2025-2026学年人教版数学七年级上册寒假巩固作业13绝对值相关的七大题型

寒假巩固作业13绝对值相关的七大题型 目录 题型一、求绝对值 1 题型二、绝对值几何意义 1 题型三、绝对值化简 2 题型四、绝对值非负性 2 题型五、绝对值方程 3 题型六、绝对值应用 3 题型七、绝对值的动点问题 5 题型一、求绝对值 1．下列各数中，绝对值最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 2．比较大小： ．（填“”“”或“”） 3．若是最大的负整数，，则的值为 ． 4．已知：，，求：的值． 5．绝对值大于1且不大于4的所有负整数的和是 ． 题型二、绝对值几何意义 6．如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示5的点重合． (1)求折痕与数轴交点表示的数； (2)若表示的点与表示x的点重合，求x的值； (3)若折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为10，求A、B两点表示的数． 8．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 9．若a，b互为相反数，且a，b均不为0，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度． (1)的值为______； (2)求的值． 10．若，，且，则的值为 ． 题型三、绝对值化简 11．已知在数轴上的对应点如图所示，则 . 12．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简的结果为（   ） A．0 B． C． D． 13．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 14．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简 ． 15．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，有下列五个结论： ①；②；③；④；⑤化简的结果是． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤ 题型四、绝对值非负性 16．已知，则的值为 ． 17．已知是有理数，若，则 ． 18．如果，那么代数式的值为（        ） A． B．2005 C． D．1 19．若，为有理数，且，则的值为 ． 20．如图在数轴上点表示数，点表示数，，满足； (1)点表示的数为______；点表示的数为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数． 题型五、绝对值方程 21．将一个刻度尺放在数轴上（数轴上的单位长度是），使刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和x，那么x对应的值可能是（    ） A．5 B．8 C． D．5或 22．如图，已知数轴上点P从A点出发，以每秒2个单位长度向右运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度向左运动．如果P、Q两点同时出发，那么时间t为 秒时，． 23．若数轴上表示的点与表示x的点之间的距离为3，则x表示的数为（   ） A． B．或 C． D．2或 24．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 25．若，则 ． 题型六、绝对值应用 26．2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产8K超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况 (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 27．某市“佛手山药”闻名遐迩，某农户采摘了一批佛手山药，以每箱为标准质量，超过标准质量的千克数记作正数，不足的记作负数，称重后的记录（单位：）如下表： 箱号 1 2 3 4 5 6 7 8 称重（） 0.8 1.2 0.5 1.1 (1)这8箱佛手山药中质量最多的是第___________箱，质量最少的是第___________箱； (2)第___________箱佛手山药的质量最接近标准质量； (3)这8箱佛手山药一共多少千克？ 28．2024年7月27日，巴黎奥运会射击混合团体10米气步枪金牌赛中，中国组合黄雨婷/盛李豪夺得冠军，为中国队拿下巴黎奥运会首枚金牌．其中盛李豪前10枪的成绩以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则盛李豪的成绩可表示为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0 请根据上述数据，回答下列问题： (1)盛李豪这10枪的发挥存在一定的波动，最高环数与最低环数相差多少环？ (2)盛李豪这10枪的总成绩是多少环？ (3)这10枪中，哪一枪的成绩最接近基准环数？请通过绝对值的知识点说明理由． 29．某值日生从教室前门门口出发，沿教学楼走廊（东西向）进行卫生检查，约定向东方向为正方向，当天的行走记录（单位：米）如下： ，，，，，，，． 假设该值日生每次行走均为单向直线行走，根据记录完成以下问题： (1)该值日生最终停在教室前门门口的哪个方向？与教室前门门口相距多少米？ (2)该值日生这次卫生检查共行走了多少米？ (3)在行走过程中，该值日生离教室前门门口的最远距离是多少米？请写出计算过程． 30．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从地出发，晚上到达地，当天航行记录如下：(单位：千米)：，，，，，，，，问： (1)地在地何方，相距多少千米？ (2)若船行驶每千米耗油.升，则这天共耗油多少升？ 题型七、绝对值的动点问题 31．先阅读，结合数轴与绝对值的知识解答下列问题： 【阅读】：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是，3和1，两动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿匀速运动，到达点B时停止；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿匀速运动，到达点B时停止，设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P到达点B时，求点Q所表示的数； (2)当时，求线段的长度； (3)当运动时间为t时，用含t的式子表示点P和点Q之间的距离． 32．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是______； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为______； (3)如图2，A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点F是A和B的幸福中心，则点F表示的数为______； ②若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过______秒时，点R是P和Q的幸福中心； ③若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，存在一个常数m，使得为定值，请求出m的值． 33．定义：已知为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的倍，则称点C是 的倍点；若点C到点B的距离是它到点A的距离的倍，则称点C是的n倍点． (1)在图1中，的2倍点是点___________， 的3倍点是点___________；（填写A或B或C或D）； (2)如图2，E、F、G为数轴上的点，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是，求的长（用含的式子表示）．直接写出的最小值； (3)在（2）的条件下，点是的5倍点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，动点从点出发沿数轴向左运动，设动点的运动速度为每秒v个单位长度，当点是的2倍点时，点恰好是 的4倍点，请直接写出的值． 34．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如：6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离，这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x． 【探究发现】如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，3，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是5． (1)【解决问题】 ①若，求x的值； ②代数式的最小值为______； (2)【合理建模】若点M、N为数轴上的两个动点，点M以每秒0.2个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 35．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且点A与点B的距离为24． (1)写出数轴上点B表示的数． (2) 表示6与2之差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则 ； ②的最小值为 ． (3)动点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，当 ，点A，P两点之间的距离为2． (4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒3个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以每秒5个单位速度，沿数轴匀速运动，设运动时间为秒．当P，Q之间的距离为4时，则t的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业13绝对值相关的七大题型 1．下列各数中，绝对值最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查计算绝对值，熟记绝对值运算及比较大小是解决问题的关键． 计算选项各数的绝对值并比较大小，选择最小的绝对值对应的数． 【详解】解：，，，， 则， ∴绝对值最小的数是， 故选：B． 2．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，先计算和 的具体数值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴． 故答案为：． 3．若是最大的负整数，，则的值为 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值的化简，代数式求值．根据题意得，，分别代入，计算即可求解． 【详解】解：∵是最大的负整数， ∴， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或4． 4．已知：，，求：的值． 【答案】13或3或或 【分析】本题主要考查绝对值的意义，有理数的加法运算及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义，有理数的加法运算及代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由，可知：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：的值为13或3或或． 5．绝对值大于1且不大于4的所有负整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较，有理数的加法运算，先判断绝对值大于1且不大于4的所有负整数为：，，，再列式计算即可． 【详解】解：绝对值大于1且不大于4的负整数有，，，它们的和为． 故答案为：． 6．如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，掌握知识点是解题的关键．由结合数轴可知同号或异号，分两种情况根据有理数的运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴同号或异号， 当同号时，， ∴，，，与不能判断大小关系， 当异号时，，且， ∴，，，与不能判断， 综上，正确， 故选：B． 7．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示5的点重合． (1)求折痕与数轴交点表示的数； (2)若表示的点与表示x的点重合，求x的值； (3)若折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为10，求A、B两点表示的数． 【答案】(1)2 (2) (3)A、B表示的数为和7或A、B表示的数为7和 【分析】本题考查了折叠数轴．熟练掌握轴对称的性质，使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． （1）表示的点与表示5的点重合，根据折痕为两点的中点求解即可； （2）根据表示的点与表示x的点重合，则和x关于2对称，求解即可； （3）根据数轴上A、B两点之间的距离为10，则两个点分别距离中点是5，分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵折痕是和5的中点， ∴， 故折痕表示的数为2． （2）解：∵表示的点与表示x的点重合， ∴和x关于2对称， ∴， 解得． （3）解：设A表示的数为a，B表示的数为b， ∵数轴上有A、B两点重合，且A、B两点之间的距离为10， ∴A、B两点分别到中点2的距离是， 当时，， 当时，， 故A、B表示的数为和7或A、B表示的数为7和． 8．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用数轴比较大小即可解答； （2）由数轴可得，，且，再利用有理数的加法、减法法则即可解答； （3）由数轴可知，，从而确定a、b的值，再根据相反数和倒数的定义得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，，， ∴，， 故答案为：；； （3）解：由数轴得，，， 又∵，， ∴，， ∵c、d互为相反数，m、n互为倒数， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．若a，b互为相反数，且a，b均不为0，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度． (1)的值为______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数的概念和有理数除法的计算法则即可解答； （2）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：a，b互为相反数，且a，b均不为0， ， 故答案为：； （2）解：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度， ， ， ． 10．若，，且，则的值为 ． 【答案】1或5 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义，有理数的加减法运算，根据绝对值的定义和有理数的加法运算法则可确定a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：1或5． 11．已知在数轴上的对应点如图所示，则 . 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减法．由数轴确定，它们的符号，化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可知：，， 由得，则， 由得，则， 则 ． 故答案为：． 12．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简的结果为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，，在数轴上的位置得到，，，且，去绝对值后由整式加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且， 则，，，且， ， 故选：B． 【点睛】本题考查由数轴上点的位置判断代数式符号、相反数定义、化简绝对值、整式加减运算等知识，熟练掌握相关代数知识是解决问题的关键． 13．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 14．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的化简，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察数轴可得，且，从而得到，再根据绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴ ． 故答案为： 15．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，有下列五个结论： ①；②；③；④；⑤化简的结果是． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、有理数的运算、绝对值的化简、整式的加减运算，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键．由数轴可得，，，再对每个结论逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，，故②正确； ∴，，，，故③正确，①④错误； ∴ ，故⑤正确； ∴综上所述，其中正确的是②③⑤． 故选：B． 16．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项为零，从而求出和的值． 【详解】解： ，，且， 且， 由，得，即， 由，得，即， ； 故答案为． 17．已知是有理数，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查非负数的性质，利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零则每个项必须为零，从而求解出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：9． 18．如果，那么代数式的值为（        ） A． B．2005 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及乘方的性质，代数式求值．根据非负性求出和的值，然后代入计算． 【详解】解：∵，且，， 且， ，， ，， ， ， 故选：C． 19．若，为有理数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，已知字母的值，求代数式的值． 根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 20．如图在数轴上点表示数，点表示数，，满足； (1)点表示的数为______；点表示的数为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）直接根据绝对值的非负性作答即可； （2）分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵A点表示数a，B点表示数b， ∴点A表示的数为，点B表示的数为． 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为， 当点在、之间时， ，， ∵， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， ，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，点表示的数为或． 21．将一个刻度尺放在数轴上（数轴上的单位长度是），使刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和x，那么x对应的值可能是（    ） A．5 B．8 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，解绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据刻度尺上两点对应数轴上的点，利用数轴上两点间的距离公式求解． 【详解】解：∵刻度尺上“”对应数轴上的，“”对应数轴上的x，且刻度尺上到的距离为，数轴单位长度为， ∴数轴上从到x的距离为8个单位长度，即， ∴， ∴或， ∴或， 故x对应的值可能是5或． 故选：D． 22．如图，已知数轴上点P从A点出发，以每秒2个单位长度向右运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度向左运动．如果P、Q两点同时出发，那么时间t为 秒时，． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意，可知此时点P表示的数为，点Q表示的数为，那么，，然后列出方程，解出答案即可． 【详解】解：∵数轴上点P从A点出发，以每秒2个单位长度向右运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度向左运动，P、Q两点同时出发，运动时间为， ∴此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 23．若数轴上表示的点与表示x的点之间的距离为3，则x表示的数为（   ） A． B．或 C． D．2或 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，数轴上两点之间的距离的公式：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 利用数轴上两点距离公式建立方程，通过解绝对值方程求解x的值． 【详解】解：∵数轴上点与点x的距离为3， ∴， ∴或， 当时，解得； 当时，解得， ∴表示的数为2或． 故选：D． 24．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程定义，熟记一元一次方程定义是解决问题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 由得或， 由得， ， 故答案为：． 25．若，则 ． 【答案】或6 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的意义，方程可化为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或6． 故答案为：或6． 26．2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产8K超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况 (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 【答案】(1)在天安门广场中轴线西侧7米处 (2)353米 【分析】（1）计算滑行距离的和，正表示向东，负表示向西，0表示回到原来位置解答即可； （2） 计算变化量的绝对值即可． 本题考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （米） 答：在天安门广场中轴线西侧7米处． （2）解： （米） 答：这台摄像机八次滑行总距离是353米． 27．某市“佛手山药”闻名遐迩，某农户采摘了一批佛手山药，以每箱为标准质量，超过标准质量的千克数记作正数，不足的记作负数，称重后的记录（单位：）如下表： 箱号 1 2 3 4 5 6 7 8 称重（） 0.8 1.2 0.5 1.1 (1)这8箱佛手山药中质量最多的是第___________箱，质量最少的是第___________箱； (2)第___________箱佛手山药的质量最接近标准质量； (3)这8箱佛手山药一共多少千克？ 【答案】(1)3，6 (2)2 (3) 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键； （1）先计算出每箱佛手山药的质量，再根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据绝对值的意义，可得答案； （3）根据有理数混合运算，可得答案； 【详解】（1）解：根据题意可得：第箱的质量为； 第箱的质量为； 第箱的质量为； 第箱的质量为； 第箱的质量为； 第箱的质量为； 第箱的质量为； 第箱的质量为； 可知，； 则这箱子佛手山药中质量最多的是第3箱，质量最少的是第箱； 故答案为：3； （2）解：，，，，，，；， 则第箱佛手山药的质量最接近标准质量； 故答案为： （3）解：； 答：这箱佛手山药一共千克； 28．2024年7月27日，巴黎奥运会射击混合团体10米气步枪金牌赛中，中国组合黄雨婷/盛李豪夺得冠军，为中国队拿下巴黎奥运会首枚金牌．其中盛李豪前10枪的成绩以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则盛李豪的成绩可表示为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0 请根据上述数据，回答下列问题： (1)盛李豪这10枪的发挥存在一定的波动，最高环数与最低环数相差多少环？ (2)盛李豪这10枪的总成绩是多少环？ (3)这10枪中，哪一枪的成绩最接近基准环数？请通过绝对值的知识点说明理由． 【答案】(1)环 (2)环 (3)第⑩枪的成绩最接近基准环数，理由见解析 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，绝对值的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较出这10枪的相对环数的大小，可确定最高环数和最低环数，进而可得答案； （2）求出10枪的标准环数之和，再加上这10枪的相对环数即可得到答案； （3）求出这10枪的相对环数的绝对值，绝对值越小，则越接近标准． 【详解】（1）解：∵ ∴第⑦枪的环数最高，第④枪的环数最低， 环， 答：最高环数与最低环数相差环； （2）解： 环， 答：盛李豪这10枪的总成绩是环； （3）解：第⑩枪的成绩最接近基准环数，理由如下： 由题意可得这10枪的相对环数的绝对值分别为，，0， ∵， ∴第⑩枪的成绩最接近基准环数． 29．某值日生从教室前门门口出发，沿教学楼走廊（东西向）进行卫生检查，约定向东方向为正方向，当天的行走记录（单位：米）如下： ，，，，，，，． 假设该值日生每次行走均为单向直线行走，根据记录完成以下问题： (1)该值日生最终停在教室前门门口的哪个方向？与教室前门门口相距多少米？ (2)该值日生这次卫生检查共行走了多少米？ (3)在行走过程中，该值日生离教室前门门口的最远距离是多少米？请写出计算过程． 【答案】(1)东方向，1米 (2)79米 (3)18米，过程见详解 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数加法运算的应用、绝对值的应用等知识， （1）结合正负数的意义、有理数加法运算法则求解即可； （2）将当天的行走记录数据的绝对值相加，即可获得答案； （3）计算当天每次行走后的位置数据，比较大小即可获得答案． 【详解】（1）解：， 答：该值日生最终停在教室前门门口的东方向，与教室前门门口相距1米； （2） （米）， 答：该值日生这次卫生检查共行走了79米； （3）第1次行走结束：（米）， 第2次行走结束：（米）， 第3次行走结束：（米）， 第4次行走结束：（米）， 第5次行走结束：（米）， 第6次行走结束：（米）， 第7次行走结束：（米）， 第8次行走结束：（米）， ∵， ∴在行走过程中，该值日生离教室前门门口的最远距离是18米． 30．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从地出发，晚上到达地，当天航行记录如下：(单位：千米)：，，，，，，，，问： (1)地在地何方，相距多少千米？ (2)若船行驶每千米耗油.升，则这天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的正东方，相距千米 (2)这天共耗油升 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的实际应用． （1）通过将所有航行记录的数值相加，根据结果的正负判断方向，绝对值判断距离； （2）通过计算所有航行记录数值的绝对值之和得到总路程，再结合单位耗油量求出总耗油量． 【详解】（1）解：计算所有航行记录的和：， ∵约定向东为正，结果为正， ∴地在地的正东方向，相距千米； （2）解：∵船行驶的总路程为所有航行记录数值的绝对值之和， ∴总路程为(千米)， ∵每千米耗油升， ∴总耗油量为(升)． 31．先阅读，结合数轴与绝对值的知识解答下列问题： 【阅读】：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是，3和1，两动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿匀速运动，到达点B时停止；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿匀速运动，到达点B时停止，设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P到达点B时，求点Q所表示的数； (2)当时，求线段的长度； (3)当运动时间为t时，用含t的式子表示点P和点Q之间的距离． 【答案】(1)点Q所表示的数为3 (2)线段的长度为2 (3) 【分析】本题主要考查数轴上点的位置表示、绝对值的几何意义、动点问题，充分理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）首先计算点P运动到点B的运动时间，从而得到此时点Q的运动距离，即可求解点Q所表示的数； （2）利用时求解点P的位置和点Q的位置，即可计算线段的长度； （3）首先根据（1）可得点P运动到点B时，点Q也运动到点B，从而计算当时，线段的长度；当时，线段的长度；即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上表示的数分别是，3， ∴， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿匀速运动， ∴点P运动到点B的运动时间为， ∵动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿匀速运动， ∴当时，， ∴此时点Q所表示的数为； （2）解：当时，点P的位置为：， 点Q的位置为：， ∴线段的长度为， ∴线段的长度为2． （3）解：当时，点P的位置为：，点Q的位置为：， ∴P、Q两点之间的距离为， ∴当时，； 由（1）可得：点P运动到点B时，点Q也运动到点B， ∴P、Q两点之间的距离为， ∴当时，； ∴． 32．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是______； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为______； (3)如图2，A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点F是A和B的幸福中心，则点F表示的数为______； ②若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过______秒时，点R是P和Q的幸福中心； ③若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，存在一个常数m，使得为定值，请求出m的值． 【答案】(1)或1 (2)7 (3)①a的值为或；②或；③当时，的值为定值30 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，正确理解幸福中心和幸福点的定义，根据数轴上两点距离公式进行求解是解题的关键． （1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设F表示的数为a，由点F是A和B的幸福中心，得到， 分类讨论：当时，当时，当时，逐项分析求解即可； ②设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；③设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【详解】（1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设F表示的数为a ∵点F是A和B的幸福中心， ∴， 即， 当时， ， 解得， 当时， ， ，不成立，舍去； 当时， ， ， ∴a的值为或． ②设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ③设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 33．定义：已知为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的倍，则称点C是 的倍点；若点C到点B的距离是它到点A的距离的倍，则称点C是的n倍点． (1)在图1中，的2倍点是点___________， 的3倍点是点___________；（填写A或B或C或D）； (2)如图2，E、F、G为数轴上的点，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是，求的长（用含的式子表示）．直接写出的最小值； (3)在（2）的条件下，点是的5倍点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，动点从点出发沿数轴向左运动，设动点的运动速度为每秒v个单位长度，当点是的2倍点时，点恰好是 的4倍点，请直接写出的值． 【答案】(1)C，A； (2)当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，；的最小值为6； (3)2或或3或5； 【分析】本题考查了倍点的定义，数轴上两点间的距离，数轴的动点问题，难度较大，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据若点C到点A的距离是它到点B的距离的倍，则称点C是 的倍点；若点C到点B的距离是它到点A的距离的倍，则称点C是的n倍点，即可求解； （2）①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时；分类讨论即可求解； （3）根据点是的5倍点求出的值，再分情况讨论点是的2倍点时的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， ∴， ∴的2倍点是点C；的3倍点是点A， 故答案为：C，A； （2）解：①当点在线段上时，则； ②当点在线段的延长线上时，则； ③当点在线段的延长线上时； ∴的最小值为6； （3）解：∵点是 的5倍点，如图； ∴，则，即， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴的值为或， 当点是的2倍点时，，如图； 设点的运动时间为，则点表示的数为 ∴，即， 当点在线段延长线上时，时，解得（时间不为负，舍去）， 当点在线段上时，时，解得， ∴点运动时间为2秒时，点是的2倍点， ∴点运动时间为2秒， ∴点表示的数为 ∵点恰好是 的4倍点， ∴， 如图，当点在线段上时，则或 ①，解得， ②，解得， 如图，当点在线段上延长线时，则或 ③，解得， ④，解得， 综上所述，当点是的2倍点时，点恰好是的4倍点，此时的值为2或或3或5. 34．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如：6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离，这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x． 【探究发现】如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，3，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是5． (1)【解决问题】 ①若，求x的值； ②代数式的最小值为______； (2)【合理建模】若点M、N为数轴上的两个动点，点M以每秒0.2个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 【答案】(1)①，；②9 (2)5秒或7.5秒 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解题意中绝对值的几何意义是解题关键． （1）①根据几何意义，去绝对值括号，求解即可； ②根据题干中找最小值的方法，进行计算即可； （2）根据题意，设时间为t，分为相遇前和相遇后两种情况，用含t的式子表示两点之间的距离，求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，． ②如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，4，x， ∵的几何意义是线段与的长度之和， 当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，． ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值是9． 故答案为：9． （2）解：由题可知，， 设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度， 若为相遇前，则由题意，得，解得， 若为相遇后，则由题意，得，解得． 答：综上可知，经过5秒或7.5秒时，点M与点N相距1个单位长度． 35．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且点A与点B的距离为24． (1)写出数轴上点B表示的数． (2) 表示6与2之差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则 ； ②的最小值为 ． (3)动点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，当 ，点A，P两点之间的距离为2． (4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒3个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以每秒5个单位速度，沿数轴匀速运动，设运动时间为秒．当P，Q之间的距离为4时，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)①10或2；②16 (3)2或 (4)或或或 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解． （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解； （4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4，根据距离的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：点B表示的数． 故答案为：； （2）解：①， ， 则或2． 故答案为：10或2； ②的几何意义是数轴上表示有理数的点和表示的点与表示有理数x的点之间的距离之和． ∴当时有最小值，表示的最小值为． 故答案为：16； （3）解：设经过秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是， A，P之间的距离为， 解得或． 故当t为2或时，A，P两点之间的距离为2． 故答案为：2或； （4）解：∵动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒3个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以5个单位速度，沿数轴匀速运动，O，B两点之间的距离，Q点速度比点P速度大， ∴当P，Q之间的距离为4时，、两点相向而行或者都向右运动； 运动时间为秒． 当点P，Q都向右运动时，此时点表示的数是，点表示的数是，P，Q之间的距离为， ， ， 解得或； 当、两点相向而行，即点向左运动、点向右运动时，此时点表示的数是，点表示的数是，P，Q之间的距离为， ， ， 解得或； 综上所述，当P，Q之间的距离为4时，则t的值为 或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $