精品解析：江西省新余市第四中学2025-2026学年高三年级第一次模拟考试数学试题

2025-2026学年高三年级第一次模拟考试 数学试题 说明： 1．本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知，则集合为（    ） A. B. C. D. 2. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面，和直线a，b，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 4. 已知、是双曲线与椭圆的公共焦点，点是、在第一象限的交点，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4051 8. 已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程，则下列结论正确的是（ ） A. 若方程表示椭圆，则 B. 若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 存在，使方程表示直线 D. 存在，使方程表示抛物线 10. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ） A. 正四面体的外接球表面积为 B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为 D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为 11. 年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成等份，只好先去睡觉，准备第二天再分．夜里只猴子偷偷爬起来，先吃掉个桃子，然后将其分成等份，藏起自己一份就去睡觉了；第只猴子又爬起来，吃掉个桃子后，也将桃子分成等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的只猴子都先后照此办理．问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”下列说法正确的有（ ） A. 若最初有个桃子，则被除的余数为 B. 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列 C. 若最初有个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得个桃子 D. 若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在答题卷相应位置， 12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 13. 若不等式对恒成立，则______. 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （1）从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. （2）现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 16. 设的内角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求的值； （2）若，求面积． 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 18. 函数的定义域为，且，，在处的切线为． （1）求的最大值； （2）证：当时，除切点A外，均在上方； （3）当时，直线过A点且与垂直，，与x轴的交点横坐标分别为，求的取值范围． 19. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的标准方程； （2）按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三年级第一次模拟考试 数学试题 说明： 1．本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知，则集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式，求得具体的集合，再求交集，要注意集合的元素特征. 【详解】由得， 由 得. 所以=. 故选：C. 2. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性 【详解】当时，不成等比数列，所以不是充分条件； 当成等比数列时，则，所以是必要条件. 综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件 故选B. 【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 3. 已知平面，和直线a，b，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，根据线面平行的判定定理判断选项的正误即可；对于B选项，根据面面垂直的性质定理判断选项的正误即可；对于C选项，通过举出反例即可判断选项正误；对于D选项，利用线面平行的性质定理结合线面垂直的性质定理即可判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知，时，存在与两种情况，故A选项错误； 对于B选项，已知，时，根据面面垂直的性质定理可得：只有当垂直于与的交线，才能推出；若与交线不垂直，则不垂直于，故B选项错误； 对于C选项，已知，时，存在与两种情况，故C选项错误； 对于D选项，过作平面与交于直线，由于，则；又因为，，则，因此可得：.故D选项正确. 故选：D 4. 已知、是双曲线与椭圆的公共焦点，点是、在第一象限的交点，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出，利用椭圆的定义可求出椭圆的长半轴长，结合椭圆的离心率公式可得结果. 【详解】如下图所示： 在双曲线中，该双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 半焦距为， 因为，由双曲线的定义可得， 设椭圆的长半轴长、半焦距分别为、， 由椭圆定义可得，则， 由题意可知，故椭圆的离心率为. 故选：A. 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 6. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 7. 已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4051 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得. 【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又. 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 8. 已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，变形得出，分析可知，构造函数，其中，分析出函数在上为增函数，可得出，则，参变分离得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程，则下列结论正确的是（ ） A. 若方程表示椭圆，则 B. 若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 存在，使方程表示直线 D. 存在，使方程表示抛物线 【答案】BC 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，并化简方程，分析方程所表示的图形，即可得出合适的选项. 【详解】当时，曲线的方程为，即， 当时，曲线的方程为，即，故存在，使方程表示直线，C对； 当且时，曲线的方程可化为， 若方程表示椭圆，则，解得且，A错； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，B对； 当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线； 当时，方程为，方程表示圆， 综上所述，不存在，使方程表示抛物线，D错. 故选：BC. 10. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ） A. 正四面体的外接球表面积为 B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为 D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正四面体的外接球、内切球、体积以及二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同， 设为R，则：，所以，所以A对. B.设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为，，，， 设正四面体的高为d，由等体积法可得：， 所以为定值，所以B对. C.设中点为D，连接，，则， 则为所求二面角的平面角，， 所以，所以正弦值为，所以C错. D.要使正四面体在四面体的内部，且可以任意转动， 则正四面体的外接球在四面体内切球内部， 当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时， 正四面体的体积最大值， 由于正四面体的外接球与内切球半径之比为， 所以正四面体外接球半径为， 设正四面体的边长为a，则，所以， 故体积，所以D对. 故选：ABD 11. 年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成等份，只好先去睡觉，准备第二天再分．夜里只猴子偷偷爬起来，先吃掉个桃子，然后将其分成等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第只猴子又爬起来，吃掉个桃子后，也将桃子分成等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的只猴子都先后照此办理．问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”下列说法正确的有（ ） A. 若最初有个桃子，则被除的余数为 B. 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列 C. 若最初有个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得个桃子 D. 若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为、、、、、、，由题意得，，若第只猴子分得个桃子（不含吃的），可得与的关系，即可判断D的正误；由D选项得，根据等比数列的定义，可证为等比数列，由题意，即可判断B的正误；由B选项可得的通项公式，若，则可求出，即可判断C的正误；由题意，根据等比数列的求和公式，可得的表达式，分析即可判断A的正误. 【详解】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为、、、、、、， 则，， 若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则，， 所以， 所以，故D正确； 由D得，，则， 即是等比数列， 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则， 所以是以为公比的等比数列，故B正确； 由B知，是等比数列， 所以，即， 若最初有个桃子，即， 所以，即第只猴子分得个桃子， 所以第只猴子偷偷办理后还剩个桃子，故C错误； 根据题意，最初的桃子总数为 ， 因为以为公比的等比数列， 所以， 化简得，所以， 所以， 因为为大于的正整数，所以被除的余数为，故A正确． 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在答题卷相应位置， 12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 13. 若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数. 【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种； 第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况： 男男男：种； 女男男：种； 男女男：种； 女女男：种； 所以，第三次取出为男生的方法数： ， 综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率， 所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率， 则，即，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （1）从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. （2）现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得每个分组中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案； （2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . 小问2详解】 设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 16. 设的内角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件得出，结合正弦定理即可得出答案； （2）由正弦定理结合（1）中的结论可得出关于、的方程组，结合内角的取值范围可得出、的值，可知为直角三角形，求出、、的值，即可得出该三角形的面积. 【小问1详解】 由余弦定理得， 又，所以， 则，所以， 由正弦定理，得． 【小问2详解】 由正弦定理及，得，所以， 由（1）知， 又，即，，所以，． 因为，， 所以，，为直角三角形，则， 所以，，． 所以的面积． 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 【小问2详解】 连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 18. 函数的定义域为，且，，在处的切线为． （1）求的最大值； （2）证：当时，除切点A外，均在上方； （3）当时，直线过A点且与垂直，，与x轴的交点横坐标分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，结合对数函数的单调性，可得答案； （2）由切线方程与题意构造函数，利用导数求得函数的最值，可得答案； （3）根据直线位置关系，写出直线方程，利用函数值域以及不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 由，则，解得，即函数的定义域为， 令，求导可得，令，解得， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以． 【小问2详解】 由题意可得切线， 令，，令，解得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增 所以. 故，当时，除切点A外，均在上方； 小问3详解】 由题意可得， 令，解得， 所以， 由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则， 代入得． 19. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的标准方程； （2）按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，得出以线段为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到轴的距离等于半径，建立方程化简即可； （2）（i）通过直线与抛物线联立，结合韦达定理得出，再结合题干，来证明等比数列即可； （ii）同（i）推导得出为等比数列以及它们的通项，化简得出的表达式，对于右边可以放缩为等比求和来证明，对于左边可以放缩为裂项求和来证明. 【小问1详解】 设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， , , 由于, ， 所以 综上得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $