寒假 第1讲 相交线讲义 2025-2026学年 人教版数学七年级下册第七章 相交线与平行线

第1讲 相交线原卷版 课时1 邻补角和对顶角 知识讲解 邻补角 如图，直线与相交于点，则有、、、． 与的数量关系： ， 与的数量关系： 总结： 1、邻补角有 公共顶点和 一条公共边  且 另一边互为反向延长线  ； 2、邻补角性质： 邻补角互补　． 例题1 1 .如图，与互为邻补角的是（   ）． A. B. C. D. 知识讲解  对顶角 如图，直线与相交于点，则有、、、 与的数量关系：， 与的数量关系： 总结： 1、对顶角有 公共顶点     且两边互为 反向延长线   ； 2、对顶角的性质： 对顶角相等　　　　　　　　． 例题2 1 . 下列图中和是对顶角的有（   ）． A. B. C. D. 例题3 1 .如图所示，直线、相交于点，且，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 例题4 1 .如图，直线、、相交于点，则的对顶角是           ，的邻补角是           ；若，则          ，          ． 课时1 邻补角和对顶角加油练习题 1 .如图所示的四个图形中，和是对顶角的图形是（   ）． A.B. C.D. 2 .如所示各图中,与是邻补角的是（   ）． A.B. C.D. 3 .如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 4 .如图，直线与相交于点，为射线. （1）的对顶角是           . （2）的邻补角是           . 课时2 垂直 知识讲解 如图所示两直线相交：                                                              于点（为垂足） 此时               ，               ，               ． 垂直的数学符号：                         【注意】垂直是 相交的特殊情况                     . 例题1 口渴的乌鸦发现一个装有半杯水的杯子，于是它想到了从河边叼石子放入瓶中的办法喝水，那么乌鸦怎么飞才能最快的叼到石子呢? 知识讲解 垂线段 1、 在同一平面内        ，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；  2、 垂线段最短                  ． 例题2 1 .如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)          （填“”、“”或“”），依据是           ． 例题3 2 .如图，你在处，要到路对面，怎么走最近？为什么？你要到路对面的处，怎么走最近？为什么？ 知识讲解 如图： （1）点到的距离为线段 的长度； 变式1：线段的长度为点 A    到直线 BD    的距离； （2） 点到的距离为线段 的长度； 变式2：线段的长度为点 到直线的距离； 例题4 3 .下列说法中正确的是（        ）． A.有且只有一条直线垂直于已知直线 B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C.互相垂直的两条线段一定相交 D.直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是，则点到直线的距离是 例题5 4 .如图，已知，，垂足为，则点到直线的距离是线段           的长；线段的长为点           到直线           的距离． 例题6 5 .已知，点为直线外一点，点到直线上的三点、、的距离分别为，，，则点到直线的距离为（  ）． A. B.小于 C.不大于 D.不确定 总结 垂线段 1、 在同一平面内               ，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；  2、垂线段最短                  ． 3、直线外一点到这条直线的 垂线段的长度                   ，叫做点到直线的距离 . 课时 2垂直加油练习题 1 .如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是 （        ）． A.经过两点有且只有一条直线 B.两点之间的所有连线中线段最短 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2 .如 图 ，，，那么点到直线的距离是指（   ）． A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段的长 3 .如图，，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（   ）． A.线段的长是点到的距离 B.、、三条线段，最短 C.线段的长是点到的距离 D.线段的长是点到直线的距离 4 .画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点画出射线或线段的垂线. 课时3 两线四角的相关计算 知识讲解 两线四角的相关计算 邻补角：有 一条     公共边 ，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角 互为邻补角            ． 邻 补角互补      对顶角：有 一个 公共顶点          ，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，具有这 种关系的 两个角 互为对顶角         ． 对顶角 相等        例题１ 1 .如图，直线、、交于点，，，则的对顶角的度数为           ，邻补角的度数为           ． 例题２ 2 .如图，直线、、两两相交，，，则的度数为           ． 例题３ 3 .如图，直线与直线相交于点，，垂足为，，则 (        ) A. B. C. D. 例题４ 4 .如图，直线与相交于，，，，求、的度数？ 课时3 两线四角的相关计算加油练习题 1 .如图，直线、、相交于一点，，，的对顶角是           ，则          度. 2 .如图所示，直线，，两两相交，，，则          . 3 .如图，直线，相交于点，于点，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 课时4 相交线的计数问题 知识讲解 相交线的交点计数——最少： 平面内条直线最少有 0     个交点． 平面内条直线两两相交最少有 1     个交点． 相交线的交点计数——最多： 平面内条直线两两相交最多有 3     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 6     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 10     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 15     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 21    个交点． …… 平面内条直线两两相交最多有  个交点． 等差数列的和=              例题1 1 .平面内有条直线两两相交，交点个数最多有个，最少有个，则的值为           ． A. B. C. D. 知识讲解 直线相交于一点时，对顶角计数： 条直线相交于一点形成 2    对对顶角． 条直线相交于一点形成 6    对对顶角． 条直线相交于一点形成 12    对对顶角． 条直线相交于一点形成 20     对对顶角． …… 条直线相交于一点形成 n(n-1)      对对顶角． 例题2 2 .同一平面中，条直线相交于一点，一共能够形成           对对顶角．  课时4 相交线的计数问题加油练习题 1 .平面内的条直线两两相交，最多有（   ）个交点． A. B. C. D. 2 .平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么（   ）． A. B. C. D. 3 .五条直线相交于同一点时，对顶角有对，交于不同五点时，对顶角有对，则与的关系是（   ）． A. B. C. D. 4 .观察图的各个角，寻找对顶角（不含平角）： 如图①所示，两条直线与相交于一点形成           对对顶角； 如图②所示，三条直线，，相交于一点形成           对对顶角； 如图③所示，四条直线，，，相交于一点形成           对对顶角； 探究~各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有(且为整数)条直线相交于一点，则可形成           对对顶角； 根据中探究得到的结论计算：若有条直线相交于一点，则可形成           对对顶角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 相交线解析版 课时1 邻补角和对顶角 知识讲解 邻补角 如图，直线与相交于点，则有、、、． 与的数量关系： ， 与的数量关系： 总结： 1、邻补角有 公共顶点和 一条公共边  且 另一边互为反向延长线  ； 2、邻补角性质： 邻补角互补　． 例题1 1 .如图，与互为邻补角的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 解：邻补角的识别：①有公共顶点；②有一公共边；③另一边互为反向延长线． 知识讲解  对顶角 如图，直线与相交于点，则有、、、 与的数量关系：， 与的数量关系： 总结： 1、对顶角有 公共顶点     且两边互为 反向延长线   ； 2、对顶角的性质： 对顶角相等　　　　　　　　． 例题2 1 . 下列图中和是对顶角的有（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 对顶角的定义有两个要点：一是两个角有公共顶点，二是两角两边互为反向延长线，故选． 例题3 1 .如图所示，直线、相交于点，且，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解：与是对顶角， ， 又已知， ． 与互为邻补角， ． 例题4 1 .如图，直线、、相交于点，则的对顶角是           ，的邻补角是           ；若，则          ，          ． 【答案】 、 【解析】 解：由图可知，的对顶角是， 的邻补角是、． ， ， ． 故答案为：，、，，． 课时1 邻补角和对顶角加油练习题 1 .如图所示的四个图形中，和是对顶角的图形是（   ）． A.B. C.D. 【答案】 C 【解析】 如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角. .的两边不是的两边的反向延长线， 不是对顶角，故此选项不符合题意； .与没有公共顶点 ，不是对顶角，故此选项不符合题意； .与有公共顶点，且的两边是的两边的反向延长线， 是对顶角，故此选项符合题意； .的两边不是的两边的反向延长线， 不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：. 2 .如所示各图中,与是邻补角的是（   ）． A.B. C.D. 【答案】 B 【解析】 如果两个角有一个公共顶点，且有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角. A.和没有公共顶点、公共边，且另一边不互为反向延长线，故选项不符合题意； B.和有一个公共顶点，且有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，故选项符合题意； C.和为对顶角，故选项不符合题意； D.和没有公共顶点和公共边，故选项不符合题意. 故选：. 3 .如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】与互为对顶角， ， ， , 与互为邻补角， ， ∴． 故选：. 4 .如图，直线与相交于点，为射线. （1）的对顶角是           . （2）的邻补角是           . 【答案】 【解析】 如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角. 由图可知：的对顶角是. 如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角. 由图可知：的邻补角. 故答案为：;. 课时2 垂直 知识讲解 如图所示两直线相交：                                                              于点（为垂足） 此时               ，               ，               ． 垂直的数学符号：                         【注意】垂直是 相交的特殊情况                     . 例题1 口渴的乌鸦发现一个装有半杯水的杯子，于是它想到了从河边叼石子放入瓶中的办法喝水，那么乌鸦怎么飞才能最快的叼到石子呢? 知识讲解 垂线段 1、 在同一平面内        ，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；  2、 垂线段最短                  ． 例题2 1 .如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)          （填“”、“”或“”），依据是           ． 【答案】 (1)图见解析 (2)，垂线段最短 【解析】 【分析】 本题考查画垂线，垂线段最短．掌握垂线段最短，是解题的关键． （1）根据题意，画出垂线即可； （2）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】 （1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴（垂线段最短） 故答案为：，垂线段最短． 例题3 2 .如图，你在处，要到路对面，怎么走最近？为什么？你要到路对面的处，怎么走最近？为什么？ 【答案】 见解析 【解析】 如图，由到路对面，原因：直线外一点到直线上各点的距离中，垂线段最短；如图，由到，走两点间的线段，原因：两点之间线段最短． 知识讲解 如图： （1）点到的距离为线段 的长度； 变式1：线段的长度为点 A    到直线 BD    的距离； （2） 点到的距离为线段 的长度； 变式2：线段的长度为点 到直线的距离； 例题4 3 .下列说法中正确的是（        ）． A.有且只有一条直线垂直于已知直线 B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C.互相垂直的两条线段一定相交 D.直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是，则点到直线的距离是 【答案】 D 【解析】选项、和一条直线垂直的直线有无数条，故选项有误； 选项、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故选项有误； 选项、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故选项有误； 选项、直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点到直线的距离，故选项无误． 故选． 例题5 4 .如图，已知，，垂足为，则点到直线的距离是线段           的长；线段的长为点           到直线           的距离． 【答案】 【解析】 略． 例题6 5 .已知，点为直线外一点，点到直线上的三点、、的距离分别为，，，则点到直线的距离为（  ）． A. B.小于 C.不大于 D.不确定 【答案】 C 【解析】 点与直线上点之间的距离，垂线段最短，故点到直线的距离不大于． 总结 垂线段 1、 在同一平面内               ，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；  2、垂线段最短                  ． 3、直线外一点到这条直线的 垂线段的长度                   ，叫做点到直线的距离 . 课时 2垂直加油练习题 1 .如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是 （        ）． A.经过两点有且只有一条直线 B.两点之间的所有连线中线段最短 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】 C 【解析】 ∵， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是垂线段最短． .选项内容正确，但是不符合题意； .选项内容正确，但是不符合题意； .符合题意. .选项内容正确，但是不符合题意. 故选：. 2 .如 图 ，，，那么点到直线的距离是指（   ）． A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段的长 【答案】 A 【解析】到直线的距离即到直线的垂线段的长度， 因为， 所以点到直线的距离为线段的长． 故选：． 3 .如图，，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（   ）． A.线段的长是点到的距离 B.、、三条线段，最短 C.线段的长是点到的距离 D.线段的长是点到直线的距离 【答案】 C 【解析】.线段的长是点到的距离，正确，故 A 不符合题意； .由垂线段最短得到，，，因此最短，故 B 不符合题意； .线段的长是点到的距离，故 C 符合题意； .线段的长是点到直线的距离，正确，故 D 不符合题意； 故选：. 4 .画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点画出射线或线段的垂线. 【答案】 见解析 【解析】 解：作图如下： 课时3 两线四角的相关计算 知识讲解 两线四角的相关计算 邻补角：有 一条     公共边 ，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角 互为邻补角            ． 邻 补角互补      对顶角：有 一个 公共顶点          ，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，具有这 种关系的 两个角 互为对顶角         ． 对顶角 相等        例题１ 1 .如图，直线、、交于点，，，则的对顶角的度数为           ，邻补角的度数为           ． 【答案】 【解析】 由对顶角相等可知，，故． 由、互为邻补角可知， 由对顶角相等可知，的对顶角； ∴的对顶角为，邻补角为． 例题２ 2 .如图，直线、、两两相交，，，则的度数为           ． 【答案】． 【解析】 无解析 例题３ 3 .如图，直线与直线相交于点，，垂足为，，则 (        ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据平角、直角及角的和差关系可求出EOD=90°，再与已知联立，求出，利用互补关系求． 【详解】 ∵COD=180°，， ∴EOD=180°，AOE=90°， ∴EOD=90°，① 又∵，② 由①、②得，AOC=60°， ∵与是邻补角， ∴BOC=180°−text{D}$$. 【点睛】 考查垂线垂线的性质，余角和补角，比较基础，难度不大. 【教法备注】  例题４ 4 .如图，直线与相交于，，，，求、的度数？ 【答案】，， （垂直定义）． （对顶角相等）． ， （垂直定义）． 【解析】 无解析 课时3 两线四角的相关计算加油练习题 1 .如图，直线、、相交于一点，，，的对顶角是           ，则          度. 【答案】 【解析】 观察图形，是、相交形成的角，其对顶角为， ∵+，，， ∴， ∴， 故答案为：，. 2 .如图所示，直线，，两两相交，，，则          . 【答案】 【解析】 ∵，和是一对对顶角， ∴， ∵， ∴ 和是一对对顶角， ∴. 故答案为：. 3 .如图，直线，相交于点，于点，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：. 课时4 相交线的计数问题 知识讲解 相交线的交点计数——最少： 平面内条直线最少有 0     个交点． 平面内条直线两两相交最少有 1     个交点． 相交线的交点计数——最多： 平面内条直线两两相交最多有 3     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 6     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 10     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 15     个交点． 平面内条直线两两相交最多有 21    个交点． …… 平面内条直线两两相交最多有  个交点． 等差数列的和=              例题1 1 .平面内有条直线两两相交，交点个数最多有个，最少有个，则的值为           ． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 当条直线相交于一点时交点最少，此时交点为个，即，任意条直线相交的交点都不同时，交点最多，交点有个，即，则． 知识讲解 直线相交于一点时，对顶角计数： 条直线相交于一点形成 2    对对顶角． 条直线相交于一点形成 6    对对顶角． 条直线相交于一点形成 12    对对顶角． 条直线相交于一点形成 20     对对顶角． …… 条直线相交于一点形成 n(n-1)      对对顶角． 例题2 2 .同一平面中，条直线相交于一点，一共能够形成           对对顶角． 【答案】 【解析】 无解析 【教法备注】  课时4 相交线的计数问题加油练习题 1 .平面内的条直线两两相交，最多有（   ）个交点． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 当直线条数为时，最多交点个数为， 当，最多交点个数为． 故选． 2 .平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图所示： 条直线两两相交，有种情况： 条直线经过同一点，有一个交点； 条直线经过同一点，被第条直线所截，有个交点； 条直线不经过同一点，此时交点数最多，，最多有有个交点． 故平面内两两相交的条直线，最多有个交点，最少有个交点；即，则． 故选：． 3 .五条直线相交于同一点时，对顶角有对，交于不同五点时，对顶角有对，则与的关系是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 相交直线所形成的对顶角的对数与是否交于同一点无关，因此五条直线相交于同一点时与交于不同五点时对顶角的对数相同．所以. 故选：. 4 .观察图的各个角，寻找对顶角（不含平角）： 如图①所示，两条直线与相交于一点形成           对对顶角； 如图②所示，三条直线，，相交于一点形成           对对顶角； 如图③所示，四条直线，，，相交于一点形成           对对顶角； 探究~各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有(且为整数)条直线相交于一点，则可形成           对对顶角； 根据中探究得到的结论计算：若有条直线相交于一点，则可形成           对对顶角． 【答案】 【解析】 解：记这两条直线相交于点，对顶角是与，与， 故答案为：． 记这三条直线相交于点，对顶角是与，与﹐与﹐与﹐与，与； 故答案为：. 中是条线交于点，对顶角的数目是在对对顶角的基础上加上第四条线与前条线分别相交形成的对顶角，共对对顶角，所以③中对顶角共有对， 故答案为：． 根据以上总结条线相交对顶角有；条线相交对顶角；条线相交对顶角；以此类推： ；(，为整数)． 所以条直线两两相交，共形成对对顶角． 故答案为：． 条直线交于一点，共形成对对顶角 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $