5.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等比数列的性质及应用

 

[知识梳理]

[知识点一]　　

等比中项

(1)条件：如果a，G，b成等比数列．

(2)结论：那么G叫做a与b的等比中项．

(3)满足的关系式是　G2＝ab　.

当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？

[提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．

[知识点二]　推广的等比数列的通项公式　

{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝　a1qn－1　，an＝　am·qn－m　(m，n∈N*)．

[知识点三]　“子数列”性质　

对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为　等比数列　，首项为　ak＋1　，公比为　q　；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为　等比数列　，首项为　ak　，公比为　qk　.

1.如何推导an＝amqn－m?

[提示]　由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m.

[知识点四]　等比数列项的运算性质　

①在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝　ap·aq　.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的　积　，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….

[知识点四]　两等比数列合成数列的性质　

若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为　等比数列　.

3.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是

(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；

(3)是等比数列； (4){a2n}是等比数列．

[提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确．

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(　　)

(2)当q＞1时，{an}为递增数列．(　　)

(3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　)

A.　　 B.　　

C.　　 D.

解析：C　[a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.]

3．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　________　.

解析：[设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝.]

答案：

等比数列的性质及应用

[例1]　(1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝　________　.

解析：128　[a3a5＝a＝4，又an＞0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.]

(2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝　________　.

解析：在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝－128，a8＝4，因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.

答案：－(－2)n－1

[规律方法]　等比数列的运算常用两条思路

(1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他；

(2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am·an＝ak·al＝a.

[变式训练]

1．等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　)

A．32　　　　　　 B．64

C．128  D．256

解析：B　[由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64.]

2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)

A．4  B．6

C．7  D．5

解析：D　[∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.]

等比数列的应用问题

[例2]　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．

(1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值；

(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

[解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，