微专题26直线与圆讲义-2026届高三数学二轮复习

微专题26　直线与圆 近几年高考：考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现. 一、高考真题 1.(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 答案　D 解析　化圆的方程为标准方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y+2=0的距离为==3. 2.(2022·北京卷)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　) A. B.- C.1 D.-1 答案　A 解析　依题意可知圆心坐标为(a,0), 又直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴, 所以2a+0-1=0,所以a=,故选A. 3.(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 答案　B 解析　易得圆心(0,-2)到直线y=x+2的距离d=2. 若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个, 则d-1<r<d+1,即1<r<3,故选B. 4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.  答案　2(答案不唯一,可以是±,±2中任意一个) 解析　设圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离为h,则|AB|=2, 由h=,解得h=或h=, 若h=,则=,解得m=2或-2; 若h=,则=,解得m=或-. 故答案为-2,2,-,中的任意一个即可. 5.(2025·天津卷)l1:x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,|AB|=3|CD|,则r=　　　　.  答案　2 解析　因为直线l1:x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B, 所以A(-6,0),B(0,6),所以|AB|=6. 因为|AB|=3|CD|,所以|CD|=2. 圆(x+1)2+(y-3)2=r2的圆心为(-1,3), 圆心到直线l1的距离d==, 所以r===2. 二．典型例题 1.直线的方程及应用 例1 (1)(2025·济南模拟)若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则m=(　　) A.4 B.-4 C.1或-4 D.-1或4 (2)(多选)已知直线l:x-y+1=0,下面四个说法中正确的是(　　) A.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m B.与直线n:2x-2y+3=0之间的距离是1 C.点(,0)到直线l的距离为2 D.过点(2,2),并且与直线l平行的直线方程为x-y-4=0 答案　(1)D　(2)CD 解析　(1)由l1∥l2, 可得 解得m=4或m=-1. (2)对于A,直线m的斜率k=,倾斜角为,与直线l不垂直,A不正确; 对于B,直线n:2x-2y+3=0化为x-y+=0, 所以直线l与直线n的距离为=,B不正确; 对于C,点(,0)到直线l的距离 d==2,C正确; 对于D,过点(2,2),与直线l平行的直线方程为y-2=(x-2),即x-y-4=0,D正确. 易错提醒　1.讨论两直线的位置关系时,要考虑斜率不存在的情况;求解两条直线平行问题时,要注意排除两条直线重合的情况. 2.运用平行线间的距离公式,一要两直线均为一般式,二要两直线x、y的系数分别相等. 训练1 (多选)下列说法正确的是(　　) A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5 B.直线ax+y+1=0与以A(2,3),B(-3,2)为端点的线段相交,则a的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞) C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) 答案　BD 解析　对于A,当在两坐标轴上的截距相等且等于0时,直线过原点, 可设直线方程为y=kx,又直线过点A(-2,-3), 则-3=-2k,即k=, 此时直线方程为y=x,也满足题意, 所以A错误; 对于B,直线l:ax+y+1=0过定点P(0,-1),如图,直线l的斜率为-a,直线PA,PB的斜率分别为kPA==2,kPB==-1,若直线l与线段AB总有公共点,则-a≤-1或-a≥2,得a≤-2或a≥1,即a的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞),所以B正确; 对于C,当倾斜角θ=时,此时直线的斜率不存在,tan θ无意义,所以C错误; 对于D,由两点(x1,y1),(x2,y2), 当x1≠x2时,此时过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-y1=(x-x1), 即(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1), 当x1=x2时,此时过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为x=x1或x=x2,适合上式, 所以过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1), 所以D正确. 2.圆的方程 例2 (1)(2025·南通调研)已知曲线y=x2-x-2与x轴交于A,B两点,圆M经过A,B,C(2,4)三点,则圆M的方程为(　　) A.x2+y2-x-4y-2=0 B.x2+y2-3x+2=0 C.x2+y2+2x-4y-8=0 D.x2+y2+x-y-18=0 (2)(2025·北京西城区模拟)已知圆C经过点(-1,0)和(3,0),且与直线y=2相切,则圆C的方程为　　　　.  答案　(1)A　(2)(x-1)2+y2=4 解析　(1)由题不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(2,0). 法一　设圆M的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将A,B,C三点的坐标代入圆M的方程, 可得 即圆M的方程为x2+y2-x-4y-2=0.故选A. 法二　设圆M的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 分别将A,B,C三点的坐标代入, 列式求出a=,b=2,r=, 即所求圆的方程为+(y-2)2=, 即x2+y2-x-4y-2=0. 法三　圆心既在线段AB的中垂线x=上, 又在线段BC的中垂线y=2上, 因而圆心坐标为, 半径为=, 故所求圆的方程为+(y-2)2=, 即x2+y2-x-4y-2=0. 法四　由C(2,4),可得|AB|=3,|BC|=4,|AC|=5, 则△ABC是直角三角形,过其三个顶点的圆, 圆心为AC的中点,AC为圆的直径, 则(x+1)(x-2)+(y-0)(y-4)=0, 即x2+y2-x-4y-2=0. (2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题意可得 解得 所以圆C的方程为(x-1)2+y2=4. 规律方法　求圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 训练2 (1)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称,则圆C2的标准方程为(　　) A.(x+4)2+(y+2)2=4 B.(x-4)2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+(y+4)2=4 D.(x-2)2+(y-4)2=4 (2)(2025·天津调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切,则圆C的标准方程可以为　　　　　　　.(写出满足条件的一个答案即可)  答案　(1)A　(2)(x-1)2+y2=1(答案不唯一) 解析　(1)由题意可得,圆C1的圆心坐标为(0,0),半径为2,设圆心C1(0,0)关于直线2x+y+5=0的对称点为C2(a,b), 则 所以圆C2的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 因圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切, 则|a|=r,b=0, 则圆的方程为(x-a)2+y2=a2, 故任取不为零的实数a即可,现取a=1, 故答案为(x-1)2+y2=1(答案不唯一). 3.直线、圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系 例3 (1)(多选)(2025·上饶模拟)已知直线l:ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=9,则下列说法正确的是(　　) A.存在实数a,使圆O关于直线l对称 B.直线l过定点(2,-2) C.对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点 D.当a=-时,直线l被圆O所截弦长为2 (2)(2025·郑州质检)已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线l:x-y-3=0上运动,直线PA,PB与圆C相切,切点为A,B,则下列说法正确的是(　　) A.|PA|的最小值为2 B.|PA|最小时,弦AB长为 C.|PA|最小时,弦AB所在直线的斜率为-1 D.四边形PACB的面积的最小值为 答案　(1)BCD　(2)B 解析　(1)对于A,因为圆O的圆心(0,0)不在直线l上,所以不论实数a为何值,圆O都不关于直线l对称, 即不存在实数a,使圆O关于直线l对称,故A错误; 对于B,因为2a-2(a+1)+2=0恒成立,所以直线l过定点(2,-2),故B正确; 对于C,因为22+(-2)2=8<9,所以点(2,-2)在圆O:x2+y2=9内部,又直线l过定点(2,-2),所以直线l与圆O必有两个不同的公共点,故C正确; 对于D,当a=-时,直线l:-x+y+2=0,即x-y-4=0. 圆心O到直线l的距离为d==2, 所以弦长为2=2=2,故D正确. (2)由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径r=, 如图,连接PC. |PA|==, 当PC⊥l时,|PC|最小,此时|PA|最小. 对于A,|PC|min==2, 所以|PA|min==,故A错误; 对于B,当|PA|最小时,S△PAC=|PA|·r=|PC|·|AB|, 即××=×2×|AB|, 解得|AB|=,故B正确; 对于C,因为PC⊥l,PC⊥AB, 所以AB∥l,所以kAB=kl=1,故C错误; 对于D,四边形PACB的面积S=2S△PAC=|PA|·r, 所以当|PA|最小时,四边形PACB的面积最小,最小值为×=2,故D错误. （2）圆与圆的位置关系 例4 (多选)已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4,a∈R,则(　　) A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B.若圆O与圆C相切,则a=±2 C.若圆O与圆C恰有两条公切线,则-2<a<2 D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2 答案　AD 解析　根据题意,可得圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1, 圆C:(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a,1),半径R=2. 对于A,因为两圆的圆心距d=|OC|=≥1,所以A正确; 对于B,两圆内切时,圆心距d=|OC|=R-r=1,即=1,解得a=0. 两圆外切时,圆心距d=|OC|=R+r=3, 即=3,解得a=±2. 综上所述,若两圆相切,则a=0或a=±2,故B不正确; 对于C,若圆O与圆C恰有两条公切线, 则两圆相交,d=|OC|∈(R-r,R+r), 可得1<<3, 解得-2<a<2且a≠0,故C不正确; 对于D,若圆O与圆C相交,则当圆O:x2+y2=1的圆心O在公共弦上时,公共弦长等于2r=2,达到最大值,因此,两圆相交时,公共弦长的最大值为2,故D正确. 规律方法　1.与圆的弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦长,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理. 2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得,进而在一个圆内,利用垂径定理求公共弦长. 训练3 (1)(多选)(2025·潍坊模拟)已知点P(2,2),圆C:x2+y2=18,则(　　) A.点P在C内 B.点P与C上的点之间的最大距离为6 C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0 D.过点P的直线被C截得弦长的最小值为 (2)(2025·合肥二模)已知点A(-2,0),C,D是☉O:x2+y2=16与x轴的交点.点B满足:以AB为直径的圆与☉O相切,则△BCD面积的最大值为　　　　.  答案　(1)AC　(2)8 解析　(1)对于A,因为22+22=8<18,所以点P在C内,故A正确; 对于B,由|PC|==2,r=3, 知点P与C上的点之间的最大距离为2+3=5,故B错误; 对于C,由kOP==1,可知以点P为中点的弦所在直线斜率为k=-1, 故弦所在直线为y-2=-(x-2), 即x+y-4=0,故C正确; 对于D,由圆的性质可知,当OP与过P的弦垂直时,所得弦长最短,此时弦长为2=2=2,故D错误. (2)如图, 设以AB为直径的圆的圆心为E,取F(2,0), 显然两圆内切, 所以|OE|=4-|BA|, 又OE为△ABF的中位线, 所以|OE|=|BF|, 所以|BF|=4-|BA|, 得|BA|+|BF|=8>4, 所以B的轨迹为以A,F为焦点的椭圆, 2a=8,得a=4,c=2,得b===2,显然当B为椭圆短轴顶点即(0,2)或(0,-2)时, S△BCD的面积最大,最大值为|BO|×|CD|=×2×8=8. 4.隐圆问题 例5 (1)已知直线kx-y+2k=0与直线x+ky-2=0相交于点P,点A(4,0),O为坐标原点,则tan ∠OAP的最大值为(　　) A.2- B. C.1 D. (2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(1)B　(2)[0,3] 解析　(1)直线kx-y+2k=0恒过定点M(-2,0),直线x+ky-2=0恒过定点N(2,0), 又易知两直线垂直,故P点轨迹是以(0,0)为圆心,2为半径的圆,除去与x轴的交点, 于是得x2+y2=4(x≠±2), 如图,观察图形可知,射线AP绕点A旋转∠OAP∈, 当旋转到与圆O:x2+y2=4相切时,∠OAP最大, 因为|OA|=4,AP'为切线,点P'为切点, |OP'|=2,∠OP'A=, 则∠OAP'=, 所以∠OAP最大值为, 所以(tan ∠OAP)max==. (2)设M(x,y),由|MA|2+|MO|2=10可得x2+(y-2)2+x2+y2=10, 即x2+(y-1)2=4, 则点M在圆x2+(y-1)2=4上, 由题目条件可知点M在圆C: (x-a)2+(y-a+2)2=1上, 所以两圆相交或相切, 则2-1≤≤1+2, 解得0≤a≤3. 规律方法　确定隐圆的几种方法: (1)借助圆的定义;(2)借助距离的平方和为常数;(3)借助平面向量的数量积为定值;(4)借助距离比值为常数. 训练4 (多选)在平面直角坐标系中,存在三点A(-1,0),B(1,0),C(0,7),动点P满足|PA|=|PB|,则(　　) A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8 B.△PAB面积最大时,|PA|=2 C.∠PAB最大时,|PA|=2 D.P到直线AC距离的最小值为 答案　ABD 解析　设P(x,y), 由|PA|=|PB|得|PA|2=2|PB|2, 即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2], 化简可得(x-3)2+y2=8, 即点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8,A正确; ∵直线AB过圆(x-3)2+y2=8的圆心, ∴点P到直线AB的距离的最大值为圆(x-3)2+y2=8的半径r,即为2, ∵|AB|=2, ∴△PAB面积最大为×2×2=2, 此时P(3,±2), ∴|PA|==2,B正确; 当∠PAB最大时, 则PA为圆(x-3)2+y2=8的切线, ∴|PA|==2,C错误; 直线AC的方程为7x-y+7=0, 则圆心(3,0)到直线AC的距离为=, ∴点P到直线AC距离的最小值为-2=,D正确. 【精准强化练习】 一、单选题 1.(2025·桂林二模)已知直线l的一个方向向量为a=(2,1),则过点A(1,-1)且与l垂直的直线方程为(　　) A.x-2y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-3=0 D.2x+y-1=0 答案　D 解析　因为直线l的一个方向向量为a=(2,1), 所以直线l斜率为, 所以与l垂直的直线斜率为-2, 所以所求直线方程为y+1=-2(x-1), 即2x+y-1=0. 2.(2025·临沂模拟)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案　C 解析　圆C1:x2+y2=1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0, 即C2:(x-3)2+(y-4)2=16,圆心C2(3,4),半径r2=4, 则|C1C2|==5=r1+r2, 所以两圆外切. 3.(2025·厦门二模)直线l:x-y=0被圆C:(x-1)2+y2=1所截得的弦长为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　A 解析　圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C(1,0),半径r=1, 点C到直线l:x-y=0的距离d=, 所以所求弦长为2=2=1. 4.(2025·西城区模拟)在平面直角坐标系xOy中,若从点A(0,t)发出的光线经过点B(1,0),且被x轴反射后将圆C:(x-4)2+(y-3)2=1平分,则实数t=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　如图所示. 点A关于x轴的对称点为M(0,-t),由对称性可知,点M,B,圆心C(4,3)三点共线,则kBM=kBC,即=,解得t=1. 5.折纸艺术是我国民间的传统文化,将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[-1,0] D.[-2,0] 答案　D 解析　如图,要想使折叠后O点落在线段BC上,可取BC上任意一点D,作线段OD的垂直平分线l,以l为折痕可使点O与D重合,k即为直线l的斜率. 因为kOD≥kOB=, 由k=-, 可知-2≤k<0. 当折叠后点O与C重合时,k=0, 所以-2≤k≤0, 则k的取值范围是[-2,0],故选D. 6.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足=,则|PA|2+|PB|2的最小值为(　　) A.36-24 B.48-24 C.36 D.24 答案　A 解析　以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0), 设P(x,y),则==, 两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0, 即(x-3)2+y2=8, 所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆, 则有|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2, 如图所示. 当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时,此时,|OP|取最小值, 且|OP|=3-2, 因此,|PA|2+|PB|2≥2×(3-2)2+2=36-24,故选A. 7.(2025·秦皇岛模拟)已知圆M:x2+y2-4x-4y+4=0与y轴相切于A点,过A点的直线l交圆M于另一点B,点F(0,3),O为坐标原点,若=,则直线l的方程为(　　) A.x-2y+4=0 B.2x-y+2=0 C.x-y+2=0 D.3x-2y+4=0 答案　C 解析　圆M:x2+y2-4x-4y+4=0, 即(x-2)2+(y-2)2=4, 且圆M与y轴相切于A点,故A(0,2), 所以==, 设动点B(x,y),满足=2, 则|BO|2=4|BF|2, 则x2+y2=4[x2+(y-3)2], 即x2+y2-8y+12=0, 故B点的轨迹是圆,且==2, 故A,B两点均在圆x2+y2-8y+12=0上,且A,B两点均在圆M上,故直线l的方程为两个圆的公共弦方程, 两个圆的方程相减得4x-4y+8=0, 即x-y+2=0. 8.(2025·湖州调研)已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　以AB为直径的圆O的方程为x2+y2=m2,圆心为原点,半径为r1=m. 圆C:(x-4)2+(y-3)2=1的圆心为(4,3),半径为r2=1. 要使圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则圆O与圆C有公共点, 所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|, 即|m-1|≤≤|m+1|, 所以 解得4≤m≤6,所以m的最大值为6. 二、多选题 9.已知直线l:ax+(2a+3)y-3=0,直线n:(a-2)x+ay-1=0,则(　　) A.当a=-2时,l∥n B.当a=时,l⊥n C.当l∥n时,直线l,n之间的距离为 D.坐标原点到直线n的距离的最大值为 答案　ACD 解析　对于A,当a=-2时,l:2x+y+3=0, n:2x+y+=0,易知l∥n,A正确; 对于B,当a=时,l:x+11y-9=0,n:5x-y+3=0,则1×5+11×(-1)=-6≠0, 故l⊥n不成立,B错误; 对于C,当l∥n时,则解得a=-2, 此时l:2x+y+3=0,n:2x+y+=0,直线l,n之间的距离d==,C正确; 对于D,坐标原点(0,0)到直线n的距离d==,故当a=1时,dmax=,D正确. 10.(2025·毕节二模)已知圆O:x2+y2=4,圆C:x2+y2+2y+a=0,则(　　) A.当a=0时,圆O与圆C相切 B.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且直线MN的方程为y=- C.当0<a<1时,圆O与圆C相交 D.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2 答案　AB 解析　圆C:x2+(y+1)2=1-a,则a<1, 圆O的圆心O(0,0),半径为r1=2; 圆C的圆心C(0,-1),半径为r2=, 则|OC|=1,r1+r2=2+,|r1-r2|=|2-|, 对于A,当a=0时,r1+r2=3,|r1-r2|=1,则|OC|=|r1-r2|,故两圆内切,故A正确; 对于B,当a=-3时,r1+r2=4,|r1-r2|=0,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,故两圆相交,又圆C:x2+y2+2y-3=0,两圆作差得直线MN的方程为y=-,故B正确; 对于C,两圆相交,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,即|2-|<1<2+,解得-8<a<0,故C错误; 对于D,由选项B可知,此时圆心O到直线MN的距离为,则|MN|=2=,故D错误. 11.(2025·渭南二模)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=3(0≤θ<2π),则下列四个命题为真命题的是(　　) A.M中所有直线均经过一个定点 B.存在定点P不在M中的任一条直线上 C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 答案　BD 解析　对于A,可令 消去θ可得x2+(y-2)2=9, 故直线系M表示圆x2+(y-2)2=9的切线的集合,故A错误; 对于B,对任意θ,存在定点(0,2)不在直线系M中的任一条直线上,故B正确; 对于C,M中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等,故面积也不一定相等,如图中的等边三角形ABC和ADE, 故C错误; 对于D,由于圆x2+(y-2)2=9的外切正n边形,其所有边均在直线系M中的直线上,故D正确. 三、填空题 12.经过点P(1,1)以及圆x2+y2-4=0与x2+y2-4x+4y-12=0交点的圆的方程为　　　　.  答案　x2+y2+x-y-2=0 解析　设过圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0交点的圆的方程为x2+y2-4+λ(x2+y2-4x+4y-12)=0(*), 把点P(1,1)代入(*)式得λ=-,把λ=-代入(*)式化简得x2+y2+x-y-2=0,所以所求圆的方程为x2+y2+x-y-2=0. 13.(2025·南京调研)在平面直角坐标系中,若定义两点A1(x1,y1)和A2(x2,y2)之间的“t距离”为“|A1A2|t=max,其中max{p,q}表示p,q中的较大者,则点A1(0,0)与点A2(1,2)之间的“t距离”为　　　;若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t距离”为,则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为　　　　.  答案　　4 解析　点A1(0,0)与点A2(1,2)之间的“t距离”为 |A1A2|t=max=max=max=. 若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t距离”为, 则|AA0|t=max=, 不妨设|AA0|t==, 解得x=0或x=2, 此时≤,即0≤y≤2, 由对称性可知,当y=0或y=2时,0≤x≤2,如图所示, A点的轨迹就是正方形OBCD, 则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为2×2=4. 14.在平面直角坐标系xOy中,点M(3,0),N,直线l:(2m+1)x-(4m-1)y+m-1=0(m≠0),动点P满足|PM|=2|PN|,则动点P的轨迹Γ的方程为　　　　,若Γ的对称中心为C,l与Γ交于A,B两点,则△ABC面积的最大值为　　　　.  答案　(x-1)2+y2=1　 解析　设P(x,y),由题意得=2, 化简得Γ的方程为(x-1)2+y2=1; 则C(1,0),直线l的方程可化为(x+y-1)+m(2x-4y+1)=0, 由 所以直线l过定点D, 又|DC|2=+=<1, 所以点D在圆C的内部; 作直线CE⊥l,垂足为E, 设∠DCE=θ,易求|DC|=, 所以|CE|=|DC|cos θ=θ, 所以|AB|=2=2, 所以S△ABC=×2×θ =, 所以当cos 2θ=1, 即θ=0时,(S△ABC)max=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题26　直线与圆 近几年高考：考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现. 一、高考真题 1.(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 2.(2022·北京卷)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　) A. B.- C.1 D.-1 3.(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.  5.(2025·天津卷)l1:x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,|AB|=3|CD|,则r=　　　　.  二．典型例题 1.直线的方程及应用 例1 (1)(2025·济南模拟)若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则m=(　　) A.4 B.-4 C.1或-4 D.-1或4 (2)(多选)已知直线l:x-y+1=0,下面四个说法中正确的是(　　) A.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m B.与直线n:2x-2y+3=0之间的距离是1 C.点(,0)到直线l的距离为2 D.过点(2,2),并且与直线l平行的直线方程为x-y-4=0 易错提醒　1.讨论两直线的位置关系时,要考虑斜率不存在的情况;求解两条直线平行问题时,要注意排除两条直线重合的情况. 2.运用平行线间的距离公式,一要两直线均为一般式,二要两直线x、y的系数分别相等. 训练1 (多选)下列说法正确的是(　　) A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5 B.直线ax+y+1=0与以A(2,3),B(-3,2)为端点的线段相交,则a的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞) C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) 2.圆的方程 例2 (1)(2025·南通调研)已知曲线y=x2-x-2与x轴交于A,B两点,圆M经过A,B,C(2,4)三点,则圆M的方程为(　　) A.x2+y2-x-4y-2=0 B.x2+y2-3x+2=0 C.x2+y2+2x-4y-8=0 D.x2+y2+x-y-18=0 (2)(2025·北京西城区模拟)已知圆C经过点(-1,0)和(3,0),且与直线y=2相切,则圆C的方程为　　　　.  规律方法　求圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 训练2 (1)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称,则圆C2的标准方程为(　　) A.(x+4)2+(y+2)2=4 B.(x-4)2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+(y+4)2=4 D.(x-2)2+(y-4)2=4 (2)(2025·天津调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切,则圆C的标准方程可以为　　　　　　　.(写出满足条件的一个答案即可)  3.直线、圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系 例3 (1)(多选)(2025·上饶模拟)已知直线l:ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=9,则下列说法正确的是(　　) A.存在实数a,使圆O关于直线l对称 B.直线l过定点(2,-2) C.对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点 D.当a=-时,直线l被圆O所截弦长为2 (2)(2025·郑州质检)已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线l:x-y-3=0上运动,直线PA,PB与圆C相切,切点为A,B,则下列说法正确的是(　　) A.|PA|的最小值为2 B.|PA|最小时,弦AB长为 C.|PA|最小时,弦AB所在直线的斜率为-1 D.四边形PACB的面积的最小值为 （2）圆与圆的位置关系 例4 (多选)已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4,a∈R,则(　　) A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B.若圆O与圆C相切,则a=±2 C.若圆O与圆C恰有两条公切线,则-2<a<2 D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2 规律方法　1.与圆的弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦长,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理. 2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得,进而在一个圆内,利用垂径定理求公共弦长. 训练3 (1)(多选)(2025·潍坊模拟)已知点P(2,2),圆C:x2+y2=18,则(　　) A.点P在C内 B.点P与C上的点之间的最大距离为6 C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0 D.过点P的直线被C截得弦长的最小值为 (2)(2025·合肥二模)已知点A(-2,0),C,D是☉O:x2+y2=16与x轴的交点.点B满足:以AB为直径的圆与☉O相切,则△BCD面积的最大值为　　　　.  4.隐圆问题 例5 (1)已知直线kx-y+2k=0与直线x+ky-2=0相交于点P,点A(4,0),O为坐标原点,则tan ∠OAP的最大值为(　　) A.2- B. C.1 D. (2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是　　　　.  规律方法　确定隐圆的几种方法: (1)借助圆的定义;(2)借助距离的平方和为常数;(3)借助平面向量的数量积为定值;(4)借助距离比值为常数. 训练4 (多选)在平面直角坐标系中,存在三点A(-1,0),B(1,0),C(0,7),动点P满足|PA|=|PB|,则(　　) A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8 B.△PAB面积最大时,|PA|=2 C.∠PAB最大时,|PA|=2 D.P到直线AC距离的最小值为 【精准强化练习】 一、单选题 1.(2025·桂林二模)已知直线l的一个方向向量为a=(2,1),则过点A(1,-1)且与l垂直的直线方程为(　　) A.x-2y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-3=0 D.2x+y-1=0 2.(2025·临沂模拟)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 3.(2025·厦门二模)直线l:x-y=0被圆C:(x-1)2+y2=1所截得的弦长为(　　) A.1 B. C. D.2 4.(2025·西城区模拟)在平面直角坐标系xOy中,若从点A(0,t)发出的光线经过点B(1,0),且被x轴反射后将圆C:(x-4)2+(y-3)2=1平分,则实数t=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.折纸艺术是我国民间的传统文化,将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[-1,0] D.[-2,0] 6.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足=,则|PA|2+|PB|2的最小值为(　　) A.36-24 B.48-24 C.36 D.24 7.(2025·秦皇岛模拟)已知圆M:x2+y2-4x-4y+4=0与y轴相切于A点,过A点的直线l交圆M于另一点B,点F(0,3),O为坐标原点,若=,则直线l的方程为(　　) A.x-2y+4=0 B.2x-y+2=0 C.x-y+2=0 D.3x-2y+4=0 8.(2025·湖州调研)已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 二、多选题 9.已知直线l:ax+(2a+3)y-3=0,直线n:(a-2)x+ay-1=0,则(　　) A.当a=-2时,l∥n B.当a=时,l⊥n C.当l∥n时,直线l,n之间的距离为 D.坐标原点到直线n的距离的最大值为 10.(2025·毕节二模)已知圆O:x2+y2=4,圆C:x2+y2+2y+a=0,则(　　) A.当a=0时,圆O与圆C相切 B.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且直线MN的方程为y=- C.当0<a<1时,圆O与圆C相交 D.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2 11.(2025·渭南二模)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=3(0≤θ<2π),则下列四个命题为真命题的是(　　) A.M中所有直线均经过一个定点 B.存在定点P不在M中的任一条直线上 C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 三、填空题 12.经过点P(1,1)以及圆x2+y2-4=0与x2+y2-4x+4y-12=0交点的圆的方程为　　　　.  13.(2025·南京调研)在平面直角坐标系中,若定义两点A1(x1,y1)和A2(x2,y2)之间的“t距离”为“|A1A2|t=max,其中max{p,q}表示p,q中的较大者,则点A1(0,0)与点A2(1,2)之间的“t距离”为　　　;若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t距离”为,则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为　　　　.  14.在平面直角坐标系xOy中,点M(3,0),N,直线l:(2m+1)x-(4m-1)y+m-1=0(m≠0),动点P满足|PM|=2|PN|,则动点P的轨迹Γ的方程为　　　　,若Γ的对称中心为C,l与Γ交于A,B两点,则△ABC面积的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $