7.4.2 超几何分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，如下几种变量中不服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的球的最大号码 B．Y表示取出的球的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分 D．η表示取出的黑球个数 解析：ABC　[对于A，X的可能取值为4,5,6,7,8,9,10，不是从0开始的连续自然数，故不服从超几何分布；同理BC也不服从；D中η和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且η的取值为0,1,2,3,4，故服从超几何分布．] 2．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则事件{X＝k}中含有的基本事件个数为(　　) A．CC　　　　　 B．CC C．CC D．CC 解析：B　[事件{X＝k}表示从含M件次品的N件产品中，任取n件产品，其中恰有k件次品，则必有n－k件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件．] 3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A.　　 B.　　 C.　 　D. 解析：B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.] 4．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用X表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：C　[X服从超几何分布，故P(X＝k)＝，k＝4.] 5．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是(　　) A.　　 B.　　 C.　 　D. 解析：D　[法一：设取出的白球个数为离散型随机变量X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝＝.故至少有2个白球的概率为. 法二：设A＝“至少有2个白球”，则＝“至多有1个白球”，所以P(A)＝1－P()＝1－－＝1－－＝＝.] 6．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取两个，则概率为的事件是(　　) A．没有白球 B．至少有一个白球 C．至少有一个红球 D．至多有一个白球 解析：B　[＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．] 7．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试．已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为　__________　. 解析：由题意可得X＝0,1,2,3.则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案： 8．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列. ξ＝k 0 1 2 P(ξ＝k) 　______　 　______　 解析：由题意可知ξ～H(100,2,20)． 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝. 答案：　 9．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝　________　，E(ξ)＝　________　. 解析：P(ξ＝2)＝＝＝⇒C＝36，所以m＋n＋4＝9 P(一红一黄)＝＝＝＝⇒m＝3， 所以n＝2，则m－n＝1. P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝0)＝＝＝， ∴E(ξ)＝×2＋×1＋×0＝＋＝， 答案：1　 10．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列． 解：由题意知X服从超几何分布． X的所有可能取值为0,1,2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 11.已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36,24,24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量调查． (1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？ (2)若抽取的7人中有3人睡眠不足，4个睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望． 解：(1)由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人，2人，2人． (2) 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [能力提升] 12．盒内有大小、形状完全相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解：(1)P＝1－＝. (2)取出的3个球得分之和恰为1分包含的情况有两种：①1红2白，②2红1黑．(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则取出的3个球的得分之和恰为1分的概率为，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (3)ξ的可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3. 故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 13.春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》．妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影． (1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率； (2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望． 解析：(1)设事件A2姐姐恰好看了2部贺岁片． 则P(A2)＝＝，所以姐姐恰好看了2部贺岁片的概率为. (2)设Ai表示姐姐看了i部贺岁片(i＝0,1,2)．Bi表示弟弟看了i部贺岁片(i＝0,1,2)． 则知P(Ai)＝，P(Bi)＝. 知P(A0)＝P(B0)＝＝. P(A1)＝P(B1)＝＝，P(A2)＝P(B2)＝.随机变量ξ表示姐弟二人观看贺岁片的总数ξ的取值有0,1,2,3,4.∴P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)P(B0)＝×＝，P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝P(A0)·P(B1)＋P(A1)·P(B0)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A2B0)＋P(A1B1) ＝P(A0)·P(B2)＋P(A2)·P(B0)＋P(A1)·P(B1)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)·P(B2)＋P(A2)·P(B1)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝×＝. 从而随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.4. 即姐弟2人观看贺岁片的部数的数学期望为2.4. 答案：(1) (2)分布列见解析，期望为2.4 [素养培优] 14．在一次购物抽奖中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列． 解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况． P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列为 X 0 1 P (2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60. 且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝. 因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 学科网（北京）股份有限公司 $