8.1 成对数据的统计相关性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．下面变量之间是相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 解析：C　[C是相关关系，A，B，D是函数关系．] 2．某校学生科研兴趣小组为了解1～12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是(　　) A．肺活量　　　 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 解析：A　[对于A，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确； 对于B，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误； 对于C，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误； 对于D，BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误．] 3．两个变量负相关时，散点图的特征是(　　) A．点散布在从左下角到右上角的区域内 B．点散布在某带形区域内 C．点散布在某圆形区域内 D．点散布在从左上角到右下角的区域内 解析：D　[有负相关关系的各点整体呈递减趋势，因此点应该散布在从左上角到右下角的区域内．] 4．对两个变量x，y进行线性相关检验，得到线性相关系数r1＝0.785 9，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 解析：C　[由线性相关系数r1＝0.785 9＞0知x与y正相关，由线性相关系数r2＝－0.956 8＜0知u，v负相关，又|r1|＜|r2|，所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．] 5．(多选)以下各对变量成正相关的是(　　) A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．电瓶车的质量和行驶每千米的耗电量 解析：CD　[对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的质量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．] 6．(多选)下列关于相关系数r的说法正确的是(　　) A．相关系数r越大两个变量间相关性越强 B．相关系数r的取值范围为[－1,1] C．相关系数r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关 D．相关系数r＝1时，样本点在同一直线上 解析：BCD　[根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断可得错误的结论． 对于相关系数r，有以下结论：①当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．②r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 对于A，当r<0时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得－1≤r≤1，所以B正确． 对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确．故选BCD.] 7．下列两个变量之间具有相关关系的是　______　.(填序号) ①正方形的边长a和面积S； ②一个人的身高h和右手一拃长x； ③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t； ④一个的身高h和他的体重x. 解析：对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不是相关关系；对于②，一般情况下，一个人的身高h和右手一拃长x是正相关关系；对于③，真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是相关关系；对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的体重x是正相关关系． 答案：②④ 8．已知求得甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98,0.63，其中　________　(填甲、乙、丙中的一个)组数据的线性相关性最强． 解析：两个变量y与x的相关系数的绝对值越接近于1，它的线性相关性越强．在甲、乙、丙中，所给的数值中|－0.98|是最大的值，即乙的线性相关性最强． 答案：乙 9．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，则y与x的相关系数为　________　. 解：法一：＝1.5，＝1， . 法二：观察四个点，发现其在一条单调递减的直线上，故y与x的相关系数为－1. 10．近年来，“共享汽车”在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解“共享汽车”在M省的发展情况，M省某调查机构从该省随机抽取了5个城市，分别收集和分析了“共享汽车”的A，B，C三项指标数据xi，yi，zi(i＝1,2,3,4,5)，数据如表所示： 城市编号i 1 2 3 4 5 A指标xi 4 6 2 8 5 B指标yi 4 4 3 5 4 C指标zi 3 6 2 5 4 利用向量夹角来分析y与x之间及z与x之间的相关关系． 解析：由已知得＝＝5，＝＝4，＝＝4，将题表中x，y，z的相关数据分别减去，，，记a＝(x1－，x2－，x3－，x4－，x5－)，b＝(y1－，y2－，y3－，y4－，y5－)，c＝(z1－，z2－，z3－，z4－，z5－)．则a＝(－1,1，－3,3,0)，b＝(0,0，－1,1,0)，c＝(－1,2，－2,1,0)．于是cos〈a，b〉 ＝ ＝＝≈0.95， cos〈a，c〉＝ ＝＝≈0.85，所以y与x，z与x正相关，又cos〈a，b〉>cos〈a，c〉，则y与x之间的相关性比z与x之间的相关性强． 11．某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系： x 2 4 6 8 y 30 40 50 70 x与y之间是否具有线性相关关系？若有，判断相关性的强弱． 解：画出散点图如图所示，由图可知x，y有线性相关关系． ＝≈0.982 7. 故x与y之间具有很强的正相关关系． [能力提升] 12．广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里．自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”．经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升．据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类．为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植被覆盖面积(单位：平方公里)和这种鸟的数量. i 1 2 3 4 5 xi 0.171 0.152 0.192 0.189 0.196 yi 12 10 16 14 18 (1)求广阳岛这种鸟数量的估计值(这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，5)的相关系数(精确到0.01)； (3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大．为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数，r＝ 解析：(1)由已知得样本平均数＝＝14，从而广阳岛这种鸟数量的估计值为14×50＝700. (2)＝0.18，＝14， (xi－)(yi－)＝0.009×2＋0.028×4＋0.012×2＋0.016×4＝0.218， 故样本的相关系数r≈≈0.94 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样． 理由如下：由(2)知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计． 答案：(1)700 (2)0.94 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样，理由见解析 13．现随机抽取了某校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如表： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学考试成绩是否具有显著的线性相关关系？ 解：＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， ＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68， 所以，相关系数为 r＝ ≈0.750 6， 故两次数学考试成绩有显著的线性相关关系． [素养培优] 14．为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸： 抽取 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物 资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取 次数 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物 资尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 其中xi为抽取的第i个医疗物资的尺寸，i＝1,2,3，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|＜0.25，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)． (2)一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ 附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝ . 解：(1)由样本数据得(x，i)(i＝1,2,3，…，16)的相关系数为 ＝≈－0.18； 由于|r|＜0.25，因此可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． (2)由于＝9.97，s≈0.212， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查． 学科网（北京）股份有限公司 $