精品解析：江西宜春市2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．选错，多选或未选均不得分． 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在单词（数学）中任意选择一个字母，恰好是字母“”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且为直角三角形，，，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 6. 图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）电流I）（ ） A. 电阻的初始阻值为0 B. 当的阻值为时，报警器会报警 C. 传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D. 定值电阻的阻值为40 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点与点关于坐标原点对称，则a的值为________． 8. 设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 9. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 10. 如图是某款“不倒翁”及其轴截面图，，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是12，，则的长是________． 11. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 12. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，与交于点D，求证：是的垂直平分线． 14. 习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，某中学围绕这三个成语开展学习活动，将这三个成语分别写在三张完全相同的不透明卡片上．（A：跃马扬鞭； B：万马奔腾； C：马不停蹄） （1）将三张卡片放入不透明的箱子中，充分搅匀，从中抽取一张卡片．下列说法中，属于随机事件的是________．（填写下列序号） ①第一次就抽到“马不停蹄”； ②抽到的卡片成语含有“马”字； ③抽到的卡片成语是“一马当先”； （2）某中学的小亮同学从三张完全相同的不透明卡片中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求小亮两次抽到的成语恰好相同的概率？ 15. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，其中三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． （1）请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标________； （2）以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为． 16. 如图，正六边形内接于．若正六边形的边长为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 17. 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售．该老板以80元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按100元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出4个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于115元/个，要使日销售利润为2400元，销售单价应定为多少元？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点． （1）求，，的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，点为中点，求直线的函数解析式． （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 19. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得米长竹竿竖直放置时影长为米；测量旗杆时，其影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），与地面成角，求旗杆的高度． 20. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． （1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：________； （2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”．请你帮她求出，的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向下平移个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，（其中）．当时，求出中y的最大值与最小值的差． 22. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，点是矩形对角线的中点，点又是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明： 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点，现要在菱形菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园边上围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线表达式． （2）如图2，直线与轴正半轴交于点，且，点是直线上方的抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，在射线上取一点，使得，求周长的最大值及此时点的坐标． （3）如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，在对称轴右侧的抛物线上取一点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，若与相似，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．选错，多选或未选均不得分． 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握该知识点是关键． 根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合”进行解答即可得． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知：只有C选项符合题意， 故选：C． 2. 在单词（数学）中任意选择一个字母，恰好是字母“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键． 直接应用概率公式，计算总字母数和字母“”的出现次数． 【详解】解：∵单词“”共有11个字母， 其中字母“”出现次， ∴概率为， 故选B． 3. 已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接由两根之积求另一个根. 【详解】解：∵方程的一个根是1，设另一个根为， ∴由根与系数的关系，两根之积为， ∴，即另一个根是． 故选：A． 4. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角等知识点，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 由是的直径，可得，又因为，为同弧所对的圆周角，故，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， 是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且为直角三角形，，，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，令点的坐标为，点的坐标为，通过证明，可得出，将对应的数与代数代入比例，可求解出的值． 【详解】解：过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如下图所示： 令点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由，得， 由，得， 故选D． 6. 图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）电流I）（ ） A. 电阻的初始阻值为0 B. 当的阻值为时，报警器会报警 C. 传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D. 定值电阻的阻值为40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图像的认识，准确从函数图像得出相关信息是解题的关键． 根据时的取值可判断选项A的正误，根据图像的变化形式可判断选项B、C的正误，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，判断选项D的正误． 