7.3定义、命题、定理 同步练习 2025--2026学年人教版七年级数学下册

7.3定义、命题、定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．有理数和数轴上的点一一对应 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 2．下列语句中，属于命题的是（    ） A．向前走10米 B．小华是男生 C．你有橡皮吗 D．快乐的小鸟 3．六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知：如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O，∠1＝∠B， ∠A+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠B（已知） ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行） ______________ ∴∠AFC+∠2＝90°（等式性质） ∵∠A+∠2＝90°（已知） ∴∠AFC＝∠A（同角或等角的余角相等） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 请你仔细观察下列序号所代表的内容： ①∴∠AOE＝90°（垂直的定义） ②∴∠AFB＝90°（等量代换） ③∵AF⊥CE（已知） ④∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ⑤∴∠AOE＝∠AFB（两直线平行，同位角相等） 横线处应填写的过程，顺序正确的是（　　） A．⑤③①②④ B．③④①②⑤ C．⑤④③①② D．⑤②④ 7．下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 8．下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 9．下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 10．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现有四件原料A、B、C、D，每件原料在每道工序所需的时间（单位：小时）如表： 原料 时间工序 原料A 原料B 原料C 原料D 上漆 15 8 9 6 描绘花纹 7 14 13 15 若由一名工匠单独完成四件原料的描金工作，则完成这四件原料的描金工作需要 小时；若由甲、乙两位工匠完成四件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹，则完成这四件原料的描金工作最少需要 小时． 11．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 12．说明命题“是正数”是假命题的反例是 ． 13．下列命题是真命题的是 （填序号） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 14．要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 三、解答题 15．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 16．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论． (1)同位角相等，两直线平行； (2)同角的余角相等． 17．命题“内错角相等，两直线平行．” (1)写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明）． 18．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 19．“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 20．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 21．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 《7.3定义、命题、定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B D C B A D C C 1．D 【分析】本题主要考查了命题与定理，有理数，实数与数轴，对顶角，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关定义．根据平行线的判定定理可判断选项A；根据“相等的角不一定是对顶角”可判断选项B；根据“实数与数轴是一一对应关系”可判断选项C；根据“平行线的判定定理”可判断选项D． 【详解】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意； C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】根据命题的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、向前走10米，不属于命题，故本选项不符合题意； B、小华是男生，属于命题，故本选项符合题意； C、你有橡皮吗，不属于命题，故本选项不符合题意； D、快乐的小鸟，不属于命题，故本选项不符合题意； 【点睛】本题主要考查了命题的定义，熟练掌判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式是解题的关键． 3．D 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局． 【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过， 所以与D赛过的是A、C、E、F四人； 与C赛过的是B、D、E、F四人； 又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局， 所以与A赛过的是D、B、F； 而与B赛过的是A、C、F； 所以F共赛了4局． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查的是真假命题的判定，平面内直线的位置关系，根据平面内直线的位置关系结合举反例逐一分析判断即可． 【详解】解：如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交，故①是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；故②是真命题； 如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c平行；故③是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交；④是真命题； ∴真命题有②④； 故选：C 5．B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； ③如果直线，直线，那么，真命题； ④同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 6．A 【分析】先证CE∥BF，得∠AOE=∠AFB，由AF⊥CE，得∠AOE=∠AFB=90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2=90°，结合∠A+∠2=90°可以得出∠AFC=∠A，从而得证． 【详解】证明：如图， ∵∠1＝∠B（已知） ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行） ⑤∴∠AOE＝∠AFB（两直线平行，同位角相等） ③∵AF⊥CE（已知） ①∴∠AOE＝90°（垂直的定义） ②∴∠AFB＝90°（等量代换） ④∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝90°（等式性质） ∵∠A+∠2＝90°（已知） ∴∠AFC＝∠A（同角或等角的余角相等） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用． 7．D 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 8．C 【分析】根据所学命题的相关知识判断选择即可． 【详解】命题有真命题，也有假命题，是正确的，故A不符合题意； 要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可，是正确的，故B不符合题意； 一个定理的逆命题是原定理的逆命题，逆命题不一定正确，即不一定是原定理的逆定理，原说法错误，故C符合题意； 要说明一个命题是真命题，需要进行证明，是正确的，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了命题的分类、命题的证明、命题与定理的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了真假命题，根据平行公理，垂直定义，三角形中线，对等角，邻补角定义，点到直线的距离逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：（）平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （）同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； （）三角形的三条中线交点必在三角形的内部，原说法正确； （）“相等的角是对顶角”是一个假命题，原说法错误； （）邻补角需满足“一边公共，另一边互为反向延长线”，原说法错误； （）点到直线的距离是垂线段的长度，原说法错误； 综上，错误的命题为（）、（）、（）、（），共个， 故选：． 10． 87 55 【分析】本题主要考查了推理判断，根据单独完成不能重复直接计算即可，再根据描绘花纹的时间都花费，且开始上漆时间最短即可． 【详解】由一名工匠单独完成四件原料的描金工作需要（小时）；甲工人给原料D上漆需要6小时，之后甲工人再给原料C上漆需要9小时，同时乙工人给原料D描绘花纹，接下来甲工人给原来A上漆需要15小时，同时乙工人给原料C描绘花纹，然后甲工人给原料B上漆，同时乙工人给原料A描绘花纹，最后乙工人给原料B描绘花纹需要14小时.共需要（小时）． 故答案为：87，55． 11．①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 12．当时， 【分析】本题考查了判定命题真假的方法，根据时，解答即可；掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， 此时a的平方不是是正数， 命题“是正数”是假命题； 故答案为：当时，． 13．④⑤ 【分析】本题考查对顶角、邻补角，余角和补角，垂线，平行公理及推理，平行线的性质，同位角、内错角，同旁内角，关键是掌握对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质． 由对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质，即可判断． 【详解】解：①互为补角的两个角的和是，这两个角不可能都是锐角，故①不符合题意； ②相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故③不符合题意； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故④符合题意； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤符合题意． 命题是真命题的是④⑤． 故答案为：④⑤． 14．（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意可知，当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题的条件和结论； （1）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （2）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （3）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； 理解命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】（1）解：条件：两直线平行； 结论：同位角相等； （2）解：条件：，， 结论：； （3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数， 结论：不等号方向改变． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要查了把命题写成“如果……，那么……”的形式，熟练掌握一般的命题都可以改写成“如果…，那么…”的形式，即把命题的题设放在如果后面，把结论放在那么后面，再加以适当的调整即可． 命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． （1）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可； （2）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”， 条件是两条直线被第三条直线所截同位角相等，结论是两直线平行； （2）解：同角的余角相等改写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等 17．(1)条件是：内错角相等，结论是：两直线平行； (2)见解析． 【分析】（1）一个命题一般包括条件和结论两部分，根据“如果”后面接的是条件，“那么”后而接的结论，即可得解． （2）根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）该命题的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行； 写成“如果……那么……”的形式为： 如果内错角相等，那么两直线平行； （2）已知：如图，直线c与直线a，b相交，且．    求证：． 证明：，（已知） 又（对顶角相等） ，（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了命题的基本概念与组成，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 18．(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① (2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 19．(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 20．；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 21．证明见解析 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】证明：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于，一个角小于， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 学科网（北京）股份有限公司 $