精品解析：四川省遂宁安居职业高级中学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

遂宁安居职业高级中学校高2023级2025年5月数学月考试题 （满分150 考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共15个小题，每题4分，共60分） 1. 的虚部是（ ） A. B. 3i C. 3 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的虚部的定义即可得解. 【详解】根据复数的概念可知的虚部是3， 故选：C. 2. 若随机变量，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的方差计算公式带入即可求解. 【详解】因为随机变量，所以. 故选：. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为标准方程，利用标准方程求焦点坐标即可. 【详解】，即，抛物线焦点在轴正半轴， 则，， 则焦点坐标为； 故选：D. 4. 在四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是（ ） A. 2 B. C. 12 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列的意义，结合排列数公式即可得解. 【详解】因为在四个候选人中，选出正副班长各一个， 相当于从4个元素中选出2个元素进行排列， 所以其选法的种数为. 故选：C. 5. 5名男生和3名女生站成一排，女生不相邻且不站在排头的站法有（ ）种 A. 40320 B. 720 C. 7200 D. 14400 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数的应用，利用插空法，即可求解. 【详解】由题意，第一步，先将5名男生全排列，有种不同的方法， 第二步，让3名女生插5个空（除去最前面空的位置），共有种不同的方法， 故共有不同的站法总数为种. 故选：C. 6. 鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为（ ） A. 0.33 B. 0.66 C. 0.5 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式求解. 【详解】依题意，设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为，则， 所以, 故选：A. 7. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 （ ） A. 30种 B. 90种 C. 180种 D. 270种 【答案】B 【解析】 【分析】将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，再将3组分到3个班，利用分步计数原理即可得解. 【详解】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名， 则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法， 再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案. 故选：B. 8. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入二项式中，即可解答. 【详解】已知， 令，得， 故选：C. 9. a，b表示空间直线，，表示空间平面，下列结论正确的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质、面面垂直的性质、线面平行的性质以及面面平行的性质，即可求解. 【详解】对于A：由线面垂直的性质可知，，故A错误； 对于B：由，，可得或， 因为，可得，故B正确； 对于C：由，，可得或a，b相交或a，b异面，故C错误； 对于D：由，可得，故D错误. 故选：B. 10. 已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆的性质得出四边形各顶点的坐标，再结合正方形的性质得到、、的关系，最后根据椭圆离心率公式求解离心率. 【详解】因为椭圆， 所以，，其中，，， 因为四边形为正方形，所以（为坐标原点）， 可得，，则， 又，得到， 即离心率. 故选：B. 11. 直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合焦点弦的长度公式，即可求解. 【详解】因为抛物线方程为， 所以， 因为直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点， 又， 所以. 故选：B. 12. 直三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，，分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将异面直线转化成同一个平面,再根据三角函数的定义易得答案. 【详解】 取的中点记为,连接, 由题意得,平面, 所以平面,所以,, 因为是的中位线, 所以,所以, 因为直线与所成角是, 所以. 故选:C. 13. 已知，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 3 B. 或3 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解即可得出实数的值. 【详解】已知复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：C. 14. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望等于（ ） A. 1 B. 0.6 C. D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据分布列的性质求出，再根据期望的公式求解即可. 【详解】因为，解得. 所以. 故选：D. 15. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线求得，由双曲线的一个焦点在直线上，求得，联立可解出，即可得解. 【详解】双曲线的渐近线为：，焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线平行于直线，则， 直线与轴的交点为，由题意为双曲线的一个焦点， 则，则，又，解得， 则双曲线的方程为. 故选：D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，共20分） 16. 方程的解为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】由方程可知，， 所以， 因为， 所以，， 所以方程的解为或. 故答案为：或. 17. 把4封不同的信投到3个不同的邮筒里，不同的投法有______种． 【答案】 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解． 【详解】每封信均有3种投递方式，由分步计数原理可知，不同的投法有种． 故答案为： 18. ______. 【答案】164 【解析】 【分析】根据组合数计算即可. 【详解】由组合数性质可知，，，…，. 故 故答案为：164. 19. 若双曲线的一个焦点坐标为，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】将方程转换成双曲线的标准方程，根据焦点坐标列出关于的方程，求解即可． 【详解】因为双曲线的焦点在y轴， 所以双曲线的标准方程为（），即， 因为其中一个焦点为，即， 所以由，得，解得． 故答案为：1． 20. 一个的二面角，其中一面上有一点P，点P到另一个面的距离为a，则点P到棱的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的大小，结合二面角的定义求点P到棱的距离. 【详解】如图，设为在面上的射影. 则，作，连接, 显然， . 故答案为：. 三、解答题（本大题共6个小题，21题10分，22、23、24、25、26每题12分，共70分） 21. 已知复数，为虚数单位. （1）求； （2）若复数是关于方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数模的定义求解； （2）利用复数与其共轭复数是同一个一元二次方程的根，结合韦达定理即可得解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 复数是关于的方程的一个根， 是关于x的方程的另一个根， 所以，解得，. 22. 已知二项式的展开式中共有项，求： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中含的项； （3）展开式中所有项的系数之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）二项式系数和只和指数有关，据此可得出结论； （2）根据展开式的通项公式求解； （3）令即可求解. 【小问1详解】 由于二项展开式有项，故． 所有二项式系数的和为． 【小问2详解】 二项式展开式的通项为， 令得． 故展开式中含的项为． 【小问3详解】 令，得展开式中所有项的系数之和为． 23. 有 0、 1、2 、3 、4、 5 六个数字 . （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ 【答案】（1）180 （2）100 （3）52 【解析】 【分析】利用特殊位置法可求. 【小问1详解】 百位不能为零，十位个位无要求， 则有个不同的三位数； 【小问2详解】 百位不能为零，十位个位无要求， 则有个不同的三位数； 【小问3详解】 百位不能为零，个位要是偶数， 个位为零，则个， 个位不为零，百位不能为零，则， 则可以组成个无重复数字的偶数的三位数. 24. 甲、乙两人独立射击，甲击中靶的概率为，乙击中靶的概率为． （1）若两人同时射击，且相互不影响，求至少有1人击中靶的概率； （2）若甲单人连续射击3次，且各次射击的结果互不影响，记中靶次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求值即可. （2）的所有可能取值为，分别求出对应的概率，列出分布列，再由数学期望公式求值即可. 【小问1详解】 设至少一人击中靶的事件为，两人都没有击中靶的事件为， 已知甲击中靶的概率为，乙击中靶的概率为， 则有 . 【小问2详解】 甲单人连续射击3次，且甲击中靶的概率为， 的所有可能取值为， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 25. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，分别是，的中点，平面． （1）判断与平面的位置关系； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）平面 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理可得结论； （2）先求得底面的面积和三棱锥的高，再根据三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 与平面平行，理由如下： 连接，如图 分别是的中点，． 又平面平面， 平面． 【小问2详解】 四边形是边长为2的正方形， ， 又平面， ． 26. 已知是椭圆的两个焦点，过左焦点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点. （1）求直线的方程； （2）求两点间的距离； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程确定的值，得出焦点坐标，利用点斜式方程可得直线方程； （2）联立椭圆与直线的方程，利用韦达定理和弦长公式求解； （3）由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形面积公式即可求出结果． 【小问1详解】 由，可得， 所以，得，即. 由于直线的斜率为1，且过点， 所以的方程为，即. 【小问2详解】 设. 由，得， 则， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为到直线的距离， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁安居职业高级中学校高2023级2025年5月数学月考试题 （满分150 考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共15个小题，每题4分，共60分） 1. 的虚部是（ ） A. B. 3i C. 3 D. i 2. 若随机变量，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是（ ） A. 2 B. C. 12 D. 64 5. 5名男生和3名女生站成一排，女生不相邻且不站在排头的站法有（ ）种 A. 40320 B. 720 C. 7200 D. 14400 6. 鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为（ ） A. 0.33 B. 0.66 C. 0.5 D. 0.45 7. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 （ ） A. 30种 B. 90种 C. 180种 D. 270种 8. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. a，b表示空间直线，，表示空间平面，下列结论正确的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ， 10. 已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 直三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，，分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 13. 已知，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 3 B. 或3 C. D. 2或 14. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望等于（ ） A. 1 B. 0.6 C. D. 2.4 15. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，共20分） 16. 方程的解为_____________. 17. 把4封不同的信投到3个不同的邮筒里，不同的投法有______种． 18. ______. 19. 若双曲线的一个焦点坐标为，则________． 20. 一个的二面角，其中一面上有一点P，点P到另一个面的距离为a，则点P到棱的距离为______. 三、解答题（本大题共6个小题，21题10分，22、23、24、25、26每题12分，共70分） 21. 已知复数，为虚数单位. （1）求； （2）若复数是关于方程的一个根，求实数的值. 22. 已知二项式的展开式中共有项，求： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中含的项； （3）展开式中所有项的系数之和. 23. 有 0、 1、2 、3 、4、 5 六个数字 . （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ 24. 甲、乙两人独立射击，甲击中靶的概率为，乙击中靶的概率为． （1）若两人同时射击，且相互不影响，求至少有1人击中靶的概率； （2）若甲单人连续射击3次，且各次射击的结果互不影响，记中靶次数为，求的分布列和数学期望． 25. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，分别是，的中点，平面． （1）判断与平面的位置关系； （2）求三棱锥的体积． 26. 已知是椭圆的两个焦点，过左焦点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点. （1）求直线的方程； （2）求两点间的距离； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $