精品解析：山东省济宁市微山县第二中学职教班2024-2025学年高二下学期第三次月考数学试题

高二数学春考第三次月考试卷 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元一次不等式组的解法可求. 【详解】，，， 即，解集为. 故选：C. 2. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分母分解因式，通分后进行分式运算，约分可得结果. 【详解】原式 . 故选：D 3. 已知抛物线与双曲线在同一直角坐标系中的图像如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求交点，然后根据图像求解即可 【详解】将代入，解得，即 将，，代入，解得，即， 抛物线，定义域为，双曲线，定义域为，交点坐标为， 由图像可知当时，函数图像在双曲线的上方，即； 当时时，函数图像在双曲线的上方，即； 综上或； 故选：C 4. 如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ） A. 减函数且最小值为5 B. 减函数且最大值为5 C. 增函数且最小值为5 D. 增函数且最大值为5 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可判断结果． 【详解】因为偶函数在区间上是增函数，且偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反， 所以在区间上是减函数. 又因为在区间上最小值为5，即， 所以在区间上的最小值为. 故选：A 5. 下列命题正确的是（ ） A. 经过3点确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 四边形确定一个平面 D. 经过一条直线和一个点确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面的基本性质与空间四边形的概念可判断 【详解】对于A，不共线的3点确定一个平面，故错误； 对于B，两两相交且不共点的三条直线，三个不共线的点（三个交点）可以确定一个平面，三条直线都在该平面内，故正确； 对于C，空间四边形不是平面图形，故错误； 对于D，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错误； 故选：B. 6. 的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心距与半径之间的关系可判断 【详解】两圆半径之差为，两圆半径之和为，， 两圆相交； 故选：. 7. 将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的结构特征可判断 【详解】如图，一个长方形绕它的一条边旋转一周， 邻边旋转一周变为圆，高为， 所以长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是圆柱； 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求值即可. 【详解】已知， 则. 故选：A. 9. 为了得到的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A. 横坐标缩短至原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标伸长至原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短至原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标伸长至原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图像变化规则可解 【详解】与，振幅都为相等，所以纵坐标不变， 与，初相为相等，从变为， 横坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的倍， 故选：A. 10. 已知向量，向量，则下列哪个向量是的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示可求 【详解】向量，向量， ，故A错； ，故B错； ，故C正确； ，故D错； 故选：C. 11. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由被开方数大于等于0，分母不为0，即可求得定义域. 【详解】由解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 12. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,可以利用特殊值验证法求解,也可以利用绝对值及对数不等式的解法求解. 【详解】解:根据题意,当时,不等式无意义,排除B, 当时,不等式排除C,D. 故选:A 13. 在数列中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，推导求解. 【详解】因为， 所以 ， 故选：C 14. 圆的圆心在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程写出圆心坐标，从而确定圆心所在象限 【详解】的圆心为，为第二象限； 故选：. 15. 景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理即可得出答案. 【详解】上山有2种，下山有3种，或者上山有3种，下山有2种，符合分步计数原理，. 故选：C. 16. 若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出，然后利用正弦函数的性质可求 【详解】根据点到直线的距离公式得，解得， 则，即，则； 故选：A. 17. 关于x，y的方程，表示的图形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过的取值，判断曲线的形状即可． 【详解】当时，关于，的方程，表示焦点坐标在轴上的椭圆； 当时，关于，的方程，表示焦点坐标在轴上的椭圆； 当时，关于，的方程，表示焦点在轴上的双曲线， 当时，关于，的方程，表示的是圆. 故选：D． 18. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，该抛物线上的点M到x轴的距离为5，且，则焦点F到准线l的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据的几何意义，即焦点到准线的距离是进行求解. 【详解】设，不妨设， 到轴的距离为， ， ， ， . 则焦点到准线的距离是. 故选：C. 19. 已知矩形ABCD，，把这个矩形分别以AB、BC所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为、，则与的比值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式分别求出与，再求比值得结果. 【详解】以AB所在直线为轴旋转一周所得到几何体的底面半径为BC，高为AB， 则侧面积为， 以BC所在直线为轴旋转一周所得到几何体的底面半径为AB，高为BC， 则侧面积为， 则. 故选：B. 20. 已知是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上任意一点，且，那么（ ）． A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由椭圆方程确定的值，再由椭圆的定义即可解答. 【详解】已知椭圆中，， 由点P为椭圆上任意一点，可得， 其中，所以， 故选：D. 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 21. 已知函数，则的值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的解析式，代入即可求解. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为： 22. 已知，若，则等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 由，得. 故答案为：. 23. 如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面,平面，所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面,平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 24. 已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，若点在椭圆C上，则椭圆C的离心率等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的几何条件求得a、c的值，即可求出离心率. 【详解】因为椭圆C的一个焦点的坐标是 所以椭圆的焦点在y轴上，且， 设椭圆的标准方程为， 因为点在椭圆C上，将点代入椭圆方程为：， 解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 25. 计算：____________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故答案为：24. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数，，求： （1）求出函数的导函数； （2）求当时的单调递增区间； （3）求当时的单调递增区间； （4）若在处取得极值，求a值； 【答案】（1） （2） （3）和 （4） 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则求解； （2）令，解不等式可得单调递增区间； （3）令，解不等式可得单调递增区间； （4）根据函数在极值点处的导数为求解. 【小问1详解】 对求导得：. 【小问2详解】 令，即， 因为，所以，又，则恒成立， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 令，即，其中， 即，即，解得或， 所以的单调递增区间为和. 【小问4详解】 因为函数在极值点处的导数为，所以， 得，解得. 当时，， 令，得或， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取得极大值， 综上，. 27. 已知函数，其中m为常数. （1）若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； （2）若，都有，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的开口方向和对称轴易得答案； （2）根据开口向上的二次函数恒成立，只需根的判别式小于易得答案. 【小问1详解】 因为函数开口向上， 所以该函数的对称轴， 即，解得； 所以实数m的取值范围； 【小问2详解】 因为函数恒成立， 所以根的判别式， 整理得，解得； 所以实数m的取值范围. 28. 已知在等比数列中，已知，求： （1）数列{}的通项公式. （2）若数列满足求的前项和 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用定义法求出等比数列的通项公式. （2）直接利用求和公式求出等比数列的前项和. 【小问1详解】 因为等比数列中,. 可得公比解得. 代入得. 解得. 所以通项公式. 所以通项公式. 【小问2详解】 由（1）可知. 所以. 则. 所以. 29. 双曲线的左、右焦点分别是，，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示． （1）求双曲线及抛物线的标准方程； （2）设直线l与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于A，B两点，交双曲线于点C，若点C是线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据M的坐标代入抛物线方程求出p，根据共焦点求出焦点坐标，再结合M的坐标，联立方程解出a，b. （2）先求双曲线的渐近线方程，根据平行关系设直线l方程，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式，再将中点坐标代回到双曲线方程，讨论即可求解出直线方程. 【小问1详解】 将点代入抛物线方程，有， 解得.∴焦点坐标为 ∴，且双曲线的焦点在x轴上， 即有， ∴可设双曲线的方程为， 将代入， ∴或（舍去）， ∴， 综上，抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 根据题意，双曲线焦点在x轴上且过一、三象限的渐近线方程可设为：. 由（1）问可知，∴渐近线方程为：， 于是可设直线方程l：， 与抛物线方程联立： 可得：， ∴，， ∴中点C的坐标为， 将C的坐标代入双曲线方程，解得或， 经验证，不合题意，故舍去． ∴直线方程为：． 30. 如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，． （1）求证：平面MAD； （2）求棱锥M−NAD的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证线面平行关键找到平面外的一条直线与平面内直线平行，可先在MA上取一中点H，然后根据条件，验证四边形NCDH是平行四边形，可得，即可得证. （2）根据线面垂直的判定，先验证AD⊥平面MABN，然后以平面NAM为底，AD为高根据椎体体积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：取MA中点H，连接NH，DH， ∵MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， ∴， 又∵，． ∴， ∴四边形NBAH为平行四边形， ∴，， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形NCDH为平行四边形， ∴，且，平面MAD， ∴平面MAD. 【小问2详解】 ∵四边形ABCD为矩形，∴， 又∵MA⊥平面ABCD，且平面， ∴， 又∵，且平面，平面， ∴平面， 故以平面NAM为底，AD为高， ∴，又， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学春考第三次月考试卷 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 化简（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线与双曲线在同一直角坐标系中的图像如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ） A. 减函数且最小值为5 B. 减函数且最大值为5 C. 增函数且最小值为5 D. 增函数且最大值为5 5. 下列命题正确的是（ ） A. 经过3点确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 四边形确定一个平面 D. 经过一条直线和一个点确定一个平面 6. 的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 7. 将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 8. 已知，则（ ） A. 或 B. C. D. 9. 为了得到的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A. 横坐标缩短至原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标伸长至原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短至原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标伸长至原来的2倍，横坐标不变 10. 已知向量，向量，则下列哪个向量是的坐标（ ） A. B. C. D. 11. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 12. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 13. 在数列中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 圆的圆心在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 16. 若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（ ） A. B. C. D. 17. 关于x，y的方程，表示的图形不可能是（ ） A. B. C. D. 18. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，该抛物线上的点M到x轴的距离为5，且，则焦点F到准线l的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 19. 已知矩形ABCD，，把这个矩形分别以AB、BC所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为、，则与的比值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 20. 已知是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上任意一点，且，那么（ ）． A. 4 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 21. 已知函数，则的值等于______. 22. 已知，若，则等于_________． 23. 如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 24. 已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，若点在椭圆C上，则椭圆C的离心率等于_________． 25. 计算：____________． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数，，求： （1）求出函数的导函数； （2）求当时的单调递增区间； （3）求当时的单调递增区间； （4）若在处取得极值，求a值； 27. 已知函数，其中m为常数. （1）若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； （2）若，都有，求实数m的取值范围. 28. 已知在等比数列中，已知，求： （1）数列{}的通项公式. （2）若数列满足求的前项和 29. 双曲线的左、右焦点分别是，，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示． （1）求双曲线及抛物线的标准方程； （2）设直线l与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于A，B两点，交双曲线于点C，若点C是线段AB的中点，求直线l的方程． 30. 如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，． （1）求证：平面MAD； （2）求棱锥M−NAD的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $