检测7数列 能力卷-2025-2026学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测7数列-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 2．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（    ） A．18 B．24 C．32 D．42 3．等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则（   ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 4．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法－商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 11．记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知数列中，，则 . 13．已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 14．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为 . 3、 解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知等差数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 16．已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 18．已知数列和满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前n项和为，求. 19．已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若是关于的方程的根，求的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测7数列-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 2．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（    ） A．18 B．24 C．32 D．42 3．等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则（   ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 4．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法－商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 11．记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知数列中，，则 . 13．已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 14．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为 . 3、 解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知等差数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 16．已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 18．已知数列和满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前n项和为，求. 19．已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若是关于的方程的根，求的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C A A B B AD BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 2．C 【分析】由是等差数列，根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由题设是等差数列，， 则的公差为，故， 则得，故. 故选：C. 3．B 【分析】根据条件列方程组求解即可. 【详解】由，可得，，， 得. 故选：B 4．C 【分析】利用代入法求出数列前几项，进而能判断出函数的周期，再利用周期进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， ， ， 因此该数列的周期为， 于是. 故选：C 5．A 【分析】观察数列的分子为项数的平方、分母为项数的倍减，写出通项公式后代入即可求得第项. 【详解】第一项： 第二项： 第三项： 第四项： 所以通项公式为：，则第六项为：. 故选：A 6．A 【分析】根据条件建立方程组，解出，最后根据等比数列的性质算出答案. 【详解】设的公比为， 因为所以 两式相除得，所以． 故选：A． 7．B 【分析】列举出的取值，通过找规律找出具体的取值规律得出通项公式，然后利用裂项法求和. 【详解】由题可知；；；； 所以， 所以=2 . 所以. 故选：B. 8．B 【分析】先结合题意求出分段数列，再利用指数函数性质和二次函数性质求解参数范围，最后利用必要非充分条件的定义求解即可. 【详解】因为数列满足，所以， 当时，若数列为严格增数列，则， 当时，若数列为严格增数列， 则，可得，解得， 而数列为严格增数列，得到，解得， 综上可得，即， 则“数列为严格增数列”是“”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 9．AD 【分析】根据等差数列下标和性质判断A，根据等差数列通项公式判断B，根据等比数列下标和性质判断C、D. 【详解】对于A：因为， 所以由等差数列的性质可得，故 A 正确； 对于B：设等差数列的公差为， 因为，， 当时，故B错误； 对于C：因为， 所以由等比数列的性质可得不一定等于，故C错误； 对于D：因为， 所以由等比数列的性质可得，故D正确. 故选：AD 10．BCD 【分析】整理可得，代入即可判断AB；分析可知数列是以3为周期的数列，结合周期性判断CD. 【详解】由可得，且， 则，，，故A错误，B正确； 可知数列是以3为周期的数列， 所以，故CD正确； 故选：BCD． 11．BCD 【分析】利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D. 【详解】由，可得： ， 两式相减得：，即， 所以为等比数列，故B正确； 再由，可得， 即， 当时，有， 由于不满足上式，所以，故A错误； 由 ，故C正确； 由， 则， 两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 12． 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 13． 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 不满足，所以. 故答案为：. 14． 【分析】由题设条件可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量计算求出，从而求出其通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和即可. 【详解】（1）已知 ，根据通项公式可得 ， 则 ，解得 ， 所以 （2）由（1）知 ，则 ， 所以 . ， 因此，数列 的前 项和 . 16．(1), (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式可得答案. 【详解】（1）设数列的公差为，的公比为， 因为，，所以， 解得，，所以. 由，，可得，解得或， 因，则，故. （2）由（1）知，， 17．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而得到通项公式； （2）根据数列的构成特点，确定其通项公式，再计算前项和. 【详解】（1）因为是等差数列，由已知，，得， 所以，所以，所以； （2）由题意可知：，所以. 18．(1)证明见解析， (2)5840 【分析】（1）根据条件及等比数列的定义、通项公式计算即可； （2）先判定为等差数列及其通项公式，结合数列的单调性确定新数列分别含两数列的项数，分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 于是. （2）由已知得，又， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以. 因为数列，均为单调递增数列， 且前一个数列均为偶数，后一个数列均为奇数，故无重复项， 又，，， 同时， 所以数列前60项中含数列的前7项，数列的前53项. 记数列前n项的和为， 则， 记数列前n项的和为，则， 于是. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据，求得数列的递推公式，由定义判断数列是等比数列，由此求得数列的通项公式； （2）由题意得，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和公式，利用错位相减法求得数列的前项和，相加可得的前项和. 【详解】（1）因为，所以，即，所以； 当时，，所以，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以数列的通项公式为. （2）若是关于的方程的根，则. 记； 记， 则. 两式相减得， 所以. 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $