精品解析：四川省南充市阆中市四川省阆中师范学校2024-2025学年高二职教高考班下学期5月月考数学试题

四川省阆中师范学校职教高考班2025年春 2023级5月月考《数学》试题卷 一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 4封信投入3个不同信箱，那么不同的投信方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 以上都不是 6. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设离散型随机变量的概率分布如下表所示，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 8. 将5名实习老师分配到高一年级的3个班实习，每班至少分配1名老师，最多2名，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 9. 的展开式中各项系数的和为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 在二项式的展开式中，常数项是（ ） A. 第4项 B. C. D. 2 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次实验中发生的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 从1，2，3，4，5这五个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两个数字之和为m，则满足的概率（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每空题4分，共20分，下列题目均用数字作答.） 16. 已知集合 ，集合 ，则 ____________． 17. 若随机变量，且，，则______，_______. 18. 将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线对应的函数解析式为________. 19. 在某次国际围棋比赛中，甲乙两人进入最后决赛，比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束。假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为___________. 20. 若点在双曲线上，且，则的值为________． 三、解答题（本题共6个小题，共70分） 21. 某校300名学生参加数学竞赛，现随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），已知成绩的频率分布直方图如图所示.求： （1）的值； （2）这40名学生数学考试成绩的众数及中位数； （3）总体中成绩落在内的学生人数. 22. 某厂随机抽取生产的某种产品件，经质量检验，其中一等品件，二等品件，三等品件，次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润为X（单位：万元）.求： （1）X的分布列； （2）1件产品的平均利润即X的数学期望. 23. 如图在直棱柱中，，，. （1）求证：； （2）求二面角的正切值. 24. 已知函数，求： （1）函数的最小正周期和函数图像的对称轴； （2）的单调增区间； （3）函数在区间上的值域. 25. 已知等差数列的第2项为4，前6项和为，数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. 26. 已知函数，不等式的解集是. （1）求函数的解析式； （2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省阆中师范学校职教高考班2025年春 2023级5月月考《数学》试题卷 一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的运算求交集即可. 【详解】集合，， 则； 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将绝对值去掉，再计算不等式. 【详解】将不等式的绝对值去掉，可得 则 故选：C. 3. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式不等式转化为等式不等式，解一元二次不等式且分母不为零即可得解. 【详解】不等式且， 解得或且， 所以解集为， 故选：. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：. 5. 4封信投入3个不同信箱，那么不同的投信方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】4封信投入3个不同信箱， 每封信都有种不同的选择， 所以不同的投信方法有种， 故选：B. 6. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解的值. 【详解】已知角  终边上一点 ，则 ， 所以， 故选：C. 7. 设离散型随机变量的概率分布如下表所示，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】已知， 解得， 故选：C. 8. 将5名实习老师分配到高一年级的3个班实习，每班至少分配1名老师，最多2名，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，再将3组分到3个班，利用分步计数原理即可得解. 【详解】将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人， 因为两个两人组是无序的，则有种分组方法， 分好的个组分配到个班有种分配方法， 所以不同的分配方案有种， 故选：B. 9. 的展开式中各项系数的和为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意令即可得解. 【详解】令，则各项系数的和为， 故选：. 10. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数结合条件充分性与必要性进行判断即可. 【详解】设，则“”，则，充分性不成立； ，则，必要性成立； 则“”是“”的必要不充分条件； 故选：B. 11. 在二项式的展开式中，常数项是（ ） A. 第4项 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式及常数项的求法求解即可. 【详解】由通项公式：， 令，得， 所以常数项是. 故选：B 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式求出，两边平方结合同角三角函数基本关系式及二倍角公式即可得解. 【详解】，则， 则，解得， 故选：. 13. 在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次实验中发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设出事件A在1次实验中发生的概率为，根据对立事件的性质列出方程即可得解. 【详解】设事件A在1次实验中发生的概率为，则不发生的概率为， 则，解得， 故选：. 14. 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先列出不超过的所有素数，再根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】不超过的素数有共个， 其中孪生素数有共对， 从个素数中任取两个共有种可能， 所以能够组成孪生素数的概率是， 故选：B. 15. 从1，2，3，4，5这五个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两个数字之和为m，则满足的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再找出满足该范围的数字组合，最后根据古典概型的概率公式计算概率. 【详解】不等式，即，解得. 从1，2，3，4，5这五个数字中任意取出两个不同的数字，有以下情形： ，共10种， 满足的情形有： ，；，；，； ，；，；，； ，，共种， 故所求概率为. 故选：B. 二、填空题（本题共5个小题，每空题4分，共20分，下列题目均用数字作答.） 16. 已知集合 ，集合 ，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，确定集合的元素即可得解. 【详解】因为集合 ，集合 ， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故集合. 故答案为：. 17. 若随机变量，且，，则______，_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式列出方程组即可得解. 【详解】随机变量，且，， 则，解得， 故答案为：；. 18. 将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线对应的函数解析式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的变换规律即可解答. 【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍， 得，再将所得曲线向右平移个单位长度， 得， 所以得到曲线对应的函数解析式为， 故答案为：. 19. 在某次国际围棋比赛中，甲乙两人进入最后决赛，比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束。假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】不超过4局的比赛中甲获得冠军包含情况：①甲连胜3局，②前三局甲两胜一负，第四局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式 和互斥事件概率加法公式就能求出甲战胜乙的概率． 【详解】①甲连胜3局的概率为； ②前三局甲两胜一负，第四局甲胜的概率为 ， 故不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为. 故答案为：. 20. 若点在双曲线上，且，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将点代入双曲线方程，利用二倍角的正弦余弦公式和角的范围，再根据同角三角函数之间的关系即可解得 【详解】将点代入方程， 则， 又知，则 又， 则为第一象限角， 故 则， 又， 故， 故答案为：. 三、解答题（本题共6个小题，共70分） 21. 某校300名学生参加数学竞赛，现随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），已知成绩的频率分布直方图如图所示.求： （1）的值； （2）这40名学生数学考试成绩的众数及中位数； （3）总体中成绩落在内的学生人数. 【答案】（1）. （2）众数为，中位数为. （3）人. 【解析】 【分析】（）根据频率分布直方图的性质即可得解. （）根据频率直方图结合众数及中位数的定义即可得解. （）根据在上的频率为，即可估计总体中成绩落在内的学生人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，众数在区间内，则众数为， 在区间上的频率为；上的频率为； 上的频率为，累计频率为， 设中位数为， 则，解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，在上的频率为， 总体中成绩落在内的学生人数为人. 22. 某厂随机抽取生产的某种产品件，经质量检验，其中一等品件，二等品件，三等品件，次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润为X（单位：万元）.求： （1）X的分布列； （2）1件产品的平均利润即X的数学期望. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先找出的所有取值，再由古典概型的概率公式分别求出对应的概率，最后列出分布列即可. （2）根据数学期望公式求值即可. 【小问1详解】 已知1件产品的利润为， 则的所有取值为， 则， ， ， ， 分布列为 【小问2详解】 23. 如图在直棱柱中，，，. （1）求证：； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理得出，再由线面垂直的判定定理得出平面，最后由线面垂直的定义即可证明. （2）取中点为，连接，得出为二面角的平面角，再由直角三角形中正切值的计算方法求值即可. 【小问1详解】 已知，，， 则，得， 即，解得， 所以，即， 又为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 且平面，， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 取中点为，连接， 因为，且， 所以， 因为平面，， 所以平面，又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 且，，则， 所以，在中， 24. 已知函数，求： （1）函数的最小正周期和函数图像的对称轴； （2）的单调增区间； （3）函数在区间上的值域. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式结合倍角公式化简，再由正弦函数的周期公式和对称轴公式求值即可. （2）运用整体法，令求解即可. （3）根据正弦函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 已知函数 ， 所以函数的最小正周期， 令，即， 解得， 所以该函数图象的对称轴为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 令， 即， 解得， 所以的单调增区间为. 【小问3详解】 当时，， 则当，时，单调递增， 当，时，单调递减， 所以为最大值， 且，， 所以为最小值， 所以函数在区间上的值域为. 25. 已知等差数列的第2项为4，前6项和为，数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可. （2）根据等比数列的定义证明，再由等比数列的通项公式求值即可. 【小问1详解】 已知等差数列的第2项为4，前6项和为， 设公差为，则，即， 解得， 所以. 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 且， 当时，则，解得， 当时，， 则， 即，整理得， 等式两边同时加1，得， 当时，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，所以. 26. 已知函数，不等式的解集是. （1）求函数的解析式； （2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解集求得参数，从而得解； （2）利用二次函数的最值，结合恒成立问题得到关于的二次不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，不等式的解集是， 所以和是方程的两个根， 则，解得， 因此. 【小问2详解】 因为的对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又 所以， 因为恒成立，即， 则，即，解得或， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $