7.1.2 全概率公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．有朋自远方来，乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3,0.1,0，则他迟到的概率为(　　) A．0.65　 B．0.075　　 C．0.145　　 D．0 解析：C　[设A1＝{他乘火车来}，A2＝{他乘轮船来}，A3＝{他乘汽车来}，A4＝{他乘飞机来}，B＝{他迟到}．易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.] 2．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[用A表示买到的电脑是甲厂生产的，B表示买到的电脑是合格品，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，由贝叶斯公式可知P(A|B)＝ ＝＝.] 3．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[用A表示生产线初始状态良好，B表示第一件产品是合格品，则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，从而P()＝，因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)＝ ＝＝.] 4．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中 的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为(　　) A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652 解析：A　[以Ai表示一批产品中有i件次品，i＝0,1,2,3,4，B表示通过检验，则由题意得， P(A0)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0.2， P(B|A1)＝＝0.9，P(A2)＝0.4， P(B|A2)＝≈0.809，P(A3)＝0.2， P(B|A3)＝≈0.727，P(A4)＝0.1， P(B|A4)＝≈0.652.由全概率公式，得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×0.809＋0.2×0.727＋0.1×0.652≈0.814.] 5．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%，则(　　) A．任意一位病人有症状S的概率为0.02 B．病人有症状S时患疾症D1的概率为0.4 C．病人有症状S时患疾症D2的概率为0.45 D．病人有症状S时患疾症D3的概率为0.25 解析：ABC　[P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05， P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18， P(S|D3)＝0.6， 由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di) ＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02. 由贝叶斯公式得： P(D1|S)＝＝＝0.4， P(D2|S)＝＝＝0.45， P(D3|S)＝＝＝0.15.] 6．(多选)中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化．某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加．除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2∶1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是(　　) A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 解析：ABC　[设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)＝P(A)P(C|A)＝×0.6＝，故A正确；对于B，李明获胜的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×0.6＋×0.5＝，故B正确；对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为P(A|C)＝＝＝，故C正确；对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B|C)＝＝＝＝，故D错误．] 7．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为30%,25%,30%.现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为　________　. 解析：设A＝{该学生考上硕士研究生}，B1＝{该学生来自理学院}，B2＝{该学生来自工学院}，B3＝{该学生来自商学院}，则B1∪B2∪B3＝Ω，B1，B2，B3两两互不相容，故由全概率公式知所求概率为 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝＝0.285. 答案：0.285 8．盲盒中有外观、大小、质地完全相同的2个绿球、3个黄球、7个红球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖，先进行射箭游戏，射箭一次，规定射中10环可从盲盒中一次性抽取3个球，射中7～9环可从盲盒中一次性抽取2个球，射中6环及6环以下可从盲盒中抽取1个球．某人射中10环、7～9环、6环及6环以下的概率分别为，，，则此人抽到的全是一等奖或二等奖的概率为　______　. 解析：设“射中10环”为事件A1，“射中7～9环”为事件A2，“射中6环及6环以下”为事件A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，盲盒中共有12个球，由全概率公式可得抽到的全是一等奖或二等奖的概率为P＝×＋＋＋×＋＋＋×＝. 答案： 9．5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为　________　，第三个人摸到中奖彩票的概率为　________　. 解析：记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai， 显然P(A1)＝，而P(A2)＝P[A2∩(A1∪1)] ＝P(A2∩A1)＋P(A2∩1)＝P(A2A1)＋P(A21) ＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1) ＝×0＋×＝， P(A3)＝P[A3∩(A1A2＋A12＋1A2＋12)] ＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＋ P(12A3)＝0＋0＋0＋P(A312) ＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××＝. 答案：　 10．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 解：设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03 ＝0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5. 11．小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如右图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解：(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝ 0．5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. (2)P(L1|C)＝＝≈0.28. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. [能力提升] 12．如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率，并说明该球取自几号箱的可能性最大． 解：设事件Bi表示球取自i号箱(i＝1,2,3)，事件A表示取得红球． 由全概率公式，可得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.因为P(B1|A)＝＝＝＝，P(B2|A)＝＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝＝，所以该球取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 13．南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0,1,2，…，27，高三、0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三、0班的优秀学生代表中选出的2名和高三、1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三、2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； (2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率． 解析：设第i(i∈N＋，i≤27)场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件Ai，有2名男生为事件Bi，有3名男生为事件Ci.(1)第一场分享会学生嘉宾中有2名男生，则需从高三0班推荐2名男生中选1人，2名女生中选1人，则P(B1)＝＝； (2)在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生，分三种情况，第一场分享会有1男3女，2男2女和3男1女，P(B2)＝P(A1)·P(B2|A1)＋P(B1)·P(B2|B1)＋P(C1)·P(B2|C1)＝×＋×＋×＝＝. [素养培优] 14．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．求抽到的球是红球的概率； (3)在(2)的条件下，若抽到的球是红球，求它是来自乙箱的概率． 解析：(1)记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则P(A)＝1－＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝＝； (2)设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，则P(C)＝＝，P()＝＝，P(D|C)＝，P(D|)＝，可得P(D)＝P(CD)＋P(D)＝P(C)P(D|C)＋P()P(D|)＝×＋×＝； (3)在(2)的条件下P(C|D)＝＝＝. 答案：(1)　(2)　(3) 学科网（北京）股份有限公司 $