微专题24　截面、交线问题讲义-2026届高三数学二轮复习

微专题24　截面、交线问题 近几年高考： 1.确定空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质. (1)两个基本事实为: ①如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线; ②如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)两个性质为: ①如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行; ②如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行. 2.立体几何中的截面类型 (1)平面截球:圆面. (2)平面截正方体:三角形、四边形、五边形、六边形. (3)平面截圆柱曲面:圆、椭圆、矩形. (4)平面截圆锥曲面:圆、椭圆、双曲线(单支)、抛物线. 二．典型例题 类型一　截面问题 1.多面体中的截面问题 例1 (多选)(2025·温州调研)如图,已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,点P是棱AB的中点,过点P作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,则下列说法正确的是(　　) A.截面的形状可能是正三角形 B.截面的形状可能是直角梯形 C.此截面可以将正方体体积分成1∶3的两部分 D.若截面的形状是六边形,则其周长为定值 答案　AC 解析　对于A,如图1,当M,N分别为BB1,BC的中点时,可知PM=PN=MN,此时截面的形状是正三角形,故A正确; 对于B,如图2,四边形PMNQ为过点P的正方体的一个截面,则由面面平行的性质可知PM∥QN. 若四边形PMNQ为梯形,则PM≠NQ. 如果为直角梯形,不妨令PM⊥MN, 则由正方体的性质可知PM⊥CC1. 设MN,CC1交于点T, 又MN,CC1⊂平面BCC1B1, 则PM⊥平面BB1C1C, 又因为AB⊥平面BB1C1C, 则PM∥AB或PM与AB重合, 由图2可知不成立,即截面的形状不可能是直角梯形,故B错误; 对于C,当Q为A1B1的中点时,如图3所示,截面为PCC1Q,则三棱柱BPC-B1QC1的体积为×1×2×2=2, 又正方体的体积为8, 所以截面将正方体分成2∶(8-2)=1∶3的两部分,故C正确; 对于D,如图4所示,假设E为BC的中点,∠IMA=∠FNC=θ,截面为IPEFGH, 则AP=CE=MA=CN=1,IA=CF=tan θ, A1I=C1F=2-tan θ, A1H=C1G=-1,D1H=D1G=3-, 可得PE=,PI=EF==, HI=GF=-, HG=3-, 则六边形的周长为PE+2(IP+HI)+HG=4+-, 显然周长与θ有关, 即六边形的周长不是定值,故D错误.故选AC. 2.球的截面问题 例2 已知三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=,AC=2,点E,F分别是线段AB,BC的中点,直线AF,CE相交于点G,则过点G的平面α截三棱锥S-ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是　　　　.  答案　 解析　因为AB2+BC2=AC2,故AB⊥BC, 又因为SA⊥平面ABC, 故三棱锥S-ABC的外接球球心O为SC的中点,且球O的半径R==. 取AC的中点D,连接OD,OG,BD,则BD必过点G,如图所示. 因为AB=BC=, 故DG=BD=. 因为OD=SA=, 故OG2=+=, 则过点G的平面截球O所得截面圆的最小半径的平方r2=-=; 过点G的平面截球O所得截面圆的最大半径为球半径R=, 故截面面积的最小值为,最大值为, 故截面面积的取值范围是. 规律方法　作几何体截面的方法 (1)利用平行直线找截面; (2)利用相交直线找截面. 训练1 (2025·南充模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　) A. B. C.9 D.18 答案　B 解析　连接BC1,AD1,D1F,如图所示. 因为E,F分别是BC,CC1的中点, 所以EF∥BC1. 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AD1∥BC1, 所以EF∥AD1, 所以A,D1,E,F在同一平面内, 所以平面AEF截该正方体所得的截面为四边形EFD1A. 因为正方体的棱长为2, 所以EF=,AD1=2,D1F=AE==, 则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高, 为=, 所以所求截面面积S=×(2+)×=.故选B. 类型二　交线问题 1.多面体中的交线问题 例3 (2025·盐城质检)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱DD1的中点,过点D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,则平面α与正方形B1BCC1的交线的长度为　　　　.  答案　 解析　取棱BB1的中点P, 连接CP,PD1,CD1,如图所示. 因为CD1∥A1B,CD1⊄平面A1BE,A1B⊂平面A1BE, 所以CD1∥平面A1BE. 因为CP∥A1E,CP⊄平面A1BE,A1E⊂平面A1BE, 所以CP∥平面A1BE. 又因为CP,CD1⊂平面CPD1,CP∩CD1=C, 所以平面CPD1∥平面A1BE. 因此平面α即为平面CPD1, 所以平面α与正方形B1BCC1的交线为CP. 又CP==, 故所求交线的长度为. 2.与球有关的交线问题 例4 已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,则以CC1的中点M为球心,4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为(　　) A.2π B.3π C.4π D.8π 答案　C 解析　设AB,AA1,A1B1,BB1的中点分别为F,E,H,G,四边形ABB1A1的中心为N, 连接MN,CF,MH,ME,MG,MF,HF,EG. 因为AB=AA1=4, 故四边形ABB1A1为正方形,G,N,E三点共线,H,N,F三点共线, MN⊥平面ABB1A1, 且GN=EN=NH=NF=2. 因为M为CC1的中点, 所以MN=CF=4sin 60°=2, 由勾股定理得MH=MF==4, 又MG=ME=4, 所以题中所求交线轨迹为以N为圆心,2为半径的圆,球与侧面ABB1A1的交线轨迹如图所示, 故交线长l=2×π×2=4π. 规律方法　找交线的方法 (1)线面交点法:各棱线与截平面的交点. (2)面面交线法:各棱面与截平面的交线. 训练2 已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,则以下底面的一个顶点为球心,2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为　　　　.  答案　2π 解析　由题意,得下底面△ABC是边长为5的等边三角形,侧面均为全等的等腰梯形, 在四边形ABB1A1中, AB=5,A1B1=2,AA1=BB1=3. 如图,在棱AB上取BF=2,连接A1F, 易知△AA1F为等边三角形,即∠A1AB=, 则以下底面的一个顶点A为球心,2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线为三段圆弧,,, 分别是与平面ABC、平面ABB1A1、平面ACC1A1的交线,且每段圆弧所对的圆心角均为, 则所求交线长度为三段圆弧,,的长度之和,为×2×3=2π. 【精准强化练】 一、单选题 1.过一个圆锥的侧面上一点(不是母线的端点)作圆锥的截面,则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆;②椭圆;③抛物线的一部分;④双曲线的一部分中的(　　) A.①②③④ B.①③④ C.①② D.①②④ 答案　A 解析　根据截面与圆锥的位置关系,所得的图形如图所示, 故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆;②椭圆;③抛物线的一部分;④双曲线的一部分. 2.(2025·宜春十校联考)已知棱长为4的正四面体ABCD,用与点A,B,C,D距离均相等的平面截该四面体,则所有截面的面积和为(　　) A.12+4 B.16+4 C.8 D.4 答案　A 解析　与点A,B,C,D距离均相等的平面可分为两类: 一类是平面的一侧是1个点,另外一侧有3个点(如图1), 此时截面过棱的中点,且与一个面平行, 所以截面三角形与平行的面(三角形)相似,相似比为, 则截面三角形面积为××4×4sin 60°=, 这样的截面共有4个, 故这类截面的面积和为4; 另外一类是平面的两侧各有2个顶点(如图2), 因为正四面体对棱垂直,易知四边形PQMN是边长为2的正方形, 其面积为4, 这样的截面共有3个, 所以这类截面的面积和为12. 故符合条件的所有截面的面积和为12+4. 3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,设过P,Q,R的截面与平面ADD1A以及平面ABB1A1的交线分别为l,m,则l,m所成的角为(　　) A.90° B.30° C.45° D.60° 答案　D 解析　因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,取C1D1,DD1,BB1的中点分别为G,F,E,连接FG,FQ,QP,PE,ER,RG,根据正方体的特征,易知,若连接PG,EF,RQ,则这三条线必相交于正方体的中心, 又GR∥EF∥QP,所以P,Q,F,G,R,E六点必共面,即六边形PQFGRE为过P,Q,R的截面; 所以EP即为直线m,FQ即为直线l; 连接AB1,AD1,B1D1, 因为EP∥AB1,FQ∥AD1, 所以∠B1AD1即为直线EP与FQ所成的角, 又因为正方体的各面对角线相等, 所以△AB1D1为等边三角形, 因此∠B1AD1=60°,即l,m所成的角为60°. 4.(2025·抚顺模拟)如图,桌面上放置着两个底面半径和高都是R的几何体,左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥(以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点)剩余的部分,右边是半球,用平行于桌面的平面截这两个几何体,截得左边几何体的截面面积为S1,截得半球的截面面积为S2,则(　　) A.S1<S2 B.S1=S2 C.S1>S2 D.S1与S2的大小关系不确定 答案　B 解析　设截面与圆柱底面的距离为h, 该平面截半球所得圆面的半径为,圆的面积为S2=π(R2-h2), 由于圆柱的底面半径与高相等, 所以圆环的内圆半径为h, 所以圆环的面积为S1=π(R2-h2), 故S1=S2,故选B. 5.(2025·河南部分学校摸底)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,E,F,G分别是AA1,A1B1,B1C1的中点,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为(　　) A.2+3 B.2+3 C.2+4 D.2+4 答案　D 解析　如图,直线GF交D1A1的延长线于点M,交D1C1的延长线于点N, 因为四边形A1B1C1D1为正方形, 所以A1M=D1A1,C1N=D1C1. 连接ME并延长交AD于点K,交D1D的延长线于点T,连接TN,分别交CD,CC1于点I,H, 则K,I,H分别为AD,CD,CC1的中点. 连接KI,GH,EF, 则六边形EFGHIK即为过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的截面多边形. 因为A1D1=2,AA1=4, 所以EF=GH=EK=HI=,FG=KI=, 所以六边形EFGHIK的周长为2+4. 6.(2025·湖州模拟)在四棱锥P-ABCD中,长为2的侧棱PD垂直于底面边长为2的正方形ABCD,M为棱PD的中点,过直线BM的平面α分别与侧棱PA,PC相交于点E,F,当PE=PF时,截面MEBF的面积为(　　) A.2 B.3 C.3 D.2 答案　D 解析　由题意,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,故以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz, 则C(0,2,0),P(0,0,2),A(2,0,0),M(0,0,1),B(2,2,0), =(2,0,-2),=(-2,-2,1),=(0,2,-2). 设=t=(2t,0,-2t),0≤t≤1, 则E(2t,0,2-2t). 又PE=PF,PA=PC, 所以=t=(0,2t,-2t), 则F(0,2t,2-2t). 由题意,M,E,B,F四点共面,又=(2t-2,-2,2-2t),=(-2,2t-2,2-2t), 所以=x+y(x,y∈R), 所以 解得x=y=,t=, 所以E,F, 所以=, =, 所以cos <,>===, 即cos ∠EBF=, 所以sin ∠EBF==, 所以S△EBF=BE·BF·sin ∠EBF=×××=. 又=,=, 所以cos <,>===, 即cos ∠EMF=,所以sin ∠EMF=, 所以S△EMF=ME·MF·sin ∠EMF =×××=, 所以截面MEBF的面积 S=S△EBF+S△EMF=+=2.故选D. 7.(2025·湖南师大附中调研)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为C1D1的中点,F为棱CC1上异于端点的动点,若平面BEF截该正方体所得的截面为五边形,则线段CF的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　法一　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BEF∩平面CDD1C1=EF. 因为B∈平面ABB1A1, B∈平面BEF, 平面CDD1C1∥平面ABB1A1, 则平面BEF与平面 ABB1A1的交线过点B, 且与直线EF平行,与直线A1B1相交,设交点为G,连接BG,EG,如图1所示. 又因为CC1⊥平面A1B1C1D1,BB1⊥平面A1B1C1D1, 所以∠C1EF,∠BGB1分别为EF,GB与平面A1B1C1D1所成的角. 因为EF∥GB,则∠C1EF=∠BGB1, 且有=tan ∠C1EF=tan ∠BGB1=. 当F与C重合时,平面BEF截该正方体所得的截面为四边形,此时GA1=GB1=, 设M为棱A1B1的中点,此时M与G重合. 当点F由点C向点C1移动过程中,∠C1EF逐渐减小,点G由点M向点A1方向移动; 当点G为线段MA1上任意一点时,平面BEF只与该正方体的4个表面有交线,可形成四边形; 当点G在线段MA1的延长线上时,直线BG必与棱AA1交于除点A1外的点, 又点F与C1不重合,故此时平面BEF与该正方体的5个表面有交线, 截面为五边形,如图2所示. 因此当F为棱CC1上异于端点的动点, 截面为五边形时,B1G>1, 可得C1F==∈, 则CF=1-C1F∈, 所以线段CF的取值范围是, 所以若平面BEF截该正方体的截面为五边形, 则线段CF的取值范围是.故选B. 法二　取CC1的中点M,设平面BEF∩平面ABB1A1=BG. 因为平面CDD1C1∥平面ABB1A1, 由面面平行的性质可得EF∥BG. 当F与M重合,即CF=时,G与A1重合,截面为四边形,如图3, 当点F在线段MC1上(不包括端点),即CF∈时,点G在线段AA1上(不包括端点),此时平面BEF与平面ADD1A1有交线,截面为五边形; 当点F在线段MC上,即CF∈时, 点G在线段A1B1上,此时截面为四边形, 所以若平面BEF截该正方体所得的截面为五边形,则线段CF的取值范围是.故选B. 二、多选题 8.如图,一个平面α斜截一个足够高的圆柱,与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r,平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ,则下列对椭圆E的描述中正确的是(　　) A.短轴长为2r,且与θ大小无关 B.离心率为cos θ,且与r大小无关 C.焦距为2rtan θ D.面积为 答案　ACD 解析　由题意,椭圆短轴长2b=2r, 而长轴长随θ变大而变长且2a=, 所以c==rtan θ, 故e==sin θ,焦距为2c=2rtan θ; 由椭圆在底面投影即为底面圆,则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值, 所以椭圆面积为S=. 综上,A,C,D正确,B错误. 9.(2025·深圳质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用垂直于AC1的平面截此正方体,则所得截面可能是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 答案　AD 解析　如图所示,连接AC,AC1,A1D,BD,A1C1,BA1,B1D1,CD1,B1C. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD⊥AC,BD⊥AA1. 又AC∩AA1=A,AC,AA1⊂平面AA1C1C, 则BD⊥平面AA1C1C. 又AC1⊂平面AA1C1C,则BD⊥AC1, 同理BA1⊥AC1. 又BD∩BA1=B,BD,BA1⊂平面BDA1, 所以AC1⊥平面BDA1, 同理AC1⊥平面CB1D1. 由直线与平面垂直的性质得,与平面BDA1和平面CB1D1平行的平面,都与AC1垂直,由图知,在平面BDA1和平面CB1D1之间的平面, 与正方体所得截面的形状为六边形; 在平面BDA1和平面CB1D1之外的平面, 与正方体所得截面的形状为三角形.故选AD. 三、填空题 10.在圆台O1O2中,四边形ABCD是其轴截面,AD=DC=BC=AB,过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF,若点A到平面CEF的距离是,则圆台的体积等于　　　　.  答案　 解析　因为AD=DC=BC=AB, 所以四边形ADCO1为平行四边形, 所以O1C=O1D=O1A=AD, 则△AO1D为正三角形,所以∠DAB=60°. 由题意得平面CEF⊥平面ABCD,且平面CEF∩平面ABCD=O1C, 所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离. 在△AO1D中,过点O1作O1M⊥AD于M,过点D作DN⊥AO1于N, 则DN=O1M=, 所以AO1==2. 设圆台上、下底面半径分别为r,R,高为h, 则R=AO1=2,r=DO2=AO1=1, h=DN=, 则圆台的体积V=h(R2+Rr+r2) =×(4+2+1)=. 11.已知三棱锥P-ABC的棱AP,AB,AC两两互相垂直,AP=AB=AC=2,以顶点P为球心,4为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧,则最长弧的弧长等于　　　　.  答案　 解析　由题设,将三棱锥P-ABC补全为棱长为2的正方体,O为底面中心,如图所示. 若AD=AF=2, 则PD=PF=4, 即D,F在以P为球心,4为半径的球面上, 又OA=>2,OP=3>4, 所以平面ABC与球面所成弧是以A为圆心, 2为半径的四分之一圆弧,故弧长为π; 平面PBC与球面所成弧是以P为圆心,4为半径且圆心角为的圆弧,故弧长为; 平面PBA,PCA与球面所成弧是以P为圆心,4为半径且圆心角为的圆弧, 故弧长为. 所以最长弧的弧长为. 12.(2025·宜昌调研)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,M为底面三角形斜边BC上一点,且·=0,AC=AA1=1,P为线段BC1上一动点,则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为　　　　.  答案　 解析　分如下三种情况, ①如图1,延长MP交B1C1于点N,过点N作B1C1的垂线交A1C1于点S,连接AS,则四边形AMNS为所求截面; ②如图2,延长MP交B1C1于点N1,过点N1作B1C1的垂线交A1B1于点S1,连接AS1,则四边形AMN1S1为所求截面; ③如图3,延长MP交BB1于点N2,连接AN2,则三角形AMN2为所求截面. 显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积,故只需考虑①②中的情况,易知①②中的情况相同,故只需考虑情况①即可. 在①中,易知SN∥AM,AM⊥平面BCC1B1,AM=,∠SC1N=45°, 设C1N=x, 则SN=x,MN=, 所以所求截面面积 S=×=, 由于y=x4,y=x+上单调递增, 所以函数y=x4+x+上单调递增, 故S≤=, 故截面面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题24　截面、交线问题 近几年高考： 1.确定空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质. (1)两个基本事实为: ①如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线; ②如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)两个性质为: ①如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行; ②如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行. 2.立体几何中的截面类型 (1)平面截球:圆面. (2)平面截正方体:三角形、四边形、五边形、六边形. (3)平面截圆柱曲面:圆、椭圆、矩形. (4)平面截圆锥曲面:圆、椭圆、双曲线(单支)、抛物线. 二．典型例题 类型一　截面问题 1.多面体中的截面问题 例1 (多选)(2025·温州调研)如图,已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,点P是棱AB的中点,过点P作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,则下列说法正确的是(　　) A.截面的形状可能是正三角形 B.截面的形状可能是直角梯形 C.此截面可以将正方体体积分成1∶3的两部分 D.若截面的形状是六边形,则其周长为定值 2.球的截面问题 例2 已知三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=,AC=2,点E,F分别是线段AB,BC的中点,直线AF,CE相交于点G,则过点G的平面α截三棱锥S-ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是　　　　.  规律方法　作几何体截面的方法 (1)利用平行直线找截面; (2)利用相交直线找截面. 训练1 (2025·南充模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　) A. B. C.9 D.18 类型二　交线问题 1.多面体中的交线问题 例3 (2025·盐城质检)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱DD1的中点,过点D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,则平面α与正方形B1BCC1的交线的长度为　　　　.  2.与球有关的交线问题 例4 已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,则以CC1的中点M为球心,4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为(　　) A.2π B.3π C.4π D.8π 规律方法　找交线的方法 (1)线面交点法:各棱线与截平面的交点. (2)面面交线法:各棱面与截平面的交线. 训练2 已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,则以下底面的一个顶点为球心,2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为　　　　.  【精准强化练】 一、单选题 1.过一个圆锥的侧面上一点(不是母线的端点)作圆锥的截面,则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆;②椭圆;③抛物线的一部分;④双曲线的一部分中的(　　) A.①②③④ B.①③④ C.①② D.①②④ 2.(2025·宜春十校联考)已知棱长为4的正四面体ABCD,用与点A,B,C,D距离均相等的平面截该四面体,则所有截面的面积和为(　　) A.12+4 B.16+4 C.8 D.4 3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,设过P,Q,R的截面与平面ADD1A以及平面ABB1A1的交线分别为l,m,则l,m所成的角为(　　) A.90° B.30° C.45° D.60° 4.(2025·抚顺模拟)如图,桌面上放置着两个底面半径和高都是R的几何体,左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥(以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点)剩余的部分,右边是半球,用平行于桌面的平面截这两个几何体,截得左边几何体的截面面积为S1,截得半球的截面面积为S2,则(　　) A.S1<S2 B.S1=S2 C.S1>S2 D.S1与S2的大小关系不确定 5.(2025·河南部分学校摸底)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,E,F,G分别是AA1,A1B1,B1C1的中点,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为(　　) A.2+3 B.2+3 C.2+4 D.2+4 6.(2025·湖州模拟)在四棱锥P-ABCD中,长为2的侧棱PD垂直于底面边长为2的正方形ABCD,M为棱PD的中点,过直线BM的平面α分别与侧棱PA,PC相交于点E,F,当PE=PF时,截面MEBF的面积为(　　) A.2 B.3 C.3 D.2 7.(2025·湖南师大附中调研)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为C1D1的中点,F为棱CC1上异于端点的动点,若平面BEF截该正方体所得的截面为五边形,则线段CF的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题 8.如图,一个平面α斜截一个足够高的圆柱,与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r,平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ,则下列对椭圆E的描述中正确的是(　　) A.短轴长为2r,且与θ大小无关 B.离心率为cos θ,且与r大小无关 C.焦距为2rtan θ D.面积为 9.(2025·深圳质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用垂直于AC1的平面截此正方体,则所得截面可能是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 三、填空题 10.在圆台O1O2中,四边形ABCD是其轴截面,AD=DC=BC=AB,过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF,若点A到平面CEF的距离是,则圆台的体积等于　　　　.  11.已知三棱锥P-ABC的棱AP,AB,AC两两互相垂直,AP=AB=AC=2,以顶点P为球心,4为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧,则最长弧的弧长等于　　　　.  12.(2025·宜昌调研)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,M为底面三角形斜边BC上一点,且·=0,AC=AA1=1,P为线段BC1上一动点,则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $