10.1二元一次方程组的概念同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.1二元一次方程组的概念 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．方程是关于，的二元一次方程，则值为（    ） A． B．4 C．2 D．4或2 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 4．有下列方程：①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2＋y＝3； ⑤；⑥ax2＋2x＋3y＝0 （a＝0），其中，二元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 7．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了■和★两个数和，则这两个数分别为（　　） A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和 9．若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A．， B．， C．， D．， 10．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 二、填空题 11．已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是 ． 12．某校去年有名学生，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读学生减少．若设该校去年住宿学生有名，走读学生有名，则可列方程组为 ． 13．若是关于，的方程的一组解，则的值为 ． 14．已知是方程组的解，则 ． 15．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 三、解答题 16．已知是二元一次方程的一个解． (1)则_________ (2)试直接写出二元一次方程的所有正整数解． 17．已知关于的方程是二元一次方程． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问：物几何？（选自《孙子算经》）你知道物品最少有多少个吗？ 19．对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． (1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 20．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 21．已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 22．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 《10.1二元一次方程组的概念》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D C C D C C 1．B 【分析】根据二元一次方程的定义计算即可．本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，注意前面的系数不等于0． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴ ． 故选：B 2．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B、是二元一次方程组，故符合题意； C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】将代入方程x-ay=3计算可求解a值． 【详解】解：将代入方程x-ay=3得2-a=3， 解得a=-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键． 4．C 【解析】略 5．D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意； B、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； C、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 7．C 【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解． 【详解】 A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意． B. 将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意． C. 将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意． D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键． 8．D 【分析】根据解的定义，代入确定y，得到方程组的解，再代入覆盖的方程计算即可． 【详解】把代入中得：， 故方程组的解为， 故★表示的数为； 把代入中得：， 故选D． 【点睛】本题考查了方程组的解即满足方程组中每一个方程的一组未知数的值，正确理解定义应用定义是解题的关键． 9．C 【分析】把，代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：把，代入方程得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键． 10．C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查以解为条件构造二元一次方程组，理解方程组解的意义是解题的关键； 根据方程组的解就是能使方程组中的每个方程成立的未知数的值，据此即可解答． 【详解】解：由关于，的二元一次方程组的解为，可计算得，，因此，方程组满足条件， 故答案为（答案不唯一）． 12． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键. 根据题意列出方程组即可. 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：. 13． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得， 解得：． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关键． 把代入方程组即可得到和的值，从而得出计算结果． 【详解】解：把代入方程组得， ∴， 故答案为：． 15．1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出关于m的方程，是解题的关键． 将代入x，y的二元一次方程，得出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：． 故答案为：1． 16．(1)5 (2)， 【分析】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值； （2）将a的值代入方程2x+y=a，再用列举法求出方程的解即可． 【详解】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5； 故答案为：5 （2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为： ，． 【点睛】考查二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程，准确理解概念得出所需的方程和不等式是求解的关键． （1）根据题意得到，，，，进而求解即可； （2）首先原方程可化为，然后将代入求解即可． 【详解】（1）由题意，得，，， ，． （2）由（1）知，，则原方程可化为． 当时，， 解得． 18．物品最少有23个 【分析】此题考查二元一次方程的应用，根据三三数之余二，七七数之余二可设三三分为x组，七七分为y组，则可列方程，根据为非负整数，且最小，可得物品最少数量，且验证为五五数之余三即可． 【详解】解：设三三数时分为x组，七七数时分为y组，则 ， ∴， ∴， ∵为非负整数，且最小， ∴当时，， 此时，，与五五数之余三不符， ∴， ∴物品最少为个， 且， 所以，物品最少有23个． 19．(1)不是 (2)1908或1919 (3)是假命题，见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，真假命题的判定，二元一次方程的整数解的含义； （1）根据稳定数的定义可得答案； （2）设十位数字为，个位数字为，根据题意，得，可得，再进一步求解即可； （3）举反例可得：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039，可得四位数5039不是稳定数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴2025不是稳定数； （2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得 ∴或 所求的稳定数为1908或1919． （3）解：是假命题，反例如下： 四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039 然而四位数5039不是稳定数 “两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题 20．(1) (2) 【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵； （2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b． 【详解】（1）解：整理方程得，， 因此矩阵形式为：； （2）根据矩阵形式得到方程组为： ， 将代入上述方程得，， 解得：． 【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算． 21．(1)8，2，，，，2，，4 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程即二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． （1）将x的值代入到方程中依次可得到y的值； （2）由（1）题可知方程组的解为． 【详解】（1）解：中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 故答案为：8，2，，，，2，，4； （2）解：方程组的解是． 22．不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $