寒假巩固作业10因式分解2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假巩固作业10因式分解 目录 题型一、提公因式因式分解 2 题型二、已知因式分解的结果求参数 3 题型三、平方差公式因式分解 3 题型四、完全平方公式因式分解 4 题型五、因式分解在有理数简便运算的应用 5 题型六、因式分解的应用 5 【核心点1   因式分解】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【核心点2   用提公因式法分解因式】 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【核心点3   用平方差公式分解因式】 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【核心点4   用完全平方公式分解因式】 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得,  语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 题型一、提公因式因式分解 1．计算的结果是 ． 2．已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．分解因式． (1) (2) 4．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型二、已知因式分解的结果求参数 6．若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 7．多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 8．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 9．已知整式，整式，若可以分解为，求． 10．若多项式因式分解的结果是，则 ． 题型三、平方差公式因式分解 11．因式分解： ． 12．已知：，则 ． 13．如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分． (1)写出阴影部分面积的代数式； (2)将该代数式分解因式； (3)若，求阴影部分面积． 14．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 15．将下列多项式分解因式： (1) (2) 题型四、完全平方公式因式分解 16．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数 ． 17．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 18．阅读以下材料： 材料1：如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是______； (2)计算：； (3)根据材料2进行因式分解：． 19．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 20．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为 ． 题型五、因式分解在有理数简便运算的应用 21．简便运算 (1)． (2) 22．利用因式分解计算： ． 23．分解因式或计算 (1)； (2)． 24．将下列各式分解因式 (1) (2) (3)（利用因式分解计算） 25．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 题型六、因式分解的应用 26．在住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形空地上修建一横一竖，互相垂直且横向通道的宽度为米，纵向通道的宽度为米的通道，若修建通道的造价为50元每平方米． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若，求为了打造这块长方形空地，修建通道需花费多少元？ 27．小美利用暑假时间绣了两幅正方形的“十字绣”，她想在“十字绣”的四边镶上金边，于是将一条长的金边剪成两段，恰好可以用来镶两幅“十字绣”的边，而这两幅“十字绣”的面积相差．这条金边应剪成多长的两段（不考虑金边宽度）？ 28．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 29．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 30．在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上册寒假巩固作业10因式分解 1．计算的结果是 ． 【答案】2026 【分析】先提取公因数2026，再利用乘法分配律简化计算． 本题主要考查利用因式分解进行简便运算,熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2026． 2．已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的判定，因式分解，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 通过因式分解关系式，讨论可能情况，结合三角形三边关系排除不可能情形，最终确定三角形形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴若，则，为等腰三角形； 若，则，不符合三角形三边关系，舍去； 综上，三角形为等腰三角形， 故选：C． 3．分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练找出公因式是解题的关键． （1）提取公因式进行分解即可； （2）提取公因式进行分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 6．若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值． 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴， 故选：A． 7．多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 8．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 9．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 10．若多项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，正确利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开是解题关键．首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ， ∴，， ∴． 故答案为： 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，利用平方差公式分解因式； 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，得到，，然后直接利用因式分解求值． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分． (1)写出阴影部分面积的代数式； (2)将该代数式分解因式； (3)若，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值以及因式分解，能够通过图形列出代数式是解题关键； （1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）将代入（2）中的结果计算即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为：，小正方形的面积为：， ∴阴影部分面积为：； （2）解：； （3）解：当时，， ∴阴影部分的面积为． 14．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)② (2)①；②琳琳的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式与几何图形，平方差公式分解因式，因式分解的应用，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将代入求得； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【详解】（1）解：由图1得阴影部分面积为，由图2得阴影部分面积为， 所以可得到的等式是， 故答案为：②； （2）解：， 又，， 所以， 所以； 解：琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为，则面积为， 后来地的面积为， 所以她家这块地的面积减少了． 15．将下列多项式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题关键． （1）直接应用平方差公式分解即可； （2）先应用平方差公式，再整体提公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即，并据此建立关于的等式求解． 根据完全平方公式的结构，将多项式与对应，确定，，从而得到，进而求出整数的值． 【详解】解： 多项式能用完全平方公式分解因式， ． ， ． ． 故答案为：． 17．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 18．阅读以下材料： 材料1：如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是______； (2)计算：； (3)根据材料2进行因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元． （1）原式利用图形面积即可求解； （2）原式中整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）原式添加辅助项利用完全平方公式分解，得，令利用平方差公式分解，再将还原即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 即； （2）解： ； （3）解： ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式． 19．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 20．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∵三角形的三边为，满足， ∴， ∴， ∵c为最长边， ∴， ∵c为偶数， 故或或， 则或或， ∴该三角形的周长为或或， 故答案为：或或． 21．简便运算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 22．利用因式分解计算： ． 【答案】4051 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 23．分解因式或计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式； （1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 24．将下列各式分解因式 (1) (2) (3)（利用因式分解计算） 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）把原式利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 25．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 【答案】（1）-4051；（2）34 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式变形为，再去括号后提取公因数4051，进而求解即可； （2）根据完全平方公式得到，则可求出的值，进而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴． 又∵． ∴， ∴． 26．在住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形空地上修建一横一竖，互相垂直且横向通道的宽度为米，纵向通道的宽度为米的通道，若修建通道的造价为50元每平方米． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若，求为了打造这块长方形空地，修建通道需花费多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)1600 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，因式分解的应用，正确表示出通道的面积是解题的关键． （1）通道的总面积等于横竖两个通道的面积之和减去横竖两个通道重叠的面积，据此求解即可； （2）根据（1）所求，结合，计算出通道的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 平方米， 答：通道的面积共有平方米； （2）解：∵， ∴ ， 元， 答：为了打造这块长方形空地，修建通道需花费1600元． 27．小美利用暑假时间绣了两幅正方形的“十字绣”，她想在“十字绣”的四边镶上金边，于是将一条长的金边剪成两段，恰好可以用来镶两幅“十字绣”的边，而这两幅“十字绣”的面积相差．这条金边应剪成多长的两段（不考虑金边宽度）？ 【答案】这条金边应剪成长为和的两段 【分析】本题利用正方形的周长、面积公式建立方程，再通过平方差公式进行因式分解，最终求出两段金边的长度． 【详解】解：设较大正方形“十字绣”的周长为，则较小正方形“十字绣”的周长为， 根据题意，得， 即， 解得， ． 答：这条金边应剪成长为和的两段． 【点睛】本题考查正方形的周长与面积公式、一元一次方程与因式分解的应用，掌握正方形的周长和面积公式，以及利用设未知数建立方程并结合因式分解进行求解是解题的关键． 28．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 【答案】212814，211428，282114 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题． 【详解】解：， 当，时，，， 所以可以形成的数字密码是212814，211428，282114，281421，142128，142821． 29．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1) (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． （2）， ． ． ， ． （3）如图所示． ． 故答案为：． 30．在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）；应用：（2）；应用： 【分析】本题考查面积法推导乘法公式，乘法公式的应用，圆的面积公式，通过“面积相等”建立代数恒等式是解题关键． （1）恒等式：用面积法表示剪后图形的两种面积，可得平方差公式；阴影面积：将阴影部分面积拆为平方差形式，然后逆用公式，简化为整数之和，求和即可； （2）恒等式：用面积法表示“拼成的大正方形”的两种面积，可得完全平方和公式；阴影面积：先设为，则，用半圆面积列方程，然后用完全平方变形求出，整体代入计算阴影面积即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形， 则剩余部分的面积为， 正方形剩余部分拼成长方形的面积为， 故； 应用：根据题意可知阴影部分的面积为 ， 故所有阴影部分的面积为． 答：；应用：． （2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为， 构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为， 根据两种方式表示的面积相等，可得； 应用：设，则， 则，， ， ， 化简得， 根据完全平方公式展开， 将代入，可得，即， 点为半圆上点正上方一点， ， ． 故阴影部分面积为． 答：；应用：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $