2026年陕西省中考数学总复习知识清单

该初中数学中考复习知识清单全面覆盖陕西中考8章105个考点，涵盖数与式、方程与不等式、函数、三角形、四边形、圆、图形变换、统计与概率八大知识范畴，构建了从基础概念到综合应用的系统复习框架。 清单通过分章节梳理+表格对比+思维导图呈现知识体系，如二次函数不同形式的图像性质对比表，用★标注圆的垂径定理等重难点，培养学生运算能力与推理意识。设计实际应用分类（如函数利润问题）和易错点提示，助力学生自主构建知识网络，为教师教学提供清晰复习路径。

（数学） 陕西中考总复习 2026 2026版 第一轮复习 2026陕西中考总复习 数学 第一轮复习第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2026年陕西中考总复习（数学） 共8章内容，33课时，共105个考点（8 33 105） 陕西省近五年中考数学（2021年—2025年） 考察内容 章节 内容 考点数量 第一章 数与式 16个 第二章 方程(组)与不等式(组) 13个 第三章 函数 19个 第四章 三角形 20个 第五章 四边形 7个 第六章 圆 13个 第七章 图形的变换 9个 第八章 统计与概率 8个 2026陕西中考总复习 数学 第一轮复习第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 陕西省中考数学试卷题型（2021年—2025年） 一、选择题：8题 二、填空题： 2021—2024年 5题，2025年 6题 三、解答题： 2021—2024年 13题，2025年 12题 合计：26题 分值：120分 第一章 实数 一、实数的概念与分类 1.实数的定义： 有理数和无理数统称为实数（即所有能在数轴上表示的数）。 2.分类： ⑴按定义分： ①有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）的统称，可表示为（为整数，）； ②无理数：无限不循环小数（如、、）。 ⑵按正负分： ①正实数：正有理数、正无理数； 0（既不是正数也不是负数）； ②负实数：负有理数、负无理数。 3.数轴： ⑴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线； ⑵性质：实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的数大。 二、实数的相关概念 1.相反数： ⑴定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）； ⑵表示：数的相反数为； ⑶性质： ；互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 2.绝对值： ⑴定义： 数轴上表示数的点到原点的距离，记为； ⑵性质： （非负性）； 当时，； 当时，； 当时，。 3.倒数： ⑴定义：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）； ⑵表示：数（）的倒数为； ⑶性质：；互为负倒数的两个数乘积为。 4.科学记数法与近似数： ⑴科学记数法：把一个数表示为（，为整数）； ①当原数绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减1； ②当原数绝对值时，为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。 ⑵近似数：根据四舍五入得到的与实际数值接近的数，需注意精确度（如“精确到0.01”“保留3个有效数字”）。 三、实数的运算 1.基本运算： 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2.运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）； 同级运算从左到右依次进行。 3.运算法则： ⑴加法： （交换律）； （结合律）； ⑵乘法： （交换律）； （结合律）； （分配律）； ⑶乘方： ；；（为整数）； ⑷平方根： 若（），则 （正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根）； ⑸算术平方根： 正数的正平方根记为（）； ⑹立方根： 若，则 （任意实数都有唯一立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0）。 ⑺零指数幂与负整数指数幂： ①零指数幂：（）； ②负整数指数幂：（，为正整数）。 四、实数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上右边的数大于左边的数； 2.差值比较法：；；； 3.绝对值比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； 4.平方比较法：对正数，。 第二章 整式与分式 一、整式的相关概念 1.整式： 单项式和多项式统称为整式（分母中不含字母，根号下不含字母）。 2.单项式： ⑴定义：由数与字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式）； ⑵系数：单项式中的数字因数（包括符号）； ⑶次数：单项式中所有字母的指数和（单独一个非零数的次数为0）。 3.多项式： ⑴定义：几个单项式的和组成的代数式； 项：多项式中的每个单项式（含符号），不含字母的项叫常数项； ⑵次数：多项式中次数最高的项的次数； 4.同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）。 二、整式的运算 1.整式的加减： 法则：去括号（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变）、合并同类项（同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）。 2.整式的乘法： ⑴单项式×单项式：系数相乘，相同字母的指数相加，其余字母连同其指数不变作为积的因式； ⑵单项式×多项式：（分配律）； ⑶多项式×多项式：； ⑷乘法公式（重点）： ①平方差公式：； ②完全平方公式：； ③常用拓展：；。 3.整式的除法： ⑴单项式÷单项式：系数相除，相同字母的指数相减，其余字母连同其指数不变作为商的因式（除式不能为0）； ⑵多项式÷单项式：（）； 注意：多项式除以多项式需先因式分解，再约分（中考常考简单形式）。 4.整式的因式分解： ⑴定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法互为逆运算）； ⑵基本方法： ①提公因式法：（公因式为系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积）； ②公式法：利用平方差公式、完全平方公式分解； ③十字相乘法：（适用于二次三项式）； ④分解要求：分解到不能再分解为止（结果为整式乘积，无公因式，每个因式不能再分解）。 三、分式的相关概念 1.分式的定义： 形如（是整式，且中含有字母，）的代数式。 2.分式有意义、无意义的条件： ⑴有意义：分母不为0（）； ⑵无意义：分母为0（）。 ⑶分式值为0的条件：分子为0且分母不为0（且）。 3.分式的基本性质： ；（是不为0的整式）； ⑴用途：约分、通分、化简分式。 ⑵最简分式：分子与分母没有公因式的分式（约分的最终结果）。 ⑶最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积（通分的依据）。 4.分式的运算 ⑴分式的加减： ⑵同分母分式：； ⑶异分母分式：先通分化为同分母分式，再按同分母分式法则计算（）。 ⑷分式的乘法：（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分）。 ⑸分式的除法：（除以一个分式等于乘它的倒数，）。 ⑹分式的乘方：（为整数，）。 ⑺分式的混合运算： 顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的； 注意：运算结果需化为最简分式或整式。 四、整式与分式的应用 1.列代数式（表示数量关系、几何图形的周长/面积/体积等）； 2.代数式求值（直接代入、整体代入、先化简再求值）； 3.解决实际问题（增长率、工程问题、行程问题等中的数量关系表示）。 第三章 函数 一、平面直角坐标系与函数的相关概念： （一）平面直角坐标系： 1.在平面直角坐标系中，点的坐标特征： ⑴象限： 第一象限：； 第二象限：； 第三象限：； 第四象限：。 ⑵点在坐标轴上： ①点在轴上 ； ②点在轴上 ； ③点在坐标原点上 。 ⑶点在各象限的角平分线上： ①点在第一、三象限的角平分线上 ； ②点在第二、四象限的角平分线上 （或）。 ⑷与坐标轴垂直（或平行）的直线上的点的坐标特征： （注：）： ① 当直线轴时 ； ② 当直线轴时 。 ⑸点的对称： ①与关于轴对称 且； ②与关于轴对称 且； ③与关于原点对称 且。 ⑹点的平移： ①向右平移个单位：； ②向左平移个单位：； ③向上平移个单位：； ④向下平移个单位：。 （注：点的平移法则：左右平移纵不变，右加左减； 上下平移横不变，上加下减。） 2.平面直角坐标系中的距离 （）： ⑴点到轴的距离等于； ⑵点到轴的距离等于； ⑶点到原点的距离等于； 、： 两点之间距离公式：； 中点坐标公式（前提是的中点）：。 （二）函数的相关概念 1.函数的定义： 在某个变化的过程中，有两个变量和，若给定一个的值，有唯一的值与它对应，我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。 2.函数的表示方法： ⑴表格法； ⑵图象法； ⑶关系式法（又称：解析式法、表达式法）。 3.画函数图象的基本步骤： ⑴列表； ⑵描点； ⑶连线（光滑的曲线）。 二、一次函数： 1.概念： 在某个变化的过程中，有两个变量和，它们的关系式可以表示为（，为常数）的形式，我们称是的一次函数（是自变量，自变量的取值范围是全体实数）。特别地，当时，（），我们称是的正比例函数。 2.一次函数的图象：一条直线 3.画一次函数图象的方法：“五点法”（“两点法”） 4..一次函数的图象与性质（，）： ① 当，时：图象经过一、二、三象限，是增函数； ② 当，时：图象经过一、三象限，是增函数； ③ 当，时：图象经过一、三、四象限，是增函数； ④ 当，时：图象经过一、二、四象限，是减函数； ⑤ 当，时：图象经过二、四象限，是减函数； ⑥ 当，时：图象经过二、三、四象限，是减函数； 5.一次函数中的作用： ⑴的作用： 确定一次函数的增减性； ①当时，随的增大而增大； ②当时，随的增大而减小。 ⑵的作用： 确定直线与轴的交点； ①当时，直线与轴的交点在轴的正半轴上； ②当时，直线经过坐标原点； ③当时，直线与轴的交点在轴负半轴上。 6.一次函数图象的平移变换： （注：函数图象的平移法则：左加右减，上加下减）： 平移前表达式 平移方法 平移后表达式 （） 向左平移个单位长度 （） 向右平移个单位长度 （） 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 7.两条直线的位置关系: (设直线 ，直线 ：) ①当 时 且 ; ②当 时 。 8.确定一次函数的表达式: ⑴方法：待定系数法； ⑵基本步骤：①设；②找；③代；④解；⑤写。 9.一次函数的实际应用: ⑴类型一：文字型； ⑵类型二：表格型； ⑶类型三：图象型。 10.直线与坐标轴的交点： 对于直线 ： ⑴直线与 轴的交点坐标：； ⑵直线与 轴的交点坐标：。 三、反比例函数： 1.概念： 在某个变化的过程中，有两个变量和，它们的关系式可以表示为（为常数，且）的形式，我们称是的反比例函数； 自变量取值范围：自变量（因分母不能为0）。 2.反比例函数表达式的三种形式： 一般式：（）； 乘积式：（）； 负指数式：（）。 3.反比例函数的图像： ⑴图像形状：反比例函数的图像是双曲线，由两条不连续的曲线分支组成； ⑵图像与坐标轴的关系：双曲线与轴、轴没有交点（因且），只能无限地靠近坐标轴，但永远不能与坐标轴相交。 4.反比例函数的图像与性质： ⑴图像： ①当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限； ②当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。 ⑵增减性： ①当时：在双曲线的每一支所在的象限内（即第一象限和第三象限内），随的增大而减小； ②当时：在双曲线的每一支所在的象限内（即第二象限和第四象限内），随的增大而增大。 ⑶对称性： ①轴对称：双曲线是轴对称图形，有两条对称轴，分别是第一、三象限的角平分线（直线） 和第二、四象限的角平分线（直线）； ②中心对称：双曲线是中心对称图形，其对称中心是坐标原点。 ⑷的作用： ①确定图像的分布； ②确定函数图像在各个象限内的增减性； ③∣∣越大，双曲线离坐标原点越远。 5.的几何意义： ⑴过双曲线上任意一点作轴（或轴）的垂线，该点、垂足与坐标原点构成的直角三角形的面积为； ⑵过双曲线上任意一点分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为。 6.确定反比例函数的表达式： ⑴方法：待定系数法； ⑵步骤：①设；②找；③代；④解；⑤写。 7.反比例函数与正比例函数的交点关系： ⑴正比例函数（如，）与反比例函数（如，）的图像若有交点，且必然有两个交点，这两个交点关于原点对称。 四、二次函数 1.概念： 在某个变化的过程中，有两个变量和，它们的关系可以表示为（，为常数）的形式，我们称是的二次函数。（其中是二次项，是一次项，是常数项，为二次项系数，为一次项系数，自变量的取值范围是全体实数）。 2.二次函数的特殊形式： ⑴当时，（）； ⑵当且时，（，）； ⑶当且时，（，）。 3.画二次函数图象的方法： “描点法” 4.二次函数图象的形状： 一条抛物线 5.研究二次函数的六个环节： ①图象；②开口；③对称轴； ④顶点坐标；⑤最值问题；⑥图象的增减性。 6.二次函数的图象与性质： 见附表 7. 二次函数（）中参数的作用： ⑴的作用： ①确定抛物线的开口方向： 当时，开口向上； 当时，开口向下。 ②确定抛物线的开口大小： 当越大时，开口越小； 当越小时，开口越大。 （2）的作用： ①确定对称轴的基本元素： 当时，对称轴是轴（或直线）； 当时，对称轴是直线。 规律：“同左异右”——当同号时，对称轴在轴的左侧；当异号时，对称轴在轴的右侧。 ②确定顶点坐标的基本元素：顶点坐标为。 （3）的作用： 确定抛物线与轴交点的位置： 当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上； 当时，抛物线经过坐标原点； 当时，抛物线与轴的交点在轴的负半轴上。 8. 二次函数表达式的三种形式： ⑴一般式： （）； ⑵顶点式： （，顶点坐标为）； 配方式：（其中，）； ⑶交点式： （其中，抛物线与轴的两个交点坐标分别是，）。 9. 二次函数中，自变量取特殊值对应的函数式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； ⑥当时，； ⑦当时，； ⑧当时，。 10. 确定二次函数的表达式 ⑴方法：待定系数法； （2）基本步骤：①设；②找；③代；④解；⑤写。 11. 二次函数图象与一元二次方程的关系： 12. 二次函数图象的平移变换： 13. 二次函数图象的对称变换： 11/12/13见附表 14. 二次函数的实际应用类型 类型一：抛物线型； 类型二：几何图形的最值问题； 类型三：利润最大值问题； 类型四：线段问题； 类型五：三角形全等/相似问题； 类型六：特殊三角形问题； 类型七：特殊四边形问题。 第五章 四边形 一、平行四边形： 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.性质： ⑴两组对边分别相等； ⑵两组对角分别相等； ⑶邻角互补； ⑷对角线互相平分； ⑸一条对角线将平行四边形分为2个全等的三角形； ⑹两条对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形； ⑺对称性：平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形；⑻经过平行四边形中心的任意一条直线，将平行四边形分成两个全等的图形； ⑼平行四边形的周长 =（a+b）×2； ⑽平行四边形的面积 = a·b。 3.判定： ⑴定义法：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ⑵判定法： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 二、菱形： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.性质： ⑴特殊性：菱形是特殊的平行四边形，满足平行四边形的一切性质； ⑵边：四条边相等； ⑶角：对角相等，邻角互补； ⑷对角线： ①两条对角线互相平分且垂直，每条对角线平分它的一组对角； ②一条对角线将菱形分成2个全等的等腰三角形； ③两条对角线将菱形分成4个全等的直角三角形； ⑸对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形； ⑹周长：菱形的周长 = 4a （a为菱形的边长）； ⑺面积：菱形的面积 = 底×高 = （、为两条对角线的长度）。 3.判定： ⑴定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ⑵判定法： ①4条边相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 三、矩形： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.性质: ⑴特殊性:矩形是特殊的平行四边形，满足平行四边形的一切性质； ⑵边:对边平行且相等； ⑶角：四角相等且都等于90°； ⑷对角线： ①两条对角线互相平分且相等； ②一条对角线将矩形分为2个全等的直角三角形； ③两条对角线将矩形分为4个面积相等的等腰三角形； ⑸对称性：矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； ⑹周长：矩形的周长 = （长+宽）×2； ⑺面积：矩形的面积 = 长×宽。 3.判定： ⑴定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； ⑵判定法： ①有三个角是直角的四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 四、正方形： 1.定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形； 2.性质： ⑴特殊性：正方形是特殊的平行四边形，是特殊的菱形，是特殊的矩形，满足他们的一切性质； ⑵边：四边相等，对边平行； ⑶角：四角相等，且都等于90°； ⑷对角线： ①对角线互相平分且垂直且相等； ②一条对角线平分一组对角； ③一组对角线将正方形分成2个全等的等腰直角三角形； ④两条对角线将正方形分成4个全等的等腰直角三角形； ⑸对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形； ⑹周长：正方形的周长 = 4a （a为边长）； ⑺面积：正方形的面积 = a² = 2对角线乘积的一半。 3.判定： ⑴定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形； ⑵判定法： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤一条对角线平分一组对角的矩形是正方形； ⑥对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形。 五、中点四边形 1.定义：四边形的四条边的中点依次相连，得到的四边形叫做中点四边形。 2.性质： ⑴任意四边形的中点四边形是平行四边形； ⑵平行四边形的中点四边形是平行四边形； ⑶菱形的中点四边形是矩形； ⑷矩形的中点四边形是菱形； ⑸正方形的中点四边形是正方形； ⑹四边形的中点四边形的形状是由原四边形两条对角线的数量关系和位置关系来确定。 3.判定： ⑴原四边形的对角线既不垂直也不相等的中点四边形是平行四边形； ⑵原四边形的对角线相等的中点四边形是菱形； ⑶原四边形的对角线相等的中点四边形是菱形； ⑷原四边形的对角线互相垂直的中点四边形是矩形； ⑸原四边形的对角线互相垂直且相等的中点四边形是正方形 （注：四边形的内角和是360度，四边形的外角和是360度。） 六、多边形 1.边形的内角和为（，且为整数）； 2.边形的外角和为360°（与的取值无关）； 3.正边形每个内角为； 4.正边形每个外角为； 5.边形从一个顶点引出的对角线条数为条（，且为整数）； 6.边形的对角线总条数为条（，且为整数）； 7.从一个顶点出发，将边形分成三角形的个数为个（，且为整数）。 第六章 圆 一、圆的基本性质： 1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 2.弧的定义：圆上任意两点之间的部分。大于半圆的是优弧，小于半圆的是劣弧。 3.弦的定义：圆上任意两点之间的连线段。经过圆心的弦是直径它圆中最长的弦。 4.圆心角的定义：顶点与圆心重合，角的两边与圆相交的角。 5.圆周角的定义：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角。 二、圆的性质 1.对称性：既是轴对称图形（对称轴为过圆心的任意一条直线，有无数条），又是中心对称图形（对称中心为圆心）。 2.旋转不变性 3.弦、弧、圆心角之间的关系：★★★ ⑴定理：同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对弧相等、所对弦相等（三组量知一推二）； ⑵推论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，如果在这三组量中有一组量相等，那么另外两组量也分别相等。 4.圆周角定理及其推论：★★★★★ ⑴定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半； ⑵推论： ①直径所对圆周角为直角； ②90°圆周角所对的弦为直径； ③同弧或等弧所对的圆周角相等。 5.垂径定理及其推论：★★★★★ ⑴垂直于弦的直径（半径或过圆心的直线）平分这条弦，且平分这条弦所对的优弧和劣弧； ⑵平分弦（这条弦不是直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的优弧和劣弧。 6.三角形的外接圆： ⑴定义：三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个圆为这个三角形的外接圆，这个三角形为圆的内接三角形； ⑵圆心：三角形的外接圆的圆心； ⑶外心：三角形三边垂直平分线的交点； ⑷性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（锐角三角形的外心在这个三角形的内部，直角三角形的外心在这个三角形的斜边中点处，钝角三角形的外心在这个三角形的外部）。 7.圆的内接四边形： ⑴定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形（这个四边形为这个圆的内接四边形，这个圆为这个四边形的外接圆）； ⑵性质：①圆的内接四边形对角互补； ②圆的内接四边形的外角等于与它相邻内角的对角。 六、圆与正多边形（圆的内接正多边形）： （r为半径，a为边长，θ为中心角，d为边心距，n为边数） 1.内角： 2.中心角： 3.边心距： 4.周长： 5.面积: 二、圆的综合应用： 1.点与圆的位置关系: （d为点到圆心距离，r为半径） ⑴点在圆内：d ＜ r ⑵点在圆上：d = r ⑶点在圆外：d ＞ r 2.直线与圆的位置关系: （d为圆心到直线距离，r为半径） ⑴相离：无公共点， d ＞ r ⑵相切：有1个公共点，d = r ⑶相交：有2个公共点，d ＜ r 3.圆的切线的性质定理和判定定理：★★★★★ ⑴性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）； ⑵判定定理：经过半径外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线； （证明圆的切线的技巧：①“连半径，证垂直”；②“作垂直，证相等”）。 4.切线长及切线长定理： ⑴切线长的定义：过圆外一点作圆的切线，该点与切点间的线段之长； ⑵切线长定理： ①过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等； ②该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 5.三角形的内切圆： ⑴定义：三角形的三边都与同一个圆相切，这个圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做这个圆的外接三角形； ⑵圆心：三角形三个内角的角平分线的交点，这个交点叫做内心；⑶性质：内心到三角形的三条边的距离相等。 附：二次函数的图像与性质 研究二次函数y=ax²（a≠0）的图像与性质 图像 当a＞0时 当a＜0时 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 (0,0) 最值问题 y有最小值 y有最大值 当x=0时，y的最小值为0 当x=0时，y的最大值为0 增减性 左减右增 左增右减 当x＜0时，y为减函数 当x＜0时，y为增函数 当x＞0时，y为增函数 当x＞0时，y为减函数 备注 附：二次函数的图像与性质 研究二次函数y=ax²+c（a≠0,c≠0）的图像与性质 图像 当a＞0，c＞0时 当a＞0,c＜0时 当a＜0,c＞0时 当a＜0,c＜0时 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 (0,c) 最值问题 y有最小值 y有最大值 当x=0时，y的最小值为c 当x=0时，y的最大值为c 增减性 左减右增 左增右减 当x＜0时，y为减函数 当x＜0时，y为增函数 当x＞0时，y为增函数 当x＞0时，y为减函数 备注 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像之间的关系（a≠0,c≠0）：y=ax²+c的图像是由y=ax²的图像向上（或向下）平移 ∣c ∣个单位长度得到的。 附：二次函数的图像与性质 研究二次函数y=ax²+bx（a≠0,b≠0）的图像与性质 图像 当a＞0，b＞0时 当a＞0,b＜0时 当a＜0,b＞0时 当a＜0,b＜0时 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线 顶点坐标 最值问题 y有最小值 y有最大值 当时，y的最小值为 当时，y的最大值为 增减性 左减右增 左增右减 当x＜时，y为减函数 当x＜时，y为增函数 当x＞时，y为增函数 当x＞时，y为减函数 备注 二次函数y=ax²+bx与y=ax²的图像之间的关系（a≠0,c≠0）：y=ax²+bx的图像是由y=ax²的图像向左（或向右） 平移 ∣∣个单位长度再向上（或向下）平移 ∣∣个单位长度得到的。 附：二次函数的图像与性质 研究二次函数y=ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的图像与性质 图像 一条抛物线 开口方向 当a＞0时 当a＜0时 开口向上 开口向下 对称轴 直线 顶点坐标 最值问题 y有最小值 y有最大值 当时，y的最小值为 当时，y的最大值为 增减性 左减右增 左增右减 当x＜时，y为减函数 当x＜时，y为增函数 当x＞时，y为增函数 当x＞时，y为减函数 备注 附：二次函数y=ax²+bx+c的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的关系 1.实质上的关系：二次函数的图像与x轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况相符合 2.形式上的关系 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） b²-4ac（判别式）与0的关系 △与0的关系 抛物线与x轴有2个交点 方程有2个不相等的实数根 b²-4ac＞0 △>0 抛物线与x轴有1个交点 方程有2个相等的实数根 b²-4ac＝0 △=0 抛物线与x轴没有交点 方程没有实数根 b²-4ac＜0 △<0 附：二次函数图像的平移变换 1.平移法则：左加右减，上加下减 2.平移前后抛物线的表达式之间的变换 平移前的表达式 平移方式（m＞0，n＞0） 平移后的表达式 y＝a(x-h)²+k(a≠0) 且顶点为（h，k） 或 y=ax²+bx+c(a≠0) 向左平移m个单位长度 y＝a(x+m-h)²+k 或 y=a（x+m）²+b（x+m）+c 向右平移m个单位长度 y＝a(x-m-h)²+k 或 y=a（x-m）²+b（x-m）+c 向上平移n个单位长度 y＝a(x-h)²+k+n 或 y=ax²+bx+c+n 向下平移n个单位长度 y＝a(x-h)²+k-n 或 y=ax²+bx+c-n 附：二次函数图像的对称变换 1.对称方式：关于x轴,y轴,原点对称 2.对称前后抛物线的表达式之间的变换 平移前的表达式 对称方式 平移后的表达式 对称前后2个表达式中各个参数之间的关系 y＝a₁(x-h₁)²+k₁ 且顶点为（h，k） 或 y=a₁x²+b₁x+c₁(a₁≠0) 关于x轴对称 y＝a₂(x-h₂)²+k₂ 或 y=a₂x²+b₂x+c₂ (a≠0) a₁+ a₂= 0 ； h₁= h₂； k₁+ k₂= 0 a₁+ a₂= 0 ； b₁+ b₂= 0； c₁+ c₂= 0 关于y轴对称 a₁= a₂ ； h₁+ h₂= 0； k₁= k₂ a₁= a₂ ； b₁+ b₂= 0； c₁= c₂ 关于原点对称 a₁+ a₂= 0 ； h₁+ h₂=0； k₁+ k₂= 0 a₁+ a₂= 0 ； b₁= b₂； c₁+ c₂= 0 $