4.4.1 平面与平面平行 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.4.1　平面与平面平行 一、必备知识基础练 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.平行于同一平面的两直线关系不确定 D.两平面平行,一平面内的直线必平行于另一平面 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(　　) A.BD1∥GH B.BD∥EF C.平面EFGH∥平面ABCD D.平面EFGH∥平面A1BCD1 3.(2025甘肃白银高一期中)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,且2AP=DP,过点P,M,N的平面交平面ABCD于PQ,点Q在CD上,则PQ=(　　) A. B. C.2 D.2 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是(　　) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 5.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　　.  6.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,AD=2BC=2PA=2AB=2,E,F,G分别为线段AD,DC,PB的中点,证明:平面PEF∥平面GAC. 二、关键能力提升练 7.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为(　　) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.重合 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段CD1上的动点,则(　　) A.AP∥平面BC1D B.AP∥平面A1BC1 C.AP⊥平面A1BD D.AP⊥平面BB1D1 9.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面AA1C1C,则动点M的轨迹是(　　) A.平面 B.直线 C.线段,但只含1个端点 D.圆 10.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是　　　　　.  11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过点C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的形状是　　　　　.  12.如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点.求证:平面MNP∥平面A1BD. 13.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM∥平面AEC?请证明你的结论. 14.已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE,求证: (1)MN∥平面PAD; (2)MN∥PE. 三、学科素养创新练 15.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点, (1)在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?请证明你的结论. (2)在△ABC内是否能找到一点E,使DE∥平面AB1C1?点E只有一个吗?若只有一个,确定点E的位置;若不是,试写出点E的集合. 参考答案 1.BCD　对于A,如图,平行于同一条直线的两个平面相交,故A错误; 对于B,平行于同一平面的两个平面平行,故B正确; 对于C,平行于同一平面的两直线关系不确定,可以平行,相交,也可以异面,故C正确; 对于D,根据两个平面平行的性质定理,两平面平行,一平面内的直线必平行于另一平面,故D正确. 故选BCD. 2.D　易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A同理可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,故选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1,故选项D正确. 3.C　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且MN⊂平面A1B1C1D1,所以MN∥平面ABCD. 因为平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PQNM,所以MN∥PQ. 又M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1. 又A1C1∥AC,所以PQ∥AC. 因为2AP=DP,所以2CQ=DQ.所以DQ=DP=2.故在Rt△PDQ中,PQ==2.故选C. 4.C　因为平面和左、右两个侧面分别交于ED1,BF, 所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.故选C. 5.　由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B', . 6.证明连接CE,BE,BE交AC于点O,连接OG. 因为E为AD的中点,BC∥AD,AD=2BC, 所以AE=BC,AE∥BC, 所以四边形ABCE为平行四边形, 所以OB=OE. 因为G为PB的中点,所以OG∥PE. 因为OG⊄平面PEF,PE⊂平面PEF, 所以OG∥平面PEF. 因为E,F分别为线段AD,DC的中点,所以EF∥AC. 因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF, 所以AC∥平面PEF. 因为AC∩OG=O,AC,OG⊂平面GAC, 所以平面PEF∥平面GAC. 7.C　若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行;若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交. 8.B　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由AA1与CC1平行且相等,得四边形ACC1A1为平行四边形,得A1C1∥AC. 由AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1. 同理AD1∥平面A1BC1.又AD1,AC是平面AD1C内两条相交直线,所以平面AD1C∥平面A1BC1. 又AP⊂平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1.故选B. 9.C　∵平面BDM∥平面AA1C1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面AA1C1C∩平面A1B1C1=A1C1, ∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略), 则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D). 10.平行　若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a,矛盾.故α∥β. 11.等腰梯形(或梯形,答案不唯一)　取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1,图略, 易证MN∥BC1,所以平面MNBC1就是过正方体C1,B,M三点的截面.因为MN=BC1,MC1==NB, 所以截面为等腰梯形(或梯形). 12.证明如图,连接B1D1. 因为P,N分别是D1C1,B1C1的中点,所以PN∥B1D1. 因为DD1∥BB1,DD1=BB1, 所以四边形B1BDD1为平行四边形, 所以B1D1∥BD, 所以PN∥BD. 因为PN⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD, 所以PN∥平面A1BD. 同理,MN∥平面A1BD. 又因为MN∩PN=N,PN,MN⊂平面MNP, 所以平面MNP∥平面A1BD. 13.解 当F是棱PC的中点时,平面BFM∥平面AEC.证明如下: 取PC的中点F,连接BF,BM,MF. ∵M是PE的中点, ∴FM∥CE. ∵FM⊄平面AEC,CE⊂平面AEC, ∴FM∥平面AEC. 由EM=PE=ED, 得E为MD的中点,连接BD,如图所示, 设BD∩AC=O,则O为BD的中点. 连接OE,则BM∥OE. ∵BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC, ∴BM∥平面AEC. ∵FM⊂平面BFM,BM⊂平面BFM,FM∩BM=M, ∴平面BFM∥平面AEC. 14.证明(1)如图,取DC中点Q,连接MQ,NQ.∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB中点,四边形ABCD是平行四边形, ∴MQ∥AD.又MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ=Q,MQ,NQ⊂平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ,∴MN∥平面PAD. (2)∵平面MNQ∥平面PAD, 平面PEC∩平面MNQ=MN, 平面PEC∩平面PAD=PE,∴MN∥PE. 15.解(1)当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1. 证明如下: 如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1. 因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点, 所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1, 所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD=F,EF⊂平面EFD,FD⊂平面EFD,所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD,所以DE∥平面AB1C1. (2)能找到.点E有无数个,点E的集合是线段PQ.如图,取棱AB的中点P,棱AC的中点Q.连接PD,PQ,QD.在△ABC中,P,Q分别是AB,AC的中点, 所以PQ∥BC. 在▱CBB1C1中,因为D,F分别为CC1,BB1的中点,所以DF∥B1C1, 所以PQ∥DF,故四边形PQDF是一个梯形. 又因为DF∥B1C1,DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.同理,PF∥平面AB1C1. 又因为PF∩DF=F,PF⊂平面PQDF,DF⊂平面PQDF,所以平面PQDF∥平面AB1C1.故点E的集合是线段PQ. 10 学科网（北京）股份有限公司 $