寒假培优讲义：圆柱和圆锥（讲义）-2025-2026学年六年级下册苏教版数学

寒假培优讲义：圆柱和圆锥 【知识梳理+例题讲解+提升练习】 知识点梳理 一、圆柱和圆锥的认识 1、圆柱的特征 （1）定义：圆柱是由两个完全相同的圆形底面和一个侧面组成的立体图形。 （2）面：圆柱有两个底面和一个侧面。两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高。圆柱有无数条高，且所有的高长度都相等。 （4）侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 2、圆锥的特征 （1）定义：圆锥是由一个圆形底面和一个侧面组成的立体图形。 （2）面：圆锥有一个底面（圆）和一个侧面（曲面）。圆锥只有一个顶点。 （3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。圆锥只有一条高。 （4）侧面展开图：圆锥的侧面沿高展开后是一个扇形。 3、圆柱与圆锥的联系与区别 （1）联系：两者都有一个圆形底面和一个曲面。 （2）区别： 底面：圆柱有两个完全相同的底面，圆锥只有一个底面。 顶点：圆柱没有顶点，圆锥有一个顶点。 高：圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 二、圆柱的表面积 1、圆柱的表面积意义 （1）定义：圆柱的表面积是指圆柱两个底面的面积与侧面积之和。 2、圆柱侧面积的计算 （1）公式推导：圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的面积 = 长 × 宽。长相当于底面周长，宽相当于圆柱的高。 （2）计算公式：圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 （3）字母公式： 3、圆柱表面积的计算 （1）公式推导：圆柱的表面积 = 侧面积 + 两个底面积 （2）计算公式：圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 （3）字母公式： 4、实际应用中的特殊情况 （1）无盖物体：如水桶、鱼缸，表面积 = 侧面积 + 一个底面积。 （2）通风管、烟囱：只有侧面积，没有底面积。 三、圆柱和圆锥的体积 1、圆柱的体积 （1）意义：圆柱所占空间的大小。 （2）公式推导：圆柱可以看作是由无数个相同的圆形底面叠加而成的，其体积计算方法与长方体、正方体类似。 （3）计算公式：圆柱的体积 = 底面积 × 高 （4）字母公式： 2、圆锥的体积 （1）意义：圆锥所占空间的大小。 （2）公式推导：通过实验发现，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。 （3）计算公式：圆锥的体积 = × 底面积 × 高 （4）字母公式： 3、等底等高圆柱与圆锥的关系 （1）体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍；圆锥体积是圆柱体积的 。 （2）和倍问题：如果一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是圆锥体积的4倍，体积差是圆锥体积的2倍。 例题讲解 【典型例题1】 判断：（1）圆柱的侧面展开图一定是长方形。（ ） （2）从圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的距离都是圆锥的高。（ ） 【解析】 （1）×。解析：圆柱的侧面沿高展开是长方形（或正方形），如果斜着剪开，展开图可能是平行四边形。但在小学阶段，通常指沿高剪开，但题目用了“一定”，所以是错误的。 （2）×。解析：圆锥的高是指从顶点到底面圆心的距离，而不是到圆周上任意一点的距离。 【跟踪练习】 （1）圆锥有（ ）个顶点，（ ）个底面，底面是一个（ ）。 （2）圆柱的高有（ ）条，圆锥的高有（ ）条。 【典型例题2】 一个圆柱形水池，底面半径是2米，深1.5米。要在它的底面和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【解析】 （1）分析：求抹水泥的面积就是求圆柱的侧面积加上一个底面积（因为是水池，没有盖子）。 （2）计算侧面积： （平方米）。 （3）计算底面积： （平方米）。 （4）总面积： （平方米）。 答：抹水泥的面积是31.4平方米。 【跟踪练习】 （1）一个圆柱的底面直径是10厘米，高是20厘米，求它的表面积。（ 取3.14） （2）做一节长2米，直径0.2米的圆柱形铁皮烟囱，至少需要多少平方米的铁皮？ 【典型例题3】 一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.2米。每立方米沙约重1.5吨，这堆沙一共重多少吨？ 【解析】 （1）求底面半径：已知周长 米，根据 ，得 （米）。 （2）计算体积： （立方米）。 （3）计算重量： （吨）。 答：这堆沙一共重7.536吨。 【跟踪练习】 （1）一个圆柱形油桶，底面半径是4分米，高是10分米，这个油桶能装多少升油？（ 取3.14） （2）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是48立方分米，求圆锥的体积。 一、填空题 1．一根圆柱形木料的底面半径是0.2m，长是1m。如下图所示，将它截成5段，这些木料的表面积比原木料增加了　 　m2。 2．每年的6月5日是世界环境日，为响应“减塑捡塑”的环保口号，某海边新增一批底面半径是8dm、高是10dm的无盖圆柱形环保桶，求环保桶的表面积就是求圆柱的　 　和一个　 　的和，每个环保桶的表面积是　 　dm2。 3．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积比是1：12。如果圆柱的高是8.4厘米，则圆锥的高是　 　厘米；如果圆锥的高是8.4厘米，则圆柱的高是　 　厘米。 4．一根长2米的圆柱形木料，锯掉4分米长后，剩下的圆柱形木料的表面积减少了25.12平方分米。原来这根圆柱形木料的底面周长是　 　分米，体积是多少　 　立方分米。 5．一个圆柱和圆锥的组合容器(如图)，该容器的圆锥部分装满水，水的体积是12.56毫升，如果将这个容器倒过来放置，此时水深　 　厘米。 二、判断题 6．圆锥的侧面展开图是三角形。(　　) 7．高与底面直径相等的圆柱，它的侧面沿高展开是一个正方形。 (　　) 8．用一张长方形硬纸片卷成圆柱形圆筒，无论怎样卷，侧面积都相等。(　　) 9．用一张长方形的硬纸板分别横着和竖着卷成两个圆柱，这两个圆柱的体积一样大。(　　) 10．圆柱和圆锥的高相等，底面半径的比是2：3，那么它们的体积比是4：3。(　　) 三、选择题 11．下图中，与前面圆锥体积相等的圆柱是(　　)。(单位：cm) A．A B．B C．C D．D 12．下列说法正确的是(　　)。 A．圆锥有无数条高且圆柱体积是圆锥体积的3倍 B．一个圆锥的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的3倍 C．底面积和高分别相等的长方体、正方体和圆柱，它们的体积也一定相等 D．两个圆柱的体积相等，那么它们的表面积也相等 13．一个圆锥的底面半径缩小为原来的高扩大为原来的9倍，圆锥的体积(　　)。 A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的 14．一个圆锥的高不变，如果它的底面半径扩大到原来的3倍，那么它的体积(　　)。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 D．扩大到原来的12倍 15．工人把一个体积是54dm3的圆柱形木料削成两个顶点相连完全相同的圆锥形木料，形成“沙漏”状，则每个圆锥形木料的体积是(　　)dm3。 A．6 B．9 C．18 D．27 四、计算题 16．按要求计算。 （1）求下面组合体的体积。(单位：dm) （2）求下面立体图形的表面积和体积。 五、解决问题 17．一名同学洗手后忘记关掉水龙头。如果水龙头的圆形出口内直径是2cm，水管内水的流速是每秒15cm，那么这名同学1分钟要浪费多少升水？ 18．一个瓶子的瓶高是14厘米，瓶内有水312毫升。正放瓶子，瓶内的水面高度是8 厘米，倒放时，水面高度为10厘米。这个瓶子最多能装多少毫升水？ 19．露营帐篷撑起“诗和远方”。文文一家带了一顶圆锥形的帐篷去露营，这顶帐篷的底面周长是9.42m，高是3m。 （1）这顶帐篷的占地面积是　 　m2。 （2）从这顶帐篷的顶点处可拉下一块牛津布，正好将帐篷内的空间平均分成两部分(边缘与帐篷无缝隙，如图)，这块牛津布的形状是　 　形，面积是　 　m2。 20．秋天是丰收的季节，张爷爷家收获了很多稻谷，堆放成底面周长为12.56m、高为1.5m的圆锥形稻谷堆，太阳出来了，要将这堆稻谷堆铺平晾晒，已知铺平的稻谷长为25m，宽为8m，稻谷的晾晒厚度是多少厘米？(结果保留整数) 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）1，1，圆。 （2）无数，1。 【跟踪练习2】答案 （1）侧面积： （平方厘米）；底面积： （平方厘米）；表面积： （平方厘米）。 （2） （平方米）。（解析：烟囱只有侧面积） 【跟踪练习3】答案 （1） （立方分米）= 502.4（升）。 （2）12立方分米。（解析：等底等高，圆锥体积是1份，圆柱体积是3份，共4份。 ） 【巩固练习】 1．1.0048 2．侧面积；底面积；703.36 3．2.1；33.6 4．6.28；62.8 5．1 6．错误 7．错误 8．正确 9．错误 10．正确 11．C 12．C 13．B 14．C 15．B 16．（1）解：8×8×6+3.14×（8÷2）2×6× =384+100.48 =484.48（dm3） （2）解：表面积： (10×2×2+2×2)×4+2×2×2 =44×4+8 =176+8 =184（cm2） 体积： 10×2×2×2+2×2×2 =80+8 =88(cm3) 17．解：1分钟=60秒 3.14×（2÷2）2×15×60 =3.14×1×15×60 =3.14×15×60 =2826（cm3） =2.826（dm3） =2.826（L） 答： 这名同学1分钟要浪费2.826升水 。 18．解：312毫升=312立方厘米 312÷8×（14－10） =39×4 =156（立方厘米） 156+312=468（立方厘米） 468立方厘米=468毫升 答：这个瓶子最多能装468毫升水。 19．（1）7.065 （2）等腰三角；4.5 20．解：12.56÷3.14÷2 =4÷2 =2（m） =12.56×0.5 =6.28（m3） 6.28÷(25×8) =6.28÷200 =0.0314（m） 0.0314m=3.14cm≈3cm 答：稻谷的晾晒厚度是3厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $