列方程解决较复杂的问题（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

教学设计 案例名称 列方程解决较复杂的问题 提供者 - 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是学习用方程解决较复杂的两步计算实际问题，重点掌握形如 ax+bx=c 的方程解法，如北京颐和园陆地与水面面积的关系问题。 （2）本节课主要让学生通过设未知数（设较小的未知量为 x，如陆地面积），利用线段图直观表示倍数关系（如水面面积是陆地的 3 倍），找到等量关系（陆地面积 + 水面面积 = 总面积），进而列出方程 x+3x=290 求解。同时延伸学习两积之和（如五年级和六年级人数关系）、两商关系的方程应用。 （3）通过学习，学生能掌握 “设未知数→画线段图→找等量关系→列方程→解方程→检验” 的完整解题流程，例如解决 “四、五年级共 264 人，五年级是四年级 1.2 倍” 这类问题时，能独立画出线段图，设四年级人数为 x，列出 x+1.2x=264 并求解，还能通过检验（如代入计算是否符合总人数）养成严谨习惯。 教学目标 （1）数学眼光：通过观察现实情境中的数量关系（如倍数关系、总量关系），能从题目中提取关键信息（如 “水面面积是陆地面积的 3 倍”“总面积 290 公顷”），借助线段图直观呈现数量特征，初步建立数学与现实问题的联系。 （2）数学思维：在分析含两个未知量的实际问题时，能运用代数思维（设未知数、找等量关系、列方程）构建形如/的方程模型，通过逻辑推理（如设陆地面积为/，水面面积为/）解决两步计算的复杂问题，培养抽象思维和方程思想。 （3）数学语言：能用数学语言（方程、线段图、等量关系式）准确表达现实问题中的数量关系，如列出 “陆地面积/水面面积/总面积” 的等量关系，写出/的方程，并能解释方程各部分的实际意义，实现数学表达与现实问题的转化。 教学重难点 （1）教学重点：能结合线段图等直观手段分析数量关系，根据 “和”“倍” 等关键信息找出等量关系，掌握形如 ax+bx=c 的方程解法，并用方程模型解决含两个未知量的实际问题，培养模型意识和几何直观素养。 （2）教学难点：在含有两个未知量且存在倍数关系的问题中，合理设较小未知量为 x（如设陆地面积为 x），并将 “倍数关系”“总量关系” 转化为数学等量关系，提升分析与推理能力。 教学方法 问题情境法、线段图辅助法、小组讨论法、比较分析法 教学环境及资源准备 （1）多媒体课件（含例 9、线段图、练一练等教学内容）。 （2）情景导入用应用题卡片（含 “大象和小白兔吹泡泡” 及等量关系题目）。 （3）达标练习打印材料（含解方程及实际问题练习题）。 教学过程 一、情景导入 — 引 “探究” （1）同学们，还记得上周我们解决的 “篮球和足球价格问题” 吗？（稍作停顿，观察学生反应）现在老师这里有个新问题想和大家一起研究：学校科技小组做模型，男生组和女生组一共做了 36 个模型，女生组做的数量是男生组的 2 倍，男生组做了多少个？（请同学们先独立思考，尝试用方程解决，教师巡视时关注学生的设未知数方式，比如有的学生可能设女生组为 x，有的可能设男生组为 x） （2）（生：我设男生组做了 x 个，女生组就是 2x 个，x+2x=36，3x=36，x=12，男生组做了 12 个。）（生：我设女生组做了 x 个，男生组就是 x/2 个，x + x/2=36，3x/2=36，x=24，男生组就是 12 个。）（师：非常好！两种方法都对，但设较小的量为 x 时，计算更简便。） 接下来我们用更生活化的例子复习等量关系，看看谁能快速说出下面描述中的数量关系： ①“妈妈今年 36 岁，是小明年龄的 4 倍”（生：小明年龄 ×4 = 妈妈年龄）； ②“苹果和橘子共买了 5 千克，苹果比橘子多 1 千克”（生：苹果重量 + 橘子重量 = 5 千克，苹果重量 - 橘子重量 = 1 千克）； ③“学校图书馆有故事书和科普书共 240 本，故事书是科普书的 3 倍”（生：故事书 + 科普书 = 240 本，故事书 = 科普书 ×3）。 （师：通过刚才的练习，我们发现 “倍数关系” 和 “和差关系” 是解决复杂问题的关键。今天我们要挑战的题目，需要同时用到这两种关系，而且有两个未知量 —— 比如 “一个数是另一个数的几倍，它们的和是多少”，这类问题该怎么用方程解决呢？让我们一起进入今天的学习！） 二、新知探究 — 习 “方法” 学习任务一：理解并掌握形如 ax+bx=c 的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题 （1）（课件出示例 9）：“北京颐和园占地 290 公顷，其中水面面积大约是陆地面积的 3 倍。颐和园的陆地和水面面积大约各有多少公顷？” 请同学们先默读题目，圈出关键信息：总占地 290 公顷、水面面积是陆地面积的 3 倍、求陆地和水面面积。 （2）（生：总占地是陆地和水面的和，水面是陆地的 3 倍，所以有两个未知量：陆地面积和水面面积。）（师：如果我们把陆地面积看作 “1 份”，水面面积就是 “3 份”，它们合起来是多少份呢？（引导学生思考） （3）（师拿出线段图教具）现在我们用画图的方法分析：先画一条线段表示陆地面积，长度设为 x（厘米），因为水面面积是陆地的 3 倍，所以再画三条同样长的线段表示水面面积，总长度是 4 条线段，对应 290 公顷。（边画边讲解：第一条线段标注 “陆地面积：x 公顷”，第二条、第三条、第四条线段标注 “水面面积：3x 公顷”，两条大线段合起来的总长度是 290 公顷。） （4）（师：看着线段图，谁能说说 “陆地面积” 和 “水面面积” 与 “总占地面积” 的关系？（生：陆地面积 + 水面面积 = 总占地面积）（师：没错！用字母表示就是 x + 3x = 290。这里为什么设陆地面积为 x 呢？（预设学生疑问）如果设水面面积为 x，那陆地面积就是 x/3，方程会变成 x + x/3 = 290，计算时需要通分，不如设较小的量为 x 简单，所以我们通常选择设倍数关系中的 “1 倍量” 为 x，这里陆地面积是 1 倍量，所以设为 x。） （5）（解方程步骤详解）师：现在解 x+3x=290，左边 x 可以看作 1x，1x+3x=4x（合并同类项），所以 4x=290。根据等式性质，两边同时除以 4，x=290÷4=72.5（公顷）。（生：这里计算是否正确？290÷4=72.5，没错！） （6）（求另一个未知量）师：求出陆地面积 x=72.5 公顷后，水面面积是 3x=3×72.5=217.5 公顷。（生：需要验证结果！）（师：如何验证？把 x=72.5 代入 x+3x，72.5+3×72.5=72.5+217.5=290，与总占地一致，正确！） （7）（易错点辨析）师：如果题目改为 “水面面积比陆地面积多 2 倍”，陆地和水面面积各是多少？（引导学生分析：“多 2 倍” 即 “是 3 倍”，与原题相同；若改为 “水面面积比陆地面积多 1 倍”，即 “是 2 倍”，则方程变为 x+2x=290，4x=290，x=72.5？不对，290÷3≈96.67，这里要注意 “多几倍” 和 “是几倍” 的区别，帮助学生区分概念。） 学习任务二：通过学习两积之和的数量关系，理解两积之差、两商之和、两商之差的数量关系 （1）（课件出示改编后的相遇问题）：“学校组织春游，小明和小红从校门口出发，小明骑自行车，速度是 200 米 / 分，小红步行，速度是 50 米 / 分，两人同时向相反方向走，10 分钟后两人相距多少米？”（生：这是相背而行，两人的路程和就是总距离，小明路程 200×10=2000 米，小红路程 50×10=500 米，总距离 2000+500=2500 米。） （2）（师：如果我们用方程解决，设时间为 t 分钟，那么小明路程 = 200t，小红路程 = 50t，总距离 = 200t+50t。）（对比原题）师：现在把题目改为 “小明和小红从校门口出发，向相反方向走，小明骑自行车，小红步行，小明速度是小红的 4 倍，10 分钟后两人相距 2500 米，小红的速度是多少？” （3）（引导学生设未知数：设小红速度为 x 米 / 分，则小明速度为 4x 米 / 分，两人路程和 =（x+4x）×10=2500 米，即 5x×10=2500，50x=2500，x=50 米 / 分。） （4）（线段图优化）师：画线段图时，我们可以用不同颜色标注小明和小红的行走方向（比如小明向右，小红向左），起点到小明终点的距离是 200t，起点到小红终点的距离是 50t，总距离就是两者相加。 （5）（小组讨论）师：刚才用方程解决了相背而行的问题，现在请小组讨论：如果是 “同向而行”（比如小明追小红），路程关系会怎样？（预设学生讨论：同向时，路程差 = 速度差 × 时间，所以方程会是 4x - x = 2500÷10，即 3x=250，x=250/3≈83.33 米 / 分。） 三、达标练习 — 活 “应用” （一）基础训练 （1）（学生独立完成，同桌互评）解方程： ①“果园里桃树和梨树共 75 棵，桃树是梨树的 4 倍，梨树有多少棵？”（改编为方程：设梨树 x 棵，桃树 4x 棵，x+4x=75，5x=75，x=15） ②“小明和妈妈今年年龄和是 42 岁，妈妈年龄是小明的 5 倍，小明今年多少岁？”（方程：x+5x=42，6x=42，x=7） （2）（教师点拨）师：基础训练的关键是 “找准 1 倍量”，设为 x 后，另一个量用倍数表示，再根据 “和 / 差” 关系列方程。 （二）学以致用 （1）“学校食堂买了一批大米和面粉，大米重量是面粉的 3 倍，大米比面粉多 120 千克，大米和面粉各多少千克？”（提示：设面粉为 x 千克，大米 3x 千克，3x - x = 120，2x=120，x=60，大米 180 千克） （2）“甲、乙两数的和是 32，甲数比乙数的 2 倍少 4，求甲、乙两数各是多少？”（提示：设乙数 x，甲数 2x-4，方程：x + (2x - 4)=32，3x - 4=32，3x=36，x=12，甲数 = 20） （三）能力拓展 （1）“一个长方形的周长是 120 厘米，长比宽多 20 厘米，长和宽各是多少厘米？”（提示：设宽 x 厘米，长 x+20 厘米，2 (x + x + 20)=120，4x + 40=120，4x=80，x=20，长 40 厘米） （2）“甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲车速度是乙车的 1.5 倍，3 小时后相遇，A、B 两地相距 375 千米，乙车每小时行多少千米？”（提示：设乙车速度 x 千米 / 时，甲车 1.5x 千米 / 时，(x + 1.5x)×3=375，2.5x×3=375，7.5x=375，x=50） 四、课堂小结 （1）师：今天我们解决了 “两个未知量且有倍数关系” 的问题，谁能用自己的话说说解题步骤？（生：先设 1 倍量为 x，另一个量用倍数表示；然后找 “和 / 差” 的等量关系；接着列方程、解方程；最后检验。） （2）（师：关键步骤是 “找等量关系”，比如 “和” 就是两个量相加，“差” 就是两个量相减，“倍数” 就是一个量是另一个量的几倍。） （3）（师展示板书思维导图）：设 1 倍量为 x → 表示另一个量 → 列 ax±bx=c 方程 → 解方程 → 检验 → 作答 （师：希望同学们遇到 “已知倍数关系和总量 / 差量” 的问题时，能像今天这样一步步分析，用方程轻松解决！） 作业布置 （1）解方程。 ① / ② / ③ / （2）解决问题。 同学们参观 “科普展览”，四年级和五年级一共去了 216 人，五年级去的人数是四年级的 1.5 倍。两个年级各去了多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $