4.5.1 几种简单几何体的表面积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.5.1　几种简单几何体的表面积 一、必备知识基础练 1.已知球的表面积为16π,则它的内接正方体的表面积S的值是(　　) A.4π B.32 C.24 D.12π 2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　) A.12π B.12π C.8π D.10π 3.(2025甘肃定西高一期末)实心圆锥PO的底面直径为6,高为4,过PO中点O'作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的表面积为(　　) A.27.75π B.30π C.32.25π D.34.5π 4.已知某圆锥体的底面半径r=2,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥体的表面积是　　　　　.  5.已知正四棱锥的高为4,侧棱长为3,则该棱锥的侧面积为　　　　　.  6.(2025河北秦皇岛高一期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,AB⊥BC,AA1+AB=4,则该三棱柱外接球表面积的最小值为　　　　　.  7.若一正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,其表面积为80,求该四棱台的高. 8.已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积. 二、关键能力提升练 9.如图,圆锥的母线长为2,点M为母线AB的中点,从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达点B,这条绳子的长度最短值为,则此圆锥的表面积为(　　) A.π B. C. D.2π 10.如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,母线长为3,则该几何体的表面积为(　　) A.18π B.20π C. D.26π 11.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) A. B. C. D. 12.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R,AB=AC=3,∠BAC=120°,则球O的表面积为(　　) A.48π B.16π C.64π D.36π 13.(多选题)已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径都与一个球的直径2R相等,圆柱的母线长为2R,圆锥顶点到底面的距离为2R,则下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小 14.(2025甘肃天水高一期末)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的表面积是　　　　　.  15.已知母线长为4的圆锥的侧面展开图为半圆. (1)求圆锥的底面积; (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的母线长. 三、学科素养创新练 16.已知一正四棱锥的高的2倍的平方等于它的侧面积,则该正四棱锥高的平方与底面棱长的平方的比值为(　　) A. B. C. D. 参考答案 1.B　设球的内接正方体的棱长为a,球的半径为R, 因为4πR2=16π,所以R=2. 因为正方体内接于球, 所以2R=, 所以3a2=16,所以a2=, 所以正方体的表面积S=6a2=32. 故选B. 2.B　过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2,r=,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π. 3.B　根据题意可知,挖去的圆柱底面半径为,高为2,剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积. 显然圆锥母线长为=5,易知圆锥表面积为π×32+π×3×5=24π,圆柱侧面积为2π××2=6π, 所以剩下几何体的表面积为24π+6π=30π.故选B. 4.16π　圆锥的底面积为S底=π×22=4π, 圆锥侧面展开图的弧长为2π×2=4π, 所以圆锥侧面展开图的扇形半径为=6. 所以圆锥的侧面积为S侧=×4π×6=12π, 所以圆锥的表面积为S=S底+S侧=4π+12π=16π. 5.4　如图,正四棱锥P-ABCD,PO是高,M是BC中点,则PM是△PBC的高. 由已知PO=4,PC=3,则OC=. ∵四边形ABCD是正方形,∴BC=2,OM=1,PM=. 则该棱锥的侧面积S侧=4××2×=4. 6.8π　由题意得AC=AB,记该三棱柱外接球的球心为矩形ACC1A1的中心O,则其半径为OA, 所以OA2==2, 当且仅当AA1=2,AB=时取等号,所以该三棱柱外接球表面积的最小值为4π×2=8π. 7.解设该正四棱台的斜高为h',高为h, 由题意得,22+42+4×=80,解得h'=5. ∴h==2. ∴该四棱台的高为2. 8.解如图所示为过正方体对角面的截面图.设正方体的棱长为a,半球的半径为R, 由6a2=120,得a2=20. 在Rt△AOB中,AB=a,OB=a, 由勾股定理,得R2=a2+()2==30,所以半球的表面积为S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π cm2. 9.B　将圆锥侧面沿母线AB剪开,其侧面展开图为扇形,如图, 从点M处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周到达点B,最短距离即为线段BM的长,则BM=. 而M是线段AB'的中点,且母线长为2,于是得AM2+AB2=5=BM2,即∠BAB'=.设圆锥底面圆的半径为r,从而有2πr=2·,解得r=,所以圆锥的表面积为S=πr2+πr·AB=.故选B. 10.A　由题意得球的半径R=2,圆柱的底面半径r=1,母线l=3,则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrl=8π+4π+2π×1×3=18π.故选A. 11.C　如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h', 则有 因此有h'2-ah',化简得4-2-1=0, 解得(负值舍去). 12.A　∵在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°, ∴平面ABC截球所得圆的半径(即△ABC的外接圆半径)为r=3.又球心到平面ABC的距离d=R, ∴R2=9+R2,解得R2=12. 故球O的表面积S=4πR2=48π.故选A. 13.CD　圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,故A错误; 圆锥的侧面积为S=πR·πR2,故B错误; 由于圆柱的侧面积为S=4πR2,球面面积为S=4πR2,则圆柱的侧面积与球的表面积相等,故C正确; 由于圆柱的表面积为S1=4πR2+2πR2=6πR2,圆锥的表面积为S2=πR2+πR2=(+1)πR2,球的表面积为S3=4πR2,则圆锥的表面积最小,故D正确.故选CD. 14.a2　设题中正四面体为A-BCD,将它放置于正方体内,使AC,BD位于上、下底面的异面的面对角线处,如图所示. 由正方体的性质可得,该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切.设该正方体的棱长为x,∵正四面体的棱长为a,∴x=a,解得x=a, 可得正方体的内接球直径2r=a,得r=a,故这个球的表面积为4πr2=4π×a2. 15.解(1)设OB=R,由题意可得2πR=4π, 所以R=2,故圆锥的底面积为S=πR2=12π. (2)设圆柱的母线D1D=OO1=l,OD=r, 在Rt△AOB中,AO==6. 因为△AO1D1∽△AOB,所以,即,l=6-r.S圆柱侧面积=2πrl=2πr(6-r)=-2π(r2-2r)=-2+6π,所以当r=时,圆柱的侧面积最大,此时圆柱的母线长为3. 16.B　设该正四棱锥的底面棱长为2a,高为h,如图所示, 设H为BC的中点,O为底面的中心,连接SO,OH,SH,AC, 在正四棱锥S-ABCD中,SO⊥平面ABCD,OH⊂平面ABCD,所以SO⊥OH.因为O,H分别为AC,BC的中点, 所以OH=AB=a. 则由题意可得SH=. 因为正四棱锥S-ABCD的高的2倍的平方等于它的侧面积,即4××2a×=4h2, 所以整理可得h4-a2h2-a4=0,即4-2-1=0,解得,所以.故选B. 8 学科网（北京）股份有限公司 $