【详解】解：当时，，故电阻的初始阻值不为0，故选项A错误； 当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时的阻值为， 随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故当的阻值为时，， 报警器会报警，故选项B正确，选项C错误； 当时，， ， ∴， 故选项D错误； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点与点关于坐标原点对称，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于坐标原点对称的点的坐标关系，两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数 【详解】解：点与点关于坐标原点对称， ， ， 故答案为：． 8. 设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】2026 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求解． 【详解】解： a，b是一元二次方程的两个根， ，， 则原式． 故答案为：． 9. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式，把代入，即可得到结论． 【详解】解：设反比例函数表达式为． 当，时得： ． 关于的函数表达式为， 把代入，得， 故密度计浸在溶液中的高度为， 故答案为：8． 10. 如图是某款“不倒翁”及其轴截面图，，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是12，，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，切线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据切线性质以及，得出的度数，即可求出所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，分别与所在圆相切， ∴， ∵， ∴， ∴所对圆心角为， ∴， 故答案为：． 11. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可. 【详解】解：过作于，过作于，如下图所示： 则米，， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴，，， 设该圆的半径长为米， 根据题意得 解得 即门洞的半径长为米， 故答案为：． 12. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与四边形综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，先求得点和点的坐标，再分类讨论，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，这三种情况，分别解答即可． 【详解】解：令， 解得， 点A在点B左侧， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 设，， 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，与交于点D，求证：是的垂直平分线． 【答案】（1），； （2）证明：∵，是的两条切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，又∵， ∴是的垂直平分线． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，以及线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、切线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）采用因式分解法求解即可； （2）由切线的性质，得，于是可利用“”证明，可得，，故可证是的垂直平分线． 【详解】（1）解： ∴，． （2）略 14. 习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，某中学围绕这三个成语开展学习活动，将这三个成语分别写在三张完全相同的不透明卡片上．（A：跃马扬鞭； B：万马奔腾； C：马不停蹄） （1）将三张卡片放入不透明的箱子中，充分搅匀，从中抽取一张卡片．下列说法中，属于随机事件的是________．（填写下列序号） ①第一次就抽到“马不停蹄”； ②抽到的卡片成语含有“马”字； ③抽到的卡片成语是“一马当先”； （2）某中学的小亮同学从三张完全相同的不透明卡片中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求小亮两次抽到的成语恰好相同的概率？ 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确地列出表格或画出树状图是解题关键． （1）利用必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：抽取每张卡片的可能性相同， ∴第一次就抽到“马不停蹄”，为随机事件，故①符合题意； 抽到的卡片成语含有“马”字是必然事件，故②不符合题意； 抽到的卡片成语是“一马当先”，为不可能事件，故③不符合题意， 故选：①； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的成语恰好相同的结果有3种， 小亮两次抽到的成语恰好相同的概率为． 15. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，其中三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． （1）请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标________； （2）以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为． 【答案】（1） 点的位置如图所示： （2） 如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点，再连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，正六边形内接于．若正六边形的边长为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积，灵活运用正多边形外接圆的性质，圆周角定理等知识点是解题的关键． 连接、交于点，根据，判断出垂直平分，根据，，得出为等边三角形，可得出半径的长度，由等量关系，证出，可得阴影部分的面积与扇形面积相同，再根据扇形公式进行求解即可． 【详解】解：连接、交于点，如下图所示： ∵， ∴垂直平分， 即，， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 即， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故阴影部分的面积与扇形面积相同， ∴． 17. 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售．该老板以80元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按100元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出4个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于115元/个，要使日销售利润为2400元，销售单价应定为多少元？ 【答案】销售单价为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设涨价y元，根据销售单价、销售量和利润的关系列出方程，解一元二次方程并考虑价格限制得出有效解． 【详解】解：设盲盒涨价y元，则销售单价为元，每天销售量为个，每个利润为元， 可得方程 解得或， 由于销售单价不得高于115元，即， 解得， 故， 故销售单价为元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点． （1）求，，的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，点为中点，求直线的函数解析式． （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1），， （2）直线的函数解析式为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先根据点的坐标求出对应的的值，可得一次函数表达式，故可求的值，得出点的坐标后，可求反比例函数中的值； （2）令点的坐标为，点的坐标为，根据线段中点的坐标公式，可解出m、n的值，故可得点、的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式； （3）观察图象，可直接判断出结果． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数上， ∴， 故一次函数表达式为， ∵点在上， ∴， 故点，且其在反比例函数上， ∴，得， 综上，，，． 【小问2详解】 解：令点的坐标为，点的坐标为， ∵点为的中点，且， 由中点坐标公式可得，解得， 故点，，令直线的函数解析式为， 得，解得， 故直线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：观察图象，可知当时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 故的的取值范围为． 19. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得米长竹竿竖直放置时影长为米；测量旗杆时，其影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），与地面成角，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． （1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据勾股定理求出的长，再由同一时刻物高与影长关系得出的长，进而求得的长，仍由同一时刻物高与影长关系即可得出的长． 【小问1详解】 解：根据光的反射的性质， ， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，如下图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 得， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， 解得， ∴， 故， ∴， 故旗杆的高度为． 20. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，与交于点，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， 即， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 且为的半径， ∴是的切线． （2） 证明：连接，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． （3）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接，与交于点，由的内心得到平分，再由得到 垂直平分，由即可得到，即可证明是的切线； （2）连接，通过内心的性质，圆周角定理，可证出，即可证明； （3）在中，由勾股定理求出的长度，令的半径为，则，，在中，由勾股定理得，得出方程，求解得出的值即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：∵，， 在中，由勾股定理得， 令的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得， 得方程， 解得， 故的半径为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． （1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：________； （2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”．请你帮她求出，的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向下平移个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，（其中）．当时，求出中y的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2）、 （3）故y的最大值与最小值的差为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数平移问题、二次函数与一元二次方程综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）令直线的函数表达式为，将点，代入，利用待定系数法求解析式即可； （2）由点在抛物线上，可得关于、的方程，根据抛物线与直线仅有一个交点，也可得关于、的方程，由此得出方程组，求解方程组即可； （3）先得出平移后的抛物线的解析式为，再根据“幸运点”求得点，的坐标，得出的取值范围，根据结合二次函数的图像与性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：令直线的函数表达式为， 将点，代入函数表达式， 得，解得， 故直线的函数表达式为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， 可得， 又∵抛物线与直线仅有一个交点， 故方程只有一个实数解， 方程变形为， 即， 可得方程组，解得， 故、． 【小问3详解】 解：抛物线的表达式为， 结合抛物线与直线， 得方程， 解得或， 故，抛物线的对称轴为直线， 故当，对应函数值最小，此时， 当时，对应函数值最大，此时， ， 故y的最大值与最小值的差为． 22. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，点是矩形对角线的中点，点又是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明： 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点，现要在菱形菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园边上围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 【答案】（1）①证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②；； （2），理由如下： 连接，如下图所示： ∵为矩形中心， ∴， 延长交与点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴； （3）需要篱笆 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据证明即可；②根据，得出，根据，求出结果即可，根据，得出，根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交与点，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）取的中点，连接，过点作于点，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）①略 ②∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）取的中点，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， 解得，负值舍去， ， ∴， ∴菱形菜园需要篱笆． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线表达式． （2）如图2，直线与轴正半轴交于点，且，点是直线上方的抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，在射线上取一点，使得，求周长的最大值及此时点的坐标． （3）如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，在对称轴右侧的抛物线上取一点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，若与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线表达式为 （2）的周长最大为；点的坐标为 （3）满足条件的点的坐标为、、、 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由平行的关系得出，若，判断出为等边三角形，易得周长最大时，的长度最大，先求出点的坐标，得出直线的表达式，令点的坐标为，则点的坐标为，即可用表示的长度，根据二次函数的性质可得出的最大值，即可求出周长的最大值及此时点的坐标； （3）根据题意作图，通过计算发现是含角的直角三角形，若与相似，则也是含角的直角三角形，由此可得得出、之间的比例关系，对点的位置以及的度数进行分类讨论，求出对应的点坐标即可． 【小问1详解】 解：将点、点代入抛物线， 得，解得， 故抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：∵轴， ∴， 若， 则为等边三角形， 即的周长为长度的3倍， 故要求出的最大值， ∵，， ∴， 即点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点、代入， 得，解得， 故直线的表达式为， 结合、， 可得方程， 化简得， 解得或， 故点的横坐标取值范围为， 令点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴当时，最大，其最大值为， ∴此时， ∴点的坐标为， 此时的周长最大为． 【小问3详解】 解：∵，， 由勾股定理可得， 将移动方向进行分解，设其右移动个单位，再向上移动个单位也满足题意， 则， 解得，， 沿方向移动个单位，等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， 移动后抛物线表达式为， 化简得， 此时函数对称轴为直线， 则点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∵ ∴若与相似，则应为含角的直角三角形， 令点坐标为， 对的位置情况进行分类讨论： 当点在轴上方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴上方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴下方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴下方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 综上，满足条件的点的坐标为、、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $