10.4三元一次方程组的解法同步练习 2025-2026学年 人教版数学七年级下册

10.4三元一次方程组的解法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 2．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文，，对应的密文分别为，，．例如明文1，，3对应的密文为2，，18．若接收方收到密文4，，9，则解密得到的明文为（    ） A．3，0， B．3，，0 C．5，，36 D．4，，3 3．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（    ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 6．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元． A．25 B．100 C．50 D．125 7．《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱 ．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十 ．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十 ．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六 ．”若设甲、乙各持钱数为x、y，则丙持钱数不可以表示为( ) A． B． C． D． 8．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需21元；若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本，共需35元．购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需（   ） A．8元 B．7元 C．6元 D．不能确定 9．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 10．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 二、填空题 11．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ． 12．若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的，设其中两条边的长度分别为x、y，则三角形中最短的一条边为 ． 13．甲、乙、丙三数的和为25，甲、乙两数之和比丙大5，乙比丙小3．若设甲为x，乙为y，丙为z，则可列方程组为 ． 14．已知，则 ． 15．某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有 条． 三、解答题 16．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 17．合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 18．解下列方程组． (1)； (2)． 19．解下列三元一次方程组： （1）；（2）． 20．解下列方程组： (1) (2) 21．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11． （1）求a，b，c的值； （2）小苏发现：当x＝﹣1或x＝时，y的值相等．请分析“小苏发现”是否正确？ 22．在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 《10.4三元一次方程组的解法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A C C C B D D 1．D 【详解】解：根据三元一次方程的定义， x＋y－z＝2 015是三元一次方程，故选D. 2．B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．根据接收方收到密文4，，9，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴解密得到的明文为3，，0． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案． 【详解】解：设2与x中间的数为z，由题意得： ， ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查三元一次方程组的建模及其特殊解法：根据系数特点，将两式相加，整体求解．设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解． 【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为元、元、元， 根据题意：得， 把这两个方程相加得：， ， 购甲、乙、丙各一件共需元， 故选：C． 7．C 【分析】设丙的钱数为z，根据丙语列方程，根据甲语列方程 ，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ． 【详解】解：设丙的钱数为z， 根据丙语得：整理得，故选项A不合题意； 根据甲语得：整理得，故选项B不合题意； 根据乙语得：整理得，故选项C符合题意，选项D不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键． 8．B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需要21元，若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需35元列出方程组． 【详解】解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元 由题意得： 得：． 故选：B． 9．D 【分析】根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 故原方程组的解为． 故选D． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 10．D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 11．或或 【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即可得出答案． 【详解】解：当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，熟练掌握概念是解题的关键． 12．6 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z，根据题意解出方程即可求解． 【详解】解：设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z， 根据题意有：， 解得：， 则三角形中最短的一条边为6， 故答案为：6． 13． 【分析】本题考查了列三元一次方程组解应用题，通过“甲、乙、丙三数的和为25”.“甲、乙两数之和比丙大5”，“乙比丙小3”三个等量关系列方程组即可． 【详解】解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，得： 故答案为： 14．9：5：3 【分析】先用②-①，得出，再把将代入①，得出，然后代入中计算即可得出答案． 【详解】解：， ②-①，得： ，则， 将代入①得：，则； 因此． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用加减消元或代入消元法把三元一次方程转化为二元一次方程是解题的关键． 15．2 【分析】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意列出方程，可得，由乙公司需加工的产品总量比甲公司少，可得，得出，结合，求得，根据是正整数，即可求解． 【详解】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意得： ，是正整数， ， 乙公司需加工的产品总量比甲公司少， ， 即. ， ， ， 是正整数， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 16．每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分 【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分． 根据题意，得，解得， 故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分． 17．(1) (2)元 【分析】（1）设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元，根据题意列出三元一次方程组，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元， 根据题意得：， ， （2）解：设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可； （2）用加减消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 化简得：， 把①代入③得：， 化简得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， ∴原方程的解为 （2）解： 得：， 得：， 把代入②得：， 把，代入①得：， ∴原方程的解为 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法、代入消元法是解题关键． 19．（1）；（2）． 【分析】（1）把①代入②消去y，和③组成关于x、z二元一次方程组求解； （2）①−3×②消去y组成关于x、z二元一次方程组求解． 【详解】解：（1）， 把①代入②得11x＋2z＝23④， ③、④组成方程组得， 解得，代入①得y＝−3， 所以原方程组的解为； （4） ①−3×②得4x＋6z＝9④， ④、③组成方程组得， 解得，代入①得y＝， 所以原方程组的解为． 【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，代入消元法和加减消元法是常用的方法，加减消元法是比较简洁的方法． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一元一次方程． （1）化成整数系数方程，再利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）逐步消元，利用加减消元法或代入消元法把三元一次方程组先化成二元一次方程组，再化成一元一次方程，进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）整理方程组，得 ，得，解得． 将代入①，得，解得． 所以原方程组的解为 （2）解：由，得．④ ，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解为． 21．（1）；（2）正确 【分析】（1）由“当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11”即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）把x＝﹣1，x＝分别代入等式求得y的值，即可判断． 【详解】解：（1）根据题意，得， ②﹣③，得4b＝﹣8， 解得b＝﹣2； 把b＝﹣2，c＝﹣5代入②，得4a﹣4﹣5＝3， 解得a＝3， ∴； （2）“小苏发现”是正确的， 由（1）可知等式为y＝3x2﹣2x﹣5， 把x＝﹣1时，y＝3+2﹣5＝0； 把x＝时，y＝﹣5＝0， ∴当x＝﹣1或x＝时，y的值相等． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是由已知得出关于a、b、c的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大． 22．中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚， 根据题意，得 解得 所以中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚． 学科网（北京）股份有限公司 $