精品解析：浙江省绍兴市新昌职业高级中学2024-2025学年高二下学期 5月月考数学试卷

新昌职业高级中学2024学年二学期5月月考试卷 《高二数学》 本试卷共三大题.全卷共五页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、选手编号、座位号等信息用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，在答题纸相应位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10题每小题2分，11-20题每小题3分，共50分.） 1. 观察数列，其中等于（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列中，，则等于（ ） A. B. C. D. 或 3. 在等差数列中，已知，则的值是（ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 4. 在数列中，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 数列，，，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 若数列的前4项分别为1，3，9，27，按此规律，则第5项为（ ） A. 36 B. 108 C. 54 D. 81 8. 下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 9. 等比数列1，，2，…的第7项为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 10. 在等比数列中，若，则公比q是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 11. “”是“a，b，c成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 在等差数列中，，则（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 13. 中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（ ） A. 9.5尺 B. 10.5尺 C. 12.5尺 D. 15.5尺 14. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的第2022项为4045 D. 数列既不是等差数列，也不是等比数列 15. 圆锥的母线长为8，母线与轴所成角的大小为，此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 16. 把边长为9厘米的正方体铁块融化后做成若干个半径为3厘米的铁球，这样的铁球最多能做（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 17. 已知正四棱锥，底面边长为4，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 18. 若长方体体对角线长为2，底面矩形长和宽分别为和1，则长方体体对角线与底面所成角为（ ） A. B. C. D. 19. 若，，成等差数列，则x的值等于（ ） A. 0 B. C. 32 D. 0或32 20. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.） 21. 已知等差数列满足，，则______. 22. 在等差数列中，若，，则______. 23. 已知，，成等比数列，则实数______. 24. 已知成等比数列，则______. 25. 已知某数列的前n项和，当取得最大值时，项数n的值为_____． 26. 若正四棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的大小为，则它的全面积为______，体积为______. 27. 在正三棱柱中，已知，，则二面角的大小为______. 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答题写出文字说明及演算步骤） 28. 已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求n. 29. 设等差数列的公差为d，且各项均为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 30. 如图所示，该图是毕达哥拉斯生长程序：即最下方正方形连接一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的两条直角边，再分别连接一个正方形，从而由一个正方形得到两个新的正方形，如此称为一个生长……以此类推. （1）设初始正方形（即最下面的正方形）的边长为，分别求第次生长后所得正方形的边长，并说明其中的规律； （2）若能一共得到个正方形，求最小正方形的边长. 31. 在等差数列中，已知，. （1）求的值； （2）设，求数列的前项和. 32. 如图，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱分成两部分，已知.求： （1）二面角的大小； （2）两部分中体积大的部分的体积. 33. 如图所示，中，，，，平面，且，求： （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 34. 如图所示，已知底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且. （1）写出图中的所有直角三角形； （2）求二面角的大小； （3）求四棱锥P-ABCD的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新昌职业高级中学2024学年二学期5月月考试卷 《高二数学》 本试卷共三大题.全卷共五页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、选手编号、座位号等信息用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，在答题纸相应位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10题每小题2分，11-20题每小题3分，共50分.） 1. 观察数列，其中等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察可知，，进而求解即可. 【详解】观察发现，， 所以， 解得. 故选：. 2. 若等比数列中，，则等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质列方程求值即可. 【详解】已知等比数列中，， 由，得， 故选：D. 3. 在等差数列中，已知，则的值是（ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质即可得解. 【详解】在等差数列中， . 故选：A. 4. 在数列中，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别将代入，求解即可. 【详解】因为，当时，解， 当时，解. 故选：C. 5. 数列，，，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察数列分别找到分子、分母的规律即可得解. 【详解】数列，，，，……， 观察数列可知，分母为，可以看成； 分子为，可以看成， 则通项公式可以为， 故选：. 6. 已知数列的前n项和为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用与的关系式，直接计算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 7. 若数列的前4项分别为1，3，9，27，按此规律，则第5项为（ ） A. 36 B. 108 C. 54 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意找出数列的规律即可得解. 【详解】由题意可知， ；；，，则， 故选：. 8. 下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的概念即可判断. 【详解】对A：因为数列是等差数列，不是等比数列，故A项错误； 对B：因为数列是等比数列，不是等差数列，故B项错误； 对C：数列是常数列，既是等比数列又是等差数列，故C项正确； 对D：数列是等差数列，不是等比数列，故D项错误. 故选：C. 9. 等比数列1，，2，…的第7项为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义求出公比，再利用通项公式求出第项. 【详解】已知等比数列的前三项为，，，则公比， 所以. 故选：A. 10. 在等比数列中，若，则公比q是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知在等比数列中，， 由，得，解得. 故选：D. 11. “”是“a，b，c成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，当时，无法推出“a，b，c成等比数列”，即充分性不成立； 当a，b，c成等比数列时，有，即必要性成立； 所以“”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 12. 在等差数列中，，则（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和来求解. 【详解】在等差数列中，， 解得. 故选：B 13. 中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（ ） A. 9.5尺 B. 10.5尺 C. 12.5尺 D. 15.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意即可求解出该数列的首项和公差，从而求得冬至的晷影长. 【详解】从冬至起，晷影长依次记为，，，， ，根据题意，有， 根据等差数列的性质，有，而，设数列的公差为d， 则有，解得，故冬至的晷影长为15.5尺，因此选项D正确． 故选：D. 14. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的第2022项为4045 D. 数列既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列和得到数列的通项，再根据通项公式分析数列是等差数列，并计算第2022项. 【详解】∵， 且， ∴. ∴， ∴数列是等差数列，且. 综上，选项B正确. 故选：B. 15. 圆锥的母线长为8，母线与轴所成角的大小为，此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出底面半径，代入圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意得底面半径， ∴， 故选：B. 16. 把边长为9厘米的正方体铁块融化后做成若干个半径为3厘米的铁球，这样的铁球最多能做（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体与球的体积公式求解. 【详解】正方体铁块的体积为，铁球的体积为， 则铁球的个数为. 故选：C. 17. 已知正四棱锥，底面边长为4，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图像，连接辅助线，结合正四棱锥的性质找到二面角的平面角即可得解. 【详解】 取底面中心O，的中点E，连接，，，则底面， 在正四棱锥中，，所以， 在正方形中，， 因为侧面，底面，且侧面底面， ∴为侧面与底面所成二面角的平面角， 在中，，，∴， 在中，，， 故选：B. 18. 若长方体体对角线长为2，底面矩形长和宽分别为和1，则长方体体对角线与底面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意平面，可得为与平面所成角，在直角三角形中求解即可. 【详解】在长方体中，连接， 由题意，，，∴， ∵平面，∴为与平面所成角， 在直角中，，，∴， ∵，∴， 则长方体体对角线与底面所成角为. 故选：B. 19. 若，，成等差数列，则x的值等于（ ） A. 0 B. C. 32 D. 0或32 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和对数的运算法则求解. 【详解】若，，成等差数列， 则， ∴，且， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴. 故选：B. 20. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于O，取的中点M，则，可知（或其补角）为异面直线与所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，连接，交于O，取的中点M，连接， 易知O为的中点，所以， 则（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为在长方体中，，， 所以， ， ， 所以，， 于是在中，由余弦定理得， 即异面直线与所成角的余弦值为 故选：C． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.） 21. 已知等差数列满足，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求值即可. 【详解】已知等差数列，由，， 得，解得， 故答案为：. 22. 在等差数列中，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求值即可. 【详解】在等差数列中，设公差为， 由，，得， 所以， 故答案为：. 23. 已知，，成等比数列，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列性质列出方程求解. 【详解】已知，，成等比数列， 所以，即，解得或， 当时，，，由于等比数列中不能有项，所以不符合题意， 当时，，，，符合题意， 所以. 故答案为：3. 24. 已知成等比数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可解答. 【详解】已知成等比数列， 由可得，， 故答案为：. 25. 已知某数列的前n项和，当取得最大值时，项数n的值为_____． 【答案】4或5##5或4 【解析】 【分析】根据题中给的前n项和的表达式，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】根据题意有: ∵．当或5时最大． 故答案为：4或5. 26. 若正四棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的大小为，则它的全面积为______，体积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出正四棱锥的斜高和高，再分别计算其全面积和体积. 【详解】设正四棱锥为， 为底面中心，取中点，连接，，， 因为是正方形的中心，是中点，所以，， 则就是侧面与底面所成二面角的平面角，即， 又因为底面边长为，所以， 在中，，， 可得，，即正四棱锥的高为，斜高为， 所以正四棱锥的全面积. 正四棱锥的体积. 故答案为：，. 27. 在正三棱柱中，已知，，则二面角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点D，连接，，根据线面垂直的判定定理得出平面，再由线面垂直的定义得，得出为二面角的平面角，再由三角函数的值确定角的大小即可. 【详解】取中点D，连接，， 因为为正三角形，所以， 且为正三棱柱， 所以平面，且平面， 所以，且平面，， 所以平面，平面， 所以， 则为二面角的平面角， ∵，，∴， 在中，， 即二面角的大小为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答题写出文字说明及演算步骤） 28. 已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求n. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前n项和的定义可知，从而解得数列的通项公式. （2）根据等比数列前n项和的公式，列出方程即可求解. 【小问1详解】 当时，； 当，，即， 所以，所以. 当时，符合上式. 所以是首项为，公比为2的等比数列. 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得， 根据等比数列前n项和公式， 得. 因为，所以， 解得. 29. 设等差数列的公差为d，且各项均为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 利用前10项和与首项公差的关系，联立方程组计算即可； (2) 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可. 【小问1详解】 解：由题意得，解得，或， 因为等差数列各项均为整数，故. 所以为所求. 【小问2详解】 由知， ， ， ， 所以. 30. 如图所示，该图是毕达哥拉斯生长程序：即最下方正方形连接一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的两条直角边，再分别连接一个正方形，从而由一个正方形得到两个新的正方形，如此称为一个生长……以此类推. （1）设初始正方形（即最下面的正方形）的边长为，分别求第次生长后所得正方形的边长，并说明其中的规律； （2）若能一共得到个正方形，求最小正方形的边长. 【答案】（1）1，，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据生长程序可得这些边长形成了首项为1，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等比数列的前项和公式列方程求解即可. 【小问1详解】 初始正方形的边长为， 因为等腰直角三角形中两个底角为， 所以一次生长后所得正方形的边长为， 同理第次生长后所得正方形的边长为，. 则这些边长形成了首项为1，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 第1次生长后正方形有个， 第2次生长后正方形有个， 第n次生长后正方形有个. 令，即， 所以，解得. 所以最小正方形的边长为. 31. 在等差数列中，已知，. （1）求的值； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设出等差数列的公差为,然后由等差数列的通项公式及已知条件可求得,首项和公差,进而求出数列的通项公式,即可求出的值. （2）将（1）中所求的的通项公式代入,即可求出数列的通项公式,再运用裂项相加法求出其前项和即可. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为,,, 得 . . 【小问2详解】 , . 32. 如图，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱分成两部分，已知.求： （1）二面角的大小； （2）两部分中体积大的部分的体积. 【答案】（1）30° （2） 【解析】 【分析】（1）利用二面角的定义得到二面角的平面角，进而求解即可. （2）利用体积公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示，取的中点O，连接，. ∵三棱柱是正三棱柱. ∴平面. ∴（三垂线定理）. ∵平面,平面. ∴为二面角的平面角 在中，∵ ∴，∴. 即二面角的大小为. 【小问2详解】 . 33. 如图所示，中，，，，平面，且，求： （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证，，即为二面角的平面角，再在中求即可. （2）以为三棱锥的高，用三棱锥体积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以． 因为平面，平面， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，又因为， 所以为二面角的平面角． 在中，， 所以，即二面角的大小为． 【小问2详解】 平面， 即为三棱锥的高， ，，， 所以， 所以． 34. 如图所示，已知底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且. （1）写出图中的所有直角三角形； （2）求二面角的大小； （3）求四棱锥P-ABCD的体积. 【答案】（1）△PAB，△PAD，△PBC，△PDC （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可证明线线垂直，再由得到的线线垂直即可得到直线三角形. （2）先由线线垂直找出二面角的平面角，再利用边的关系求解即可. （3）由四棱锥体积公式计算即可. 【小问1详解】 PA底面ABCD， 底面ABCD， 所以, 所以直角三角形有：△PAB，△PAD，△PBC，△PDC. 【小问2详解】 ∵PA底面ABCD，底面ABCD， ∴， ∵底面ABCD是正方形，∴， PA与AD交于点A，且面PAD， ∴面PAD， 又∵面PAD， ∴， ∴为二面角的平面角， ∵， ∴在中，， 即二面角的大小为45°. 【小问3详解】 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $