5.2.1 古典概型 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

5.2.1　古典概型 一、必备知识基础练 1.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于(　　) A. B. C. D. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是(　　) A. B. C. D. 3.5张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,从中任意抽取一张,抽到的卡片上的数字为奇数的概率是(　　) A. B. C. D. 4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　) A. B. C. D. 5.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　) A. B. C. D. 6.从编号分别为1,2,3,4,5的5个大小完全相同的小球中,随机取出3个小球,则恰有2个小球编号相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 7.(2025甘肃兰州高一期末)将一枚六个面点数分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使得一元二次方程x2-ax+b2=0有两个相等的实数解的概率为　　　　　.  8.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是　　　　　,“至少有2枚反面朝上”的概率是　　　　　.  二、关键能力提升练 9.(多选题)随机排列数字1,5,6得到一个三位数,则(　　) A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为 C.所得的三位数是偶数的概率为 D.所得的三位数大于400的概率为 10.(2025甘肃白银高一期末)一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张卡片,随机地选取两张卡片并求卡片上的数字之和.记不放回地选取且和为6的概率为P1,有放回地选取且和为6的概率为P2,则P1∶P2的值为(　　) A.2 B.1 C. D. 11.(多选题)某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动,有人提议:掷两个骰子,得到的点数之和是几就选几班.这种做法(　　) A.每个班被选到的概率都为 B.4班和10班被选到的概率都为 C.2班和12班被选到的概率最小 D.7班被选到的概率最大 12.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　) A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为 D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为 13.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.一次游戏中甲胜出的概率是　　　　.  14.某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如表: 乘坐站数 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若小华、小李两人共付费5元,则小华、小李下地铁的方案共有多少种? (2)若小华、小李两人共付费6元,求小华比小李先下地铁的概率. 15.(1)用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏是否公平?请通过计算说明. (2)若投掷三枚质地均匀的硬币,规定:三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,其他情况算乙胜.这个游戏是否公平?请通过计算说明. 三、学科素养创新练 16.(北师大版教材习题)某次茶话会上,共安排4个节目,其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目,按任意次序排出一个节目单,试求下列事件的概率: (1)舞蹈在最前或最后; (2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后; (3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后; (4)两个歌唱节目相邻; (5)舞蹈排在小品之前. 参考答案 1.D　由题知,在该问题中样本点总数为5,这位乘客等候的汽车首先到站这个事件包含2个样本点,故所求概率为. 2.C　样本点有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个.甲站在中间的样本点包括:乙甲丙、丙甲乙,共2个.所以甲站在中间的概率为P=. 3.C　在5张卡片中任意抽取一张有5种不同取法,取到卡片上的数字为奇数的有2种不同取法,根据古典概型计算概率的方法得,抽到的卡片上的数字为奇数的概率是.故选C. 4.B　从1,2,3,4中任取2个不同的数,样本空间为{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点,而事件“2个数之差的绝对值为2”的样本点只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4个,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为. 5.B　设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,x1,x2,x3分别表示取出的3只兔子,则数组(x1,x2,x3)表示样本点,则该试验的样本空间Ω={(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)},设M=“恰有2只测量过该指标”,则M={(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)},所以恰有2只测量过该指标的概率为,故选B. 6.C　从编号分别为1,2,3,4,5的5个大小完全相同的小球中,随机取出3个小球,共有10种不同的取法,用集合A表示事件“恰有2个小球编号相邻”,则A={(1,2,4),(1,2,5),(2,3,5),(3,4,1),(4,5,1),(4,5,2)}, 所以所求概率为P=.故选C. 7.　若一元二次方程x2-ax+b2=0有两个相等的实数解,则a2-4b2=0,即a=2b,一个骰子连续抛掷两次,得到的点数依次为a,b,记为(a,b),所有可能共36种,其中满足题意的有(2,1),(4,2),(6,3),共3种.故使得一元二次方程x2-ax+b2=0有两个相等的实数解的概率为. 8.　样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=. 9.BD　随机排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确; 其中奇数有165,561,615,651,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为,故B正确; 其中偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为,故C不正确; 其中大于400的有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为,故D正确.故选BD. 10.B　由题意知6=1+5=2+4=3+3. 不放回地选取共有20个样本点,卡片上的数字之和为6的有4个样本点,分别为(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),所以P1=; 有放回地选取共有25个样本点,卡片上的数字之和为6的有5个样本点,分别为(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),所以P2=.则P1∶P2=1.故选B. 11.BCD　由题意将两枚骰子的点数之和列出如下表: 点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表得,7班被选到的概率最大为,6班与8班被选到的概率都为,5班与9班被选到的概率都为,4班与10班被选到的概率都为,3班与11班被选到的概率都为,2班与12班被选到的概率都为.故选BCD. 12.ABC　从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=,故A正确;样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共4个样本点,而能构成三角形的样本点只有(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误. 13.　一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,甲胜出设为事件A,A={(甲黑,乙白,丙白),(甲白,乙黑,丙黑)},共2个样本点, 所以甲胜出的概率为. 14.解(1)由题意知小华、小李乘坐地铁,其中一人不超过3站,另外一人超过3站不超过6站,设前6站依次为A1,B1,C1,A2,B2,C2,若小华乘坐地铁不超过3站,则他们下地铁的所有方案为(A1,A2),(A1,B2),(A1,C2),(B1,A2),(B1,B2),(B1,C2),(C1,A2),(C1,B2),(C1,C2),同理,若小李乘坐地铁不超过3站,也有9种方案, ∴小华、小李下地铁的方案共有9+9=18种. (2)设9站依次分别为A1,B1,C1,A2,B2,C2,A3,B3,C3. ∵小华、小李两人共付费6元,则车费情况可能有三种: 小华付2元,小李付4元;小华付3元,小李付3元;小华付4元,小李付2元,∴小华、小李两人共付6元共有27种下车方案. 而小华比小李先下地铁的方案有12种:(A1,A3),(A1,B3),(A1,C3),(B1,A3),(B1,B3),(B1,C3),(C1,A3),(C1,B3),(C1,C3),(A2,B2),(A2,C2),(B2,C2)(其中第一个字母代表小华下地铁的站,第二个字母代表小李下地铁的站). ∴小华比小李先下地铁的概率为P=. 15.解(1)这个游戏公平.理由: 抛掷两枚质地均匀的硬币,所有情况有{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}. 记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”,则P(A)=P(B)=, ∴这个游戏是公平的. (2)这个游戏不公平.理由: 抛掷三枚质地均匀的硬币,所有情况有{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}. 记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”, 则P(A)=,P(B)=. ∴这个游戏不公平. 16.解将2个歌唱节目分别记为1,2,将舞蹈、小品节目分别记为3,4,按任意次序排出一个节目单,依题意可知,其样本空间中包含的所有样本点为(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共24个. (1)设“舞蹈在最前或最后”为事件A,则满足A的样本点有12个,所以P(A)=. (2)设“舞蹈和小品1个在最前、1个在最后”为事件B,则满足B的样本点有4个,所以P(B)=. (3)设“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”为事件C,则满足C的样本点有20个,所以P(C)=. (4)设“两个歌唱节目相邻”为事件D,则满足D的样本点有12个,所以P(D)=. (5)设“舞蹈排在小品之前”为事件E,则满足E的样本点有12个,所以P(E)=. 8 学科网（北京）股份有限公司 $