5.6 找最大公因数（教学设计）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

找最大公因数 教学设计 教学目标： （1）数学的眼光：通过观察数的因数关系，理解公因数和最大公因数的意义，初步建立数感，感知数学知识的结构联系。 （2）数学的思维：通过探索找两个数公因数的过程，掌握列举法，培养有序思考、逻辑推理能力，养成不重复、不遗漏的思考习惯。 （3）数学的语言：能用数学语言描述公因数和最大公因数的概念，通过列举法清晰表达找公因数的过程，能运用所学知识解决简单的实际问题。 教学重难点： （1）重点： 经历用列举法、集合图等方法找两个数公因数的过程，理解公因数与最大公因数的含义，发展有序思考能力和数感，初步建立 “因数关系解决实际问题” 的模型意识（如切割等长小段的问题情境）。 （2）难点： 运用列举法（按顺序不重复、不遗漏）找出两个数的全部因数，并用集合圈或短除法直观呈现 “公因数” 的形成过程，避免因无序思考导致的错误，培养严谨的思维习惯与数据意识。 教学准备： （1）多媒体设备（含投影仪、电脑等，用于播放教学课件）。 （2）教学课件（包含 “张叔叔切割钢管” 情境图、12 和 18 的因数列举、集合圈图示、短除法步骤等教学内容）。 （3）黑板及粉笔（用于板书关键步骤和公式，如因数分解、公因数推导过程）。 教学方法： 情境创设法、自主探究法、合作交流法、直观演示法、归纳总结法、分层练习法 教学过程： 一、导入新课（复习铺垫，激活旧知） （1）复习找一个数的全部因数 教师活动： 师：同学们，上节课我们学习了 “找一个数的全部因数”，还记得我们是怎么找的吗？比如求 18 的因数，我们可以用“一对一对找” 的方法：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。现在老师这里有一道新的题目，大家试着用这种方法独立完成，注意按顺序写，别漏了哦！（出示题目：“24 的全部因数有哪些？请你按从小到大的顺序写在练习本上。”） 学生活动： （学生开始书写，教师巡视，发现有学生写 “1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24”，也有学生用除法 “24÷1=24，24÷2=12，24÷3=8，24÷4=6”，教师特别关注是否有学生按顺序找因数，比如有的学生会漏写 “4” 或 “6”。约 2 分钟后） 教师活动： 师：时间到！谁愿意分享一下 24 的全部因数？ 生 1：24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。我是用乘法找的，一对一对写，没有重复。 师：非常好！能说说你是怎么保证不重复的吗？ 生 1：我先从 1 开始，1×24=24，然后 2×12=24，3×8=24，4×6=24，这样每一对的第一个数都比第二个数小，就不会重复啦。 师：说得太对了！（板书 24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24）那如果是求一个更大的数，比如 36 的因数，我们还能用这种方法吗？ 生（齐）：能！ 师：看来大家对 “找一个数的因数” 掌握得很扎实。 （2）引出新课，明确目标 师：刚才我们复习了找一个数的因数，那如果有两个数，它们的因数之间会有什么联系呢？比如，李奶奶想把一块长 24 米、宽 18 米的长方形菜地分成同样大小的正方形地块，而且没有剩余，她应该怎么分？每块正方形地块的边长最长是多少米？这节课，我们就来学习与因数有关的新知识 ——找两个数的最大公因数。 二、探究新知（层层递进，解决问题） （1）任务一：找出 24 和 18 的全部因数 情境引入： 师：我们先回到李奶奶分菜地的问题，要分成同样大小的正方形且无剩余，正方形的边长必须是 24 和 18 的共同因数，对吗？（学生点头）那我们需要先分别找出 24 和 18 的全部因数，再看看它们共同的因数有哪些，最后找到最大的那个。 学生活动： 师：请大家拿出练习本，用自己喜欢的方法（乘法或除法）找出 24 和 18 的全部因数，写的时候注意按顺序排列。（学生开始操作，教师巡视，发现部分学生用 “列举法”，有的用 “除法”，还有的会先列出较小数的因数再对照较大数的因数。教师走到一位学生身边，轻声提示：“你用的是‘先找 24 的因数，再看 18 的因数里有没有’的方法，这种方法也很好哦！”） 分享交流： 师：谁愿意展示一下 24 的因数？ 生 1：24 的因数是 1、2、3、4、6、8、12、24。我用乘法找的，1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，按顺序写下来就不会漏了。 师：非常棒！那 18 的因数呢？ 生 2：18 的因数是 1、2、3、6、9、18。我用除法找的，18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，后面的商和前面重复了，所以就写到 6 为止。 师：说得很清楚！（板书 24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；18 的因数：1、2、3、6、9、18）现在我们有了两个数各自的因数，接下来该做什么呢？ （2）任务二：找出 24 和 18 的公因数 师：我们需要从 24 的因数和 18 的因数中，找出 “共同拥有” 的数，也就是它们都有的因数。请大家观察黑板上的两组数，圈出 24 和 18 都有的因数。（学生开始圈数，教师巡视发现有的学生圈出 “1、2、3、6”，有的学生先在 24 的因数里逐个看 “18 的因数里有没有”，比如 “1 在 18 的因数里有，2 也有，3 也有，4 在 18 的因数里没有……”） 师：好，时间到！谁来说说你们圈出的数是什么？ 生 3：我们圈出的是 1、2、3、6。因为 24 的因数里有 1、2、3、6，18 的因数里也有这几个数。 师：非常好！这些数就是 24 和 18 的 “公因数”—— 两个数共有的因数。那 “公因数” 是什么意思呢？（引导学生理解：两个数共同拥有的因数，就叫它们的公因数。） （3）任务三：认识最大公因数 师：在这些公因数中，最大的是哪一个？ 生（齐）：6！ 师：为什么是 6 呢？我们看看，1、2、3、6 中，6 是不是最大的？ 生 4：是！因为 6 比 3、2、1 都大，而且6 既是 24 的因数，也是 18 的因数。 师：对！我们把公因数中最大的那个数，叫做这两个数的 “最大公因数”。所以 24 和 18 的最大公因数是 6。 （4）任务四：用集合圈和短除法表示公因数与最大公因数 ①集合圈法： 师：除了列举法，我们还可以用 “集合圈” 来更直观地表示两个数的因数和公因数。（课件出示集合圈图：左边椭圆写 “24 的因数”，右边椭圆写 “18 的因数”，中间重叠部分标 “公因数”）大家看，左边椭圆里的数是 24 独有的因数，右边椭圆里的数是 18 独有的因数，中间重叠的部分就是它们的公因数。（学生观察后） 生 5：重叠部分正好是 1、2、3、6，和我们找的公因数一样！ 师：没错，这样用集合圈能一眼看出两个数的 “独有的因数” 和 “共有的因数”，是不是更清楚了？ ②短除法： 师：除了集合圈，我们还可以用 “短除法”快速求最大公因数。（课件演示短除法过程：先用 24 和 18 的最小公因数 2去除，得到商 12 和 9；再用 12 和 9 的最小公因数 3去除，得到商 4 和 3；此时 4 和 3 只有公因数 1，停止除法。） 师：短除法的步骤是这样的：先写两个数，然后画一条短除号，用它们的“公有质因数”去除（比如 24 和 18 的公有质因数是 2），得到的商写在下面；再用新的商的公有质因数去除（12 和 9 的公有质因数是 3），直到商只有公因数 1 为止。 师：短除法的结果就是所有除数的乘积 ，即 2×3=6，和我们之前找到的一致。 （5）总结找最大公因数的方法 师：现在我们回顾一下，求两个数的最大公因数有哪些方法？ 生 7：可以先分别列出两个数的因数，再找出公因数，最后找最大的，这叫 “列举法”。 生 8：还可以用集合圈，更直观。 生 9：用短除法更快，尤其是数字大的时候。 师：大家总结得很全面！我们可以根据数的大小选择合适的方法。比如求 24 和 18 的最大公因数，用列举法 、集合圈或短除法都能得到 6。 三、迁移运用（巩固基础，深化理解） （1）基础题：巩固基础方法 题目 1：李奶奶的菜地分完后，她又想把一个长 15 厘米、宽 10 厘米的长方形分成同样大小的正方形，边长最长是多少厘米？一共能分成多少个？（引导学生用今天学的方法解决，学生先独立找 15 和 10 的因数，再找公因数和最大公因数） 生 10：15 的因数有 1、3、5、15，10 的因数有 1、2、5、10，公因数是 1、5，最大公因数是 5，所以正方形边长最长是 5 厘米。一共能分（15÷5）×（10÷5）=3×2=6 个。 师：非常好！“最大公因数”在生活中很有用，比如分东西时要平均分且无剩余，做游戏时要分成人数相同的小组等。 （2）提高题：发现规律 师：我们来看看这几组数的最大公因数，找找有什么规律？（出示题目） （1）7 和 14（ ）；21 和 3（ ）；15 和 5（ ） （2）7 和 9（ ）；8 和 11（ ）；13 和 19（ ） （学生分组讨论，约 3 分钟后） 生 11：第一组，7 和 14 的最大公因数是 7，21 和 3 的最大公因数是 3，15 和 5 的最大公因数是 5。我发现：如果两个数是倍数关系，最大公因数就是较小的那个数！ 师：非常棒！（板书：倍数关系：最大公因数 = 较小数）那第二组呢？ 生 12：7 和 9 的最大公因数是 1，8 和 11 的最大公因数是 1，13 和 19 的最大公因数是 1。它们没有除了 1 以外的公因数！ 师：对！这样的数叫 “互质数”，互质数的最大公因数是 1。 （3）拓展题：特殊倍数关系 师：如果两个数是倍数关系，比如 a 是 b 的 3 倍（a、b 均不为 0），那么 a 和 b 的最大公因数是多少？请举例验证。 生 13：比如 6 和 2，6 是 2 的 3 倍，最大公因数是 2；9 和 3，最大公因数是 3。所以最大公因数是较小的数 b！ 师：没错！如果 a=3b（b 是正整数），那么 b 是 a 的因数，a 是 b 的倍数，所以最大公因数就是 b（较小数）。这个规律和我们刚才发现的倍数关系一致。 四、课堂小结（回顾知识，总结收获） 师：同学们，这节课我们学习了什么？谁能说说你的收获？ 生 14：我们学了 “最大公因数”，就是两个数公有的因数中最大的那个。 生 15：找最大公因数有三种方法：列举法、集合圈法、短除法。 生 16：我还知道了，如果两个数是互质数 ，最大公因数是 1；如果是倍数关系，最大公因数是较小的数。 师：大家总结得非常棒！最大公因数在生活中很有用，比如分东西时要平均分且无剩余，做游戏时要分成人数相同的小组等。希望大家课后能多观察生活，运用今天学的知识解决更多问题！ 课后作业： （1）必做题： ① 用列举法找出 16 和 24 的所有因数，再圈出它们的公因数，最大公因数是（ ）。 ② 若 a 和 b 是两个不为 0 的自然数，且 a 是 b 的倍数，那么 a 和 b 的最大公因数是（ ）；若 a 和 b 是互质数（只有公因数 1），则它们的最大公因数是（ ）。 （2）选做题： ① 写出下面每组数的最大公因数，并尝试用集合圈表示（如范例中 12 和 18 的集合图）： 15 和 25（ ） 14 和 21（ ） ② 生活应用：有两根彩带，分别长 30 厘米和 45 厘米，要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少厘米？一共能剪多少段？ 学科网（北京）股份有限公司 $