精品解析：浙江宁波市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

宁波市2025学年第一学期期末考试 高一数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､学校､准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是小于6的正整数，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由补集定义求出集合A即可得解. 【详解】由题可得，又， 所以.所以中元素的个数为2. 故选：B 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的否定的定义直接得解. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和正弦定义即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 5. 已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要判断函数的奇偶性，先依据奇函数定义，对于定义域为的函数，若满足，则为奇函数，再逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：因为， 所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.A错误. 选项B：因为， 所以， 满足奇函数定义，是奇函数.B正确. 选项C：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数. C错误. 选项D：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.D错误. 故选：B. 6. 如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角形面积公式计算求解. 【详解】正九边形每条边长所对的圆心角为，正九边形面积为， 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 7. 设是关于的方程的实数根，则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题设等价转化为函数在上的零点，利用函数单调性和、结合零点存在定理即可得解. 【详解】方程的实数根，即为方程的实数根， 即为函数在上的零点， 因为函数和在上均为增函数， 所以在上均为增函数， 又， 所以，则函数在上有唯一零点， 且零点所在的区间为，即所在的区间为. 故选：B 8. 已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先将已知等式化简得到与的关系，再逐一验证选项是否满足该关系. 【详解】已知， 变形可得： 因此（）. 对于选项A：，时，则，成立. 对于选项B：，时，则，成立. 对于选项C：时，则，故该情形不成立. 对于选项D：，时，则，成立. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】等量代换后结合题意可得A；作差可得B；由基本不等式可得C；举反例可判断D. 【详解】对于A，因为正实数满足，且，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，但等号不能取得，故C正确； 对于D，令，则，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为3 D. 在上有3个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可判断A；根据可判断B；根据正弦函数性质计算可判断C；函数可化为，令，计算可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以是的一个周期，故A正确； 对于B，，， 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，当时，函数有最大值为， 当时，函数有最大值为， 因为函数与函数在一个周期内不可能同时取到最大值， 所以的最大值不可能为，故C错误； 对于D，， 令，则，即或， 当时，解得或或， 解得或， 所以在上有3个零点，故D正确. 故选：AD 11. 设函数与的定义域都是非空数集，若对任意的，总存在，使得成立，则称是在定义域上的“级友谊函数”.则（ ） A. 若是在定义域上的“级友谊函数”，则对任意的 B. 是在区间上的“2级友谊函数” C. 若是在区间上的“3级友谊函数”，则 D. 若是在区间上的“1级友谊函数”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合题意可得对任意的，总存在，使得成立，进而判断即可；对于B，求出两函数的值域，根据两值域关系和新定义即可判断；对于C，转化为成立，再分，以及讨论即可判断；对于D，转化问题为存在，使得成立，进而分、、、讨论求解即可判断. 【详解】对于A，由题意，是在定义域上的“级友谊函数”， 则对任意的，总存在，使得成立， 显然，对任意的，故A正确； 对于B，当，当时，， 取，则，对于任意的，， 此时不存在，满足， 所以和不是区间上的“2级友谊函数“，故B错误； 对于C，由题知是在区间上的“3级友谊函数“， 则任意，总存在，使， 因为，则只需使成立即可， ①当时，在上单调递增，其值域为， 所以，则 因为任意，总存在，使成立， 所以，则，即，即，此时． ②当时，在上单调递减，其值域为， 所以，则， 因为任意，总存在，使成立， 所以，则，即，即，此时． ③当时，当时，有，不存在，使得， 此时不存在这样的，，不符合题意． 综上所述，，故C正确； 对于D，由题知是在区间上的“1级友谊函数”， 则对任意的，总存在，使得成立， 当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，，时，，则， 所以，则存在，使得成立， 当时，，， 当时，， 则，即，解得； 当时，令，得， 若，即时，， 则，即，解得； 若，即时，， 而， 则或，解得； 若，即时，， 则，即，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：ACD 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由里往外直接计算即可求解. 【详解】由题得. 故答案为：1 13. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 已知为正实数，且，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，，进而可得，，构造函数，结合函数单调性求值域即可. 【详解】因为为正实数，，则， 且，则， 又因为，则， 可得，整理可得， 且，则， 可得，即， 由，可得，解得， 构造函数，可知在内单调递减， 当趋近于1时，趋近于4，可得，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若集合，写出的所有子集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）求出集合，利用交集的概念求出，即可写出子集. 【小问1详解】 不等式，即，解得， 所以集合. 【小问2详解】 由，解得，即. 又因为，所以， 因此，集合的子集有. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位得到的图象，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式即可直接计算求解； （2）由平移变换法则求出的解析式，再由正弦函数性质解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 由题知，所以即， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 已知. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性并说明理由； （3）若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）奇函数，理由： 是奇函数， 证明：函数的定义域为. 因为，都有，且， 所以为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）应用换元法结合指对数转化得出解析式； （2）应用奇函数定义证明； （3）先证明函数是上单调递减函数，再根据单调性列式，再应用一元二次不等式有解计算判别式计算求参. 【小问1详解】 令，则，从而， 所以的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先证函数的单调性： 任取，不妨设. 则. 因为，所以，所以. 所以，即. 所以函数在上单调递减. 因为有解，即有解. 即有解，亦即有解， 所以，得. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正切函数的定义域可解； （2）由差角的正切公式计算可得； （3）法一：拆角后得到，令，则，展开两边同除以，结合二倍角的正余弦和同角的三角函数关系化简可得； 法二：拆角后由诱导公式变形得到. 令，则，用和差角的正弦公式展开并整理，两边同除以再计算可得； 法三：前面同法一，得，再由辅助角公式化简后计算可得. 【小问1详解】 令，得. 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 法一：因为，所以. 令，则， 展开得， 两边同除以，得，所以. 从而， 因为，所以， 当且仅当时取到最大值. 法二：由， 得， 即， 所以. 令，则， 所以， 用和差角的正弦公式展开并整理，得， 两边同除以，得. 展开得，即. 所以， 当且仅当时取到最大值. 法三：前面同法一，得. 则.由辅助角公式得， 即，所以， 解得，所以的最大值为. 19. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）记，若对于和，恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）0 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）去绝对值后利用分段函数的解析式可得； （2）转化为方程有三个不相等的实根，去掉绝对值后利用韦达定理分析可得； （3）求出解析式，再结合基本不等式化简可得. 【小问1详解】 所以函数的最小值为0. 【小问2详解】 . 因为函数有三个零点， 所以方程有三个不相等的实根. 显然，所以方程与共有三个小于0的实根， 即方程与共有三个小于0的实根. 利用韦达定理可以判断：方程有一个正根和一个负根， 所以方程应有两个不等的负根，所以 解得. 【小问3详解】 . 因为，所以，则 由，得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2025学年第一学期期末考试 高一数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､学校､准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是小于6的正整数，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设是关于的方程的实数根，则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为3 D. 在上有3个零点 11. 设函数与的定义域都是非空数集，若对任意的，总存在，使得成立，则称是在定义域上的“级友谊函数”.则（ ） A. 若是在定义域上的“级友谊函数”，则对任意的 B. 是在区间上的“2级友谊函数” C. 若是在区间上的“3级友谊函数”，则 D. 若是在区间上的“1级友谊函数”，则 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 13. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 14. 已知为正实数，且，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若集合，写出的所有子集. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位得到的图象，解关于的不等式. 17. 已知. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性并说明理由； （3）若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 19. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）记，若对于和，恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $