24.3 正多边形和圆 寒假巩固2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版（2024）九年级上册 24.3 正多边形和圆 寒假巩固 【题型1】正三角形、正四边形、正五边形与圆 【典型例题】如图，点F是正五边形ABCDE的边CD延长线上的一点，连接EF，若EF＝ED，则∠DEF的度数为（　　） A.72° B.54° C.36° D.18° 【举一反三1】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（　　） A.72° B.54° C.36° D.30° 【举一反三2】如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　） A.10 B.9 C.8 D.7 【举一反三3】如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点F，G．点H是优弧FmG上任意一点，则∠FHG＝　    　°． 【举一反三4】已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形. 【举一反三5】如图，已知在正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP＋BP的值最小时，∠BPF的度数为多少？ 【题型2】正六边形与圆 【典型例题】正六边形的边心距是，则它的面积是(　　) A.2 B.6 C.9 D.12 【举一反三1】两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（　　） A. B.（3，4） C. D. 【举一反三2】如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为　　　　　. 【举一反三3】铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）　     　．（结果保留） 【举一反三4】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积． 【举一反三5】已知⊙O和⊙O上的一点A. 作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH，其中E在弧AD上. 【题型3】其它正多边形与圆 【典型例题】正八边形的中心角的度数为（　　） A.36° B.45° C.60° D.72° 【举一反三1】一个正多边形的每个外角都是60°，这个正多边形的边数是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三2】如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为该多边形外接圆的圆心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为　　　　.  【举一反三3】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于 　     　． 【举一反三4】如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG． （1）求证DG∥AB； （2）DG的长为 　      　． 【举一反三5】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连结AO，OD． （1）求∠AOD的度数； （2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s．求外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时，经过多少时间？ 【题型4】正多边形的综合与圆 【典型例题】如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为劣弧AB上一点，则∠APB等于(　　) A.136° B.162° C.108° D.144° 【举一反三1】如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（　　） A.10° B.12° C.20° D.22° 【举一反三2】已知⊙O的内接正六边形周长为12 cm，则这个圆的半径是　　　　cm.  【举一反三3】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心． （1）∠α＝　     　°； （2）已知点M在边AB上，则点M到线段CD的最大值 　    　． 【举一反三4】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数； （2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表： 【举一反三5】已知点P，Q分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，连接OP，OQ. (1)求图1中∠POQ的度数； (2)图2中∠POQ的度数是　　　　，图3中∠POQ的度数是　　　　；  (3)试探究∠POQ的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案) 人教版（2024）九年级上册 24.3 正多边形和圆 寒假巩固（参考答案） 【题型1】正三角形、正四边形、正五边形与圆 【典型例题】如图，点F是正五边形ABCDE的边CD延长线上的一点，连接EF，若EF＝ED，则∠DEF的度数为（　　） A.72° B.54° C.36° D.18° 【答案】C 【解析】解：∵点F是正五边形ABCDE的边CD延长线上的一点，连接EF，若EF＝ED， ∴∠EDF＝360°÷5＝72°， ∴∠EFD＝∠EDF＝72°， ∴∠DEF＝180°﹣72°×2＝36°， 故选：C． 【举一反三1】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（　　） A.72° B.54° C.36° D.30° 【答案】C 【解析】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠COB＝×360°＝72°， ∴∠CDB＝∠COB＝×72°＝36°， ∴∠CDB的度数是36°， 故选：C． 【举一反三2】如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　） A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】D 【解析】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°， ∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°， 360°÷36°＝10， ∵已经有3个五边形， ∴10﹣3＝7， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 【举一反三3】如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点F，G．点H是优弧FmG上任意一点，则∠FHG＝　    　°． 【答案】36 【解析】解：如图，连接OF、OG， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A＝＝108°， ∵AB、AE与⊙O相切于点F、G， ∴∠OFA＝∠OGA＝90°， ∴∠FOG＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∴∠FHG＝∠FOG＝36°． 故答案为：36． 【举一反三4】已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形. 【答案】解　方法一　(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形. 方法二　(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点A，D； (3)连接AC，AB，则△ABC为圆内接正三角形. 方法三　(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OD长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形. 【举一反三5】如图，已知在正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP＋BP的值最小时，∠BPF的度数为多少？ 【答案】解　如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P'，连接BP'. ∵在正五边形ABCDE中，点F是BC的中点， ∴EF⊥BC， ∴B，C关于EF对称， ∴PB＝PC， ∵PA＋PB＝PA＋PC≥AC， ∴当点P与P'重合时，PA＋PB的值最小， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BA＝BC，∠ABC＝108°， ∴∠BAC＝∠BCA＝36°， ∵P'B＝CP'， ∴∠P'BC＝∠P'CB＝36°， ∵∠EFB＝90°， ∴∠BP'F＝90°－∠P'BC＝90°－36°＝54°. 【题型2】正六边形与圆 【典型例题】正六边形的边心距是，则它的面积是(　　) A.2 B.6 C.9 D.12 【答案】B 【解析】如图，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G. 由题意知在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°， ∴AG＝1，OA＝2， ∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝6××2×＝6. 【举一反三1】两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（　　） A. B.（3，4） C. D. 【答案】D 【解析】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB， ∴， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵正六边形的一个内角度数为， ∴∠ADB＝360°﹣120°﹣120°＝120°， ∴∠CDB+∠ADB＝180°， ∴A、C、D三点共线， ∵AD＝BD， ∴， ∴∠ABC＝90°， ∴， 又∵OB＝OC+BC＝4， ∴， 故选：D． 【举一反三2】如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为　　　　　. 【答案】 【解析】如图，连接OE，设EF与y轴交于点G， 在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1. ∴GE＝，OG＝， ∴E. 由正六边形为轴对称图形知C. 【举一反三3】铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）　     　．（结果保留） 【答案】 【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D， ∵△ABO是正六边形的一部分，此时∠AOB=， 又∵AO=BO， ∴△ABO是等边三角形， 又∵点C是△ABO的内心， ∴∠ACB=2∠O=120°， 又∵AC=BC， ∴∠CAB=∠ABC=30°， 由CD⊥AB，， ∴AD=BD=， ∴在Rt△ADC中，cos∠CAD=， 解得：AC=2， ∴， ∴. 故填：. 【难度】中档题 【举一反三4】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积． 【答案】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝AB，， ∴， ∵AF＝AB， ∴∠APB＝∠APF＝30°， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°； （2）∵∠A0F＝60°，AO＝FO， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠DAF＝60°； ∴，AD＝2AF， ∴， ∴AF＝2，即⊙O的半径为2， ∴⊙O的面积＝π×22＝4π． 【举一反三5】已知⊙O和⊙O上的一点A. 作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH，其中E在弧AD上. 【答案】解　如图.作法： ①作直径AC； ②作直径BD⊥AC； ③依次连接A，B，C，D四点， 四边形ABCD即为⊙O的内接正方形； ④分别以A，C为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E，H，F，G； ⑤依次连接A，E，F，C，G，H六点， 六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形. 【题型3】其它正多边形与圆 【典型例题】正八边形的中心角的度数为（　　） A.36° B.45° C.60° D.72° 【答案】B 【解析】正八边形的中心角的度数＝360°÷8＝45°． 【举一反三1】一个正多边形的每个外角都是60°，这个正多边形的边数是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】解：设正多边形的边数为n， 由题意得：n×60°＝360°， 解得：n＝6． 故选：C． 【举一反三2】如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为该多边形外接圆的圆心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为　　　　.  【答案】12 【解析】如图，由题意得正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB， ∵∠ADB＝15°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝30°， 而360°÷30°＝12， ∴这个正多边形为正十二边形. 【举一反三3】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于 　     　． 【答案】7 【解析】解：延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点， 则△AHQ是等腰直角三角形，AH＝，QH＝1， 则MNPQ是正方形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形， 这个八边形的面积＝4×3×3﹣4×1×1÷2＝7． 故答案为：7． 【举一反三4】如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG． （1）求证DG∥AB； （2）DG的长为 　      　． 【答案】（1）证明：∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形， ∴＝＝＝＝＝＝＝， ∴＝， ∴∠ABG＝∠BGD， ∴AB∥DG； （2）解：如图，连接ODOEOF，过点E、F分别作DG的垂线，垂足为M、N，则MN＝EF＝AB＝2， ∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形， ∴∠DOE＝∠EOF＝＝45°， ∴∠NGF＝∠DOF＝45°＝∠MDE， 在Rt△MDE中，∠MDE＝45°，DE＝2， ∴MD＝DE＝， 同理NG＝， ∴DG＝+2+＝2+2． 故答案为：2+2． 【举一反三5】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连结AO，OD． （1）求∠AOD的度数； （2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s．求外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时，经过多少时间？ 【答案】解：（1）由题意得，将圆8等分，∠AOD占其中的3份， ∴； （2）由题意得，外圈转动速度为 360°÷6＝60°/s， 分类讨论可得：①当JK⊥AO时，点A在右侧半圆上，时间 ， 点A在左侧半圆上，时间 ， ②当 JK⊥DO时，点D在右侧半圆上，时间 ， 点D在左侧半圆上，时间 ， 综上所述，外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时，经过1.5s或4.5s或． 【题型4】正多边形的综合与圆 【典型例题】如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为劣弧AB上一点，则∠APB等于(　　) A.136° B.162° C.108° D.144° 【答案】D 【解析】如图，连接OA，OB，AD，BD， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝＝72°， ∴∠ADB＝∠AOB＝36°， ∵由题意得，四边形APBD是⊙O的内接四边形， ∴∠APB＋∠ADB＝180°， ∴∠APB＝180°－36°＝144°. 【举一反三1】如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（　　） A.10° B.12° C.20° D.22° 【答案】B 【解析】解：正五边形的内角＝108°，正六边形的内角＝120°， 故∠1＝120°﹣108°＝12°． 故选：B． 【举一反三2】已知⊙O的内接正六边形周长为12 cm，则这个圆的半径是　　　　cm.  【答案】2 【解析】如图， ∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为12 cm，∴AB＝2 cm， ∵∠AOB＝×360°＝60°，且OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA＝AB＝2 cm， 即该圆的半径为2 cm. 【举一反三3】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心． （1）∠α＝　     　°； （2）已知点M在边AB上，则点M到线段CD的最大值 　    　． 【答案】（1）30（2） 【解析】解：（1）由题意知，正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：30； （2）如图，连接BF交CD于G，连接AE交BF于H，则BF⊥CD， ∴当M、B重合时，点M到线段CD的值最大，为BG， ∵正六边形， ∴∠ABH＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形，BH＝AB＝1， ∴BN＝2， ∵∠α＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数； （2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表： 【答案】解：（1）在△ABM与△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠NBC， ∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ， ＝∠NBC+∠ABQ ＝∠ABM＝60°， ∴∠AQN＝60°． （2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小， 所以正方形中∠AQN＝90°， 正五边形中∠AQN＝108°， 正六边形中∠AQN＝120°， … 正n边形中∠AQN＝． 故答案为：90°，108°，120°，． 【举一反三5】已知点P，Q分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，连接OP，OQ. (1)求图1中∠POQ的度数； (2)图2中∠POQ的度数是　　　　，图3中∠POQ的度数是　　　　；  (3)试探究∠POQ的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案) 【答案】解　(1)连接OB，OC(图略)，则∠BOC＝＝120°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°， ∴∠PBO＝∠ABC－∠OBC＝30°， ∴∠PBO＝∠QCO. 又∵OB＝OC，BP＝CQ， ∴△OPB≌△OQC(SAS)， ∴∠POB＝∠QOC， ∴∠POQ＝∠POB＋∠BOQ＝∠QOC＋∠BOQ＝∠BOC＝120°. (2)90°；72°. (3)∠POQ的度数与正n边形的边数n的关系为∠POQ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $