6.2.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练]

1．函数f(x)＝x＋(b＞0)的单调减区间为(　　)

A．(－，)　　　 B．(－∞，－)，(，＋∞)

C．(－∞，－)  D．(－，0)，(0，)

解析：D　[∵f(x)＝x＋(b＞0)，∴f′(x)＝1－，令f′(x)＝1－＜0，解得：－＜x＜0或0＜x＜，∴f(x)的单调减区间为(－，0)，(0，)．]

2．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是(　　)

A．b2－4ac＞0  B．b＞0，c＞0

C．b＝0，c＞0  D．b2－3ac≤0

解析：D　[∵a＞0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0，∴b2－3ac≤0.]

3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪[，＋∞]

B．[－，]

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－，)

解析：B　[由题意知，f′(x)＝－3x2＋2ax－1，因为y＝f(x)在R上是单调函数，且y＝f′(x)的图象开口向下，所以f′(x)≤0在R上恒成立，故Δ＝4a2－12≤0，即－≤a≤.]

4．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式正确的是(　　)

A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)

B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)

C．f(x)≥g(x)

D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)

解析：B　[根据题意，由f′(x)＜g′(x)，得f′(x)－g′(x)＜0.令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上递减，由单调性知，当x∈[a，b]时，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理，得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．]

5．(多选)已知函数f(x)＝x ln(1＋x)，则(　　)

A．f(x)在(0，＋∞)单调递增

B．f(x)有两个零点

C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2

D．f(x)是偶函数

解析：AC　[由f(x)＝x ln(1＋x)知函数的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln(1＋x)＋，当x∈(0，＋∞)时，ln(1＋x)＞0，＞0，∴f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增，A正确；由f(0)＝0，当－1＜x＜0时，ln(1＋x)＜0，f(x)＝x ln(1＋x)＞0，当ln(1＋x)＞0，f(x)＞0，所以f(x)只有0一个零点，B错误；令，x＝－，f′(－)＝ln－1＝－ln 2－1，故曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2，C正确；由函数的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D错误．]

6．函数f(x)＝ex－ex的单调递减区间为　________　.

解析：f′(x)＝ex－e，令f′(x)＝ex－e＜0，解得x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．

答案：(－∞，1)

7．(双空题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.

(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为　________　；

(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为　________　.

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．

(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．

(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)＜0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有＞1，∴a＜0，∴a的取值集合为{a|a＜0}．

答案：{0}　{a|a＜0}

8．求函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调区间．

解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.

当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．

当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)单调递减．

当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝ .