律的。 二：学生回忆，尝试说一说。 预设1：0面涂色的数量，能“想象”还是很重要的。 预设2：在最后的环节，归纳总结的能力也是很重要的。 三：学生课下尝试。 回顾知识，培养学生总结概括的能力。 提供继续学习资源，培养学生善于学习的能力。 七、作业设计： 基础作业：完成简单的正方体涂色问题计算，如棱长为3或4的正方体，巩固分类和公式应用 巩固作业：解决长方体表面涂色问题，进行知识迁移和应用 提升作业：完成复杂组合体的涂色面分析，如不规则图形，进行知识的综合运用和拓展 八、板书设计： 探索图形 3面涂色 的个数 2面涂色 的个数 1面涂色 的个数 0面涂色 的个数 8 12×（3-2）=12 6×（3-2）2 =6 1 8 12×（4-2）=24 6×（4-2）2 =24 （4-2）3=8 8 12×（5-2）=36 6×（5-2）2 =54 （5-2）3=27 棱长为n 8 12×（n-2） 6×（n-2）2 （n-2）3 九、教学反思与改进： 成功之处：本节课通过正方体涂色操作有效激发了学生的学习兴趣，学生在切割模型中积极参与分类探索，能熟练应用公式计算涂色小正方体数量。小组合作有效促进了规律发现的多样化，学生能清晰表达推导过程。空间想象能力的培养增强了学习深度。 不足之处：部分学生对公式推导的理解不够深入，在复杂图形中应用规律存在困难。个别学生空间想象能力较弱，在分类判断上需要加强。 改进措施：增加更多立体模型的直观演示，通过多层次操作强化空间观念；设计公式推导的专项训练，提高理解能力；提供更多生活化案例，增强知识的实用性和趣味性。 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