6.5.2 平面与平面垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.2 平面与平面垂直 1 【学习目标】 1.了解二面角及其平面角的概念,并掌握二面角的平面角的一般 作法,会求简单的二面角的平面角. 2、掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理.（重点） 3、能利用两个定理解决简单的证明问题.（难点） 2 情景与问题 思考1：如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，（1）观察电脑的打开过程，可以抽象出什么几何图形？ （2）观察抽象出的几何图形，它由哪些几何元素构成？ 平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都称为半平面． 定义：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。 1.半平面： 2.二面角： 记法：①二面角α-AB-β； ②二面角P-AB-Q； ③二面角α-l-β或P-l-Q. 思考：如何刻画二面角的大小呢？ 如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”， 是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画 二面角的大小呢？ 平面角 二面角 转化 （降维） 如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足， 在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线 和构成的叫做二面角的平面角. 3、二面角的平面角 注：(1)角的顶点在棱上； (2)角的两边分别在两个面内； (3)角的边都要垂直于二面角的棱. 1. 二面角的大小可以用它的平面角来度量， 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 2. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 3. 二面角的平面角的取值范围是 平面几何 立体几何 转化 （降维） 解: 连接D'A和C'B， 由已知,有AB⊥面ADD'A'， ∴AD'⊥AB，AD⊥AB， ∴∠D'AD即为二面角D'-AB-D的平面角. ∵△D'AD是等腰直角三角形， ∴∠D'AD=45°， ∴二面角D'-AB-D的大小为45°. 例1 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求二面角D'-AB-D的大小. 探究点一 求二面角的大小 练习1 在正方体中，过，， 三点作一个 平面，则二面角 的正切值为( ) A. B. C. D. √ 9 ［素养小结］ 求二面角大小的一般步骤： 一作 二证 三求 10 练习2 已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A⊄α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°, ∠ACO=45°,则二面角A-BC-O的大小为________.  练习3 在空间一点分别向二面角 的两个半平面 ， 所 在平面作垂线，，，分别为垂足，若 ，则二面 角 的平面角的大小是( ) A. B. C. 或 D.不确定 √ 12 同理，当点在二面角 外时，如图②， 此时为二面角 的平面角，且它与 相等. 因为 ， 所以二面角 的平面角的大小为 或 ，故选C. 13 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 4、面面垂直的性质定理 例4 如图,在四棱锥中,底面 是矩形, 点是棱的中点.若,且平面 平面 ,求证: 平面 . 探究点二 面面垂直的性质定理的应用 15 变式 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为 的菱 形，且 ，侧面为正三角形，平面 平面 ，为 的中点. （1）求证： 平面 ； 16 （2）求证： . 变式 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为 的菱 形，且 ，侧面为正三角形，平面 平面 ，为 的中点. 17 5、面面垂直的定义 (1) 定义:两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直，记作：____ (2) 画法: 画两个互相垂直的平面时，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图 _________________________________________________________________________ 6、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直. 线面垂直 面面垂直. 探究点三 面面垂直判定定理的应用 例2 [2024·广西柳州高一期中] 如图， 为圆锥顶点，为圆锥的底面圆心， ，， 均在圆锥的底面圆周上，且 为等边三角形. 求证：平面 平面 . 21 拓展 [2023·安徽合肥高一期中] 如图①，在矩形 中， ，为的中点.将沿折起，使得平面 平面，连接,,得到四棱锥，如图②，点 是 的中点.在图②中求证： （1）平面 平面 ； （2） . 22 （1）平面 平面 ； 证明：在矩形中，，为的中点， 在四棱锥中， ， 又是的中点， . 平面 平面，平面 平面， 平面， 平面 ， 又 平面， 平面 平面 . 23 （2） . 解：在矩形中，，为 的中点， 在四棱锥中， ， 则， . 由（1）知， 平面 ， 又 平面， . ， 平面， 平面 ， 平面 . 又 平面， . 24 要证明平面与平面垂直， 只需在一个平面内找到另一个平面垂线即可， 进而只需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直即可． 体现了立体几何研究中“降维”的思想 面面垂直 方法总结 线面垂直 转化 线线垂直 转化 练习 如图所示,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD. (1)求证:AE∥平面BCD. (2)求证:平面BDE⊥平面CDE. 【证明】(1)取BC的中点M,连接DM, 因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2.所以DM=1,DM⊥BC. 又因为平面BCD⊥平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC, 所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM. 又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD, 所以AE∥平面BCD. (2)连接AM,由(1)知AE∥DM, 又AE=1,DM=1,所以AE=DM, 所以四边形DMAE是平行四边形,所以DE∥AM. 又△ABC是正三角形,M为BC的中点, 所以AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC, 所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD,BD∩DE=D, 所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE. 例 [2024·广东佛山高一期中] 如图，在四面体中，平面， M是 的中点，若为正三角形，且 ，求二面角 的余弦值. 28 29 1.二面角的理解 （1）二面角的大小与半平面的位置无关,一个二面角的平面角有无数 个,它们的大小是相等的. （2）二面角的平面角必须具备三个条件:①二面角的平面角的顶点 在二面角的棱上;②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半 平面内;③二面角的平面角的两条边都与二面角的棱垂直. （3）二面角的平面角 的取值范围为 .当两个半平面 重合时, ;当两个半平面合成一个平面时, . 30 二面角的平面角的作法: （1）定义法:在二面角的棱上找一个点,在两个半平 面内分别作过该点且垂直于二面角的棱的射线.如图 ①所示,则为二面角 的平面角. （2）垂线法:过二面角的一个半平面内的一点①作另一 个半平面的垂线,②过垂足作二面角的棱的垂线,连接该点与二面角的棱上 的垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图②所示, 为二面角 的平面角. 31 （3）垂面法:过二面角的棱上一点作二面角的棱 的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生 交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 如图③所示,为二面角 的平面角. 32 如果平面 与平面 相互垂直，能得出什么性质呢？ 直二面角 α⊥β 证明：当 时， 与 一定相交， 如图所示，设 过O在平面 内作与 垂直的直线 ，则有 ， 从而可知 与 所成角的大小为 因此 $