5.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等比数列的性质及应用 课程标准 素养解读 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和逻辑推理的核心素养． 2.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运算的核心素养. [知识梳理] [知识点一]　　 等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式是　G2＝ab　. 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． [知识点二]　推广的等比数列的通项公式　 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝　a1qn－1　，an＝　am·qn－m　(m，n∈N*)． [知识点三]　“子数列”性质　 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为　等比数列　，首项为　ak＋1　，公比为　q　；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为　等比数列　，首项为　ak　，公比为　qk　. 1.如何推导an＝amqn－m? [提示]　由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m. [知识点四]　等比数列项的运算性质　 ①在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝　ap·aq　.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的　积　，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. [知识点四]　两等比数列合成数列的性质　 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为　等比数列　. 3.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列； (3)是等比数列； (4){a2n}是等比数列． [提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(　　) (2)当q＞1时，{an}为递增数列．(　　) (3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：C　[a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.] 3．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　________　. 解析：[设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝.] 答案： 等比数列的性质及应用 [例1]　(1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝　________　. 解析：128　[a3a5＝a＝4，又an＞0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.] (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝　________　. 解析：在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝－128，a8＝4，因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. 答案：－(－2)n－1 [规律方法]　等比数列的运算常用两条思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am·an＝ak·al＝a. [变式训练] 1．等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　) A．32　　　　　　 B．64 C．128 D．256 解析：B　[由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64.] 2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　) A．4 B．6 C．7 D．5 解析：D　[∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.] 等比数列的应用问题 [例2]　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10， 公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)． 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． 1．等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． 2．解决应用题的步骤是 →→→→→ [变式训练] 3．某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 解析：记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N*)，从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85.故n＝11.即从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 由递推公式转化为等比数列求通项 [例3]　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． [思路点拨]　(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明． [解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3. (2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列． [母体变式] 将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式． [证明]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. ＝＝＝＝2. 所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 所以bn＝3·2n－1. 1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解． 2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}． [变式训练] 4．已知a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式． [解]　由已知得a－anan＋1－2a＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)当an＋1－2an＝0时，＝2.又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2n－1. (2)当an＋1＋an＝0时，＝－1，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列， 所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.综上：an＝2n－1或an＝(－1)n－1. [当堂达标] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是(　　) A．{|an|} B．{an－an＋1} C. D．{kan} 解析：AC　[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an－an＋1}不是等比数列；当k＝0时，数列{kan}不是等比数列，而{|an|}和一定是等比数列．] 2．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为(　　) 注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染人为第二轮感染． A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B　[设经过第n轮传染，感染人数为an, 经过第一轮感染后，a1＝1＋3＝4，经过第二轮感染后，a2＝4＋4×3＝16，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第n轮传染，感染人数为an＝4n，当an≥2000时，解得n≥6，因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮．] 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝　________　. 解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝log3(a)＝log3(95)＝log3(310)＝10. 答案：10 4．已知数列{an}为等比数列． (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. [解]　(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. 当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1； 当a1＝12时，q＝，an＝12·n－1. (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±. [基础达标练] 1．已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝(　　) A．－2　　 B．－　　 C.　　　 D．2 解析：B　[∵a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.故选B.] 2．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：C　[由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.] 3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：C　[log3b1＋log3b2＋…＋log3b14＝log3(b1b2…b14)＝log3(b7b8)7＝7log33＝7.] 4．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为lg 2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为lg 2的等比数列 解析：A　[因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，所以an＝2×4n－1＝22n－1，log2an＝log222n－1＝2n－1.所以数列{log2an}是公差为2的等差数列，故选A.] 5．(多选)据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是(　　) A．2006年底人类知识总量是2a B．2009年底人类知识总量是8a C．2019年底人类知识总量是213a D．2020年底人类知识总量是218a 解析：BCD　[2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了＝2番.2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为a·22＝4a，故A错，2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了＝3番，则2009年底，人类知识总量为a·23＝8a，故B正确，2009年到2019年每一年翻一番，则总共翻了2019－2009＝10番，则2019年底，人类知识总量为8a·210＝213a，故C正确.2020年是每73天翻一番，则总共翻了＝5番，则2020年底，人类知识总量为213a·25＝218a，故D正确．故选BCD.] 6．(多空题)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝　________　，d＝　________　. 解析：∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①，又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②　由①②解得a1＝，d＝－1. 答案：　－1 7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　________　平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048. 答案：2 048 8．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解：　因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，将cn＝2n＋3n代入上式得，[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]·[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]，整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，解得p＝2或p＝3. [能力提升练] 9．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是(lg2＝0.3，lg3.8＝0.6)(　　) A．40 B．41 C．42 D．43 解析：C　[设对折n次时，纸的厚度为an，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，令an＝0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012，所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n lg 2≥0.6＋12，解得：n≥＝42，所以至少对折的次数n是42，故选C.] 10．(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有(　　) A.是公比为的等比数列 B．{a2n}是公比为4的等比数列 C．{2an}是公比为4的等比数列 D．{anan＋1}是公比为2的等比数列 解析：AB　[由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N*，an≠0，且公比为q＝＝2.对于A选项，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，B选项正确；对于C选项，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，C选项错误；对于D选项，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，D选项错误．故选AB.] 11．已知数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N*)，若ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，则k＝　________　 . A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[因为数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N*)，所以取m＝1，则an＋1＝an·a1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，又ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，即2k＋1＋2k＋2＋2k＋3＋2k＋4＝480，即30×2k＝480，解得k＝4.] 12．等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11，②a3·a4＝，③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式． 解：由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝，所以 解得或 当时，q＝2，所以an＝·2n－1，这时a2＋a4＋＝，2a＝，所以a2，a，a4＋成等差数列，故an＝·2n－1. 当时，q＝，an＝·26－n，a2＋a4＋≠2a，不符合题意，故通项公式an＝·2n－1. [素养培优练] 13. (多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　) A．k不可能为0 B．“等差比数列”中的项不可能为0 C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” 解析：BCD　[∵当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，∴k≠0，故选项A正确；∵当an＝n－1时，＝＝1为常数，∴数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD.] 14．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝　________　. 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则－＝0，可得＝，所以，“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则＝，所以，＝2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1＋b2＋b3＝1，因此，b6＋b7＋b8＝25(b1＋b2＋b3)＝32. 答案：32 学科网（北京）股份有限公司 $