6.4.1 生活中的圆周运动（二）导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

6.4.1生活中的圆周运动（二）导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册 学号： 班级： 姓名： 【学习目标】 1. 掌握竖直平面内圆周运动在最高点和最低点的动力学特征． 2. 能区分绳模型和杆模型． 3. 了解航天器中的失重现象． 【活动方案】 公路上的拱形桥是常见的，有些地方由于特殊需要还修建了凹形路面，也叫“过水路面”（指通过平时无水或流水很少的宽浅河流而修筑的在洪水期间容许水流浸过的路面）.甲、乙分别为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作做圆周运动． 甲　　　　　　　　　　　乙 1. 如图甲所示，汽车行驶到拱形桥的桥顶时： (1)在图甲中画出汽车的受力示意图，并写出向心力的表达式． (2)若汽车质量为m，行驶速度为v，桥面的半径为R，则汽车对桥面的压力为多大？汽车处于超重状态还是失重状态？ (3)讨论汽车对桥面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱形桥顶（不脱离桥面）行驶的最大速度是多大？ 2. 如图乙所示，当汽车行驶到凹形路面的最底端时： (1)在图乙中画出汽车的受力示意图，并写出向心力的表达式． (2)若汽车质量为m，行驶速度为v，凹形路面的半径为R，则汽车对路面的压力为多大？汽车处于超重状态还是失重状态？ (3)讨论汽车对路面的压力与车速有什么关系？ 绳模型和杆模型中小球做的都是变速圆周运动，在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力．绳模型和杆模型在最低点的受力特点是一致的；在最高点，杆模型可以提供竖直向上或向下的弹力，而绳模型只能提供竖直向下的拉力． 1．水流星表演与分析． 水流星是一项我国传统民间杂技艺术．如图所示，做水流星表演时，可用绳系着装有水的纸杯，在竖直平面内做圆周运动． (1)尝试进行水流星表演； (2)若水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm，不考虑空气阻力及水杯自身大小的影响，g取 10 m/s2，求： ①水杯运动到最高点时，水不流出的最小速率； ②水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小和方向． 2. 如图所示，长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg 的小球．在(1)(2)两种情况下，求通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．（g取10 m/s2） (1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s； (3)球在最高点的速度满足什么条件时杆相当于轻绳？（只有拉力） 3. 对比两类模型，完成表格． 轻绳模型 轻杆模型 图示 （均是没有支撑的小球） （均是有支撑的小球） 最高点的受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 过最高点的速度临界条件 在最高点的FN-v2图像（取竖直向下为正方向） 地球本身可以看作是一个巨大的拱形桥，桥面的半径也就是地球半径，约为6 400 km.（g取10 m/s2） 1. 如图所示，当汽车以多大的速度在地球表面行驶时可以使得汽车对地面的压力为零？ 2. 此时，驾驶员与座椅间的压力为多大？驾驶员处于什么状态？ 3. 事实上，绕地球做匀速圆周运动的航天器就类似于这样的汽车．其中的航天员受到的地球对他的引力恰好提供他随航天器绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，座舱对航天员的支持力为零，此时航天员处于完全失重状态． 如图所示，在环绕地球做匀速圆周飞行的飞船实验舱内，下列实验可以正常进行的是(　　) A. 用天平测物体质量　 B. 用弹簧测力计测物体的重力 C. 平抛运动实验　 D. 用电子手表记录时间 【检测反馈】 1. 在天宫二号中工作的景海鹏和陈冬可以自由悬浮在空中，处于失重状态，下列分析正确的是(　　) A. 失重就是航天员不受力的作用 B. 失重的原因是航天器离地球太远，从而摆脱了地球引力的束缚 C. 失重是航天器独有的现象，在地球上不可能存在失重现象 D. 正是由于引力的存在，才使航天员有可能做环绕地球的圆周运动 2. 一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的 ，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为(　　) A. 15 m/s　 B. 20 m/s　 C. 25 m/s　 D. 30 m/s 3. 将过山车经过两段弯曲轨道过程等效简化成如图所示两个圆周的一部分(rA<rB)，A、B分别为轨道的最低点和最高点，过山车与轨道的动摩擦因数处处相等，则过山车(　　) A. 在A点时合外力方向竖直向上　 B. 在B点时合外力方向竖直向下 C. 在A点时所受摩擦力较大　 D. 在B点时所受向心力较大 （第3题） （第4题） （第5题） 4. 如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是(　　) A. 向心力为mg＋ B. 受到的摩擦力为 C. 受到的摩擦力为μ D. 受到的合力方向斜向右上方 5. 如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，重力加速度为g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　) A. B. 2　　C. D. 6. 如图所示，小球在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是(　　) A. 小球通过最高点时的最小速度是 B. 小球通过最高点时的最小速度为零 C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 7. 如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是(　　) 甲 乙 A. 数据a与小球的质量有关 B. 数据b与小球的质量无关 C. 比值 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D. 利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 8. 如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN-v2图像如图乙所示．下列说法正确的是(　　) 甲 乙 A. 当地的重力加速度大小为 B. 小球的质量为 R C. v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D. 若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 9. 飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r＝180 m的圆周运动，如果飞行员质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力为多大？（g取10 m/s2） 10. 如图所示，一轻质杆长为1.2 m，A端连接有质量m＝6 kg的小球．B端处为转轴，转轴离开地面的高度为h＝3.8 m，装置在竖直平面内匀速转动的周期为12 s．取π2＝10，g取10 m/s2. (1)小球运动到最高点时受到的支持力为多大？ (2)若小球在最高点A失去装置的约束而直接飞出，求落地点到转轴B正下方的水平距离．（结果保留两位有效数字） 11. 某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为 ，重力加速度为g，忽略空气阻力． (1)绳能承受的最大拉力是多少？ (2)保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？ 12. 如图所示是场地自行车比赛的圆形赛道．路面与水平面的夹角为15°，sin 15°＝0.259，cos 15°＝0.966，不考虑空气阻力，g取10 m/s2. (1)某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60 m，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少？ (2)若该运动员骑自行车以18 m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100 kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少？方向如何？ 【参考答案】 【活动方案】 活动一： 1. (1)如图所示，Fn＝mg－FN. (2)mg－FN＝m，根据牛顿第三定律，F′N＝FN＝mg－m.由于F′N＜mg，汽车处于失重状态． (3)根据F′N＝mg－m 可知，车速越大，则汽车对桥面的压力越小．当汽车对桥面的压力为零时，所对应的车速即为汽车安全过拱形桥的最大速度，有mg＝m ，所以vm＝. 2. (1)如图所示，Fn＝FN－mg. (2)FN－mg＝m，根据牛顿第三定律，F′N＝FN＝m＋mg.由于F′N＞mg，汽车处于超重状态． (3)根据F′N＝m＋mg可知，车速越大，汽车对路面的压力越大． 活动二： 1. (2)① m/s　②2.5 N　方向竖直向上 2. (1)小球在最高点的受力如图所示． 杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s. 由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2， 小球所受杆的作用力 F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N≈138 N， 即杆对小球提供了138 N的拉力． 由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上． (2)杆的转速为0.5 r/s时， ω′＝2π·n＝π rad/s. 同理可得小球所受杆的作用力 F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N≈－10 N. 力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，由牛顿第三定律知小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下． (3)mg＝m，v＝＝ m/s， 当v≥ m/s时杆只有拉力． 3. 轻绳模型 轻杆模型 过最高点的速度临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0 在最高点的FN-v2图像(取竖直向下为正方向) 活动三： 1. 当汽车对地面的压力为零时，汽车就只受重力作用，由重力提供向心力，有mg＝m，得v＝，代入数据解得v＝8 km/s. 2. 驾驶员的运动情况跟汽车相同，也在绕地球做匀速圆周运动，假设座椅对他的作用力为FN，则m′g－FN＝m′，由于v＝，解得FN＝0，即驾驶员与座椅之间无作用力，驾驶员处于完全失重状态． 3. D　绕地球做匀速圆周运动的飞船及船内物体处于完全失重状态，所以物体对天平的压力为零，因而测不出其质量，故A无法正常进行．准确地说处于完全失重状态下，与重力相关的物理实验都将失败，故B、C均无法正常进行．电子表记录时间与重力无关，故D可以正常进行． 【检测反馈】 1. D　航天器和航天员在太空中受到的引力提供向心力，使航天器和航天员做环绕地球的圆周运动，故A错误，D正确；失重时航天员仍然受到地球引力作用，故B错误；失重是普遍现象，任何物体只要有竖直向下的加速度，就会处于失重状态，故C错误． 2. B　当FN＝G时，因为G－FN＝m，所以G＝m，当FN＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s.B正确． 3. C　过山车在经过A、B两点过程不是匀速圆周运动，则其合外力并不指向圆心，则A、B均错误；由于A点速度大于B点速度，在A点有NA－mg＝m，则A点对轨道压力为NA＝mg＋m，同理可得在B点对轨道压力为NB＝m－mg，则NA>NB，则由摩擦力f＝μN，故C正确；半径rA<rB，则由向心力Fn＝m可得，A点向心力较大，则D错误． 4. C　根据牛顿第二定律可知，在最低点F向＝m，N－mg＝F向，f＝μN，解得f＝μ(mg＋m)，所以A、B错误，C正确；物体所受摩擦力方向向左，竖直方向的合力方向竖直向上，所以受到的合力方向斜向左上方，所以D错误． 5. C　小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，C正确． 6. B　因为小球做圆周运动的轨道为圆形管道，故通过最高点时的最小速度可以为零．圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，外侧管壁对小球一定有作用力，小球在水平线ab以上运动时，外侧管壁对小球的作用力可以为零，故B正确，A、C、D错误． 7. D　当v2＝a时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有mg＝m，解得v2＝gr即a＝gr，故与物体的质量无关，A错误；当v2＝2a时，对物体受力分析，则有mg＋b＝m，解得b＝mg，故与小球的质量有关，B错误；根据以上分析可知比值＝，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C错误；由a＝gr可求得r＝，由b＝mg可求得m＝，D正确． 8. B　通过图像分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m，g＝，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝＝R，B正确；当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b时，杆对小球的弹力方向竖直向下，C错误；若v2＝2b时，mg＋FN＝m，解得FN＝mg＝a，方向竖直向下，D错误． 9. 飞机经过最低点时，v＝360 km/h＝100 m/s.对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力G和座椅的支持力FN两个力的作用，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，所以FN＝mg＋m＝70×10 N＋70× N≈4 589 N，由牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为 4 589 N. 10. (1)最高点，合力提供向心力得 mg－FN＝mω2r＝mr， 解得FN＝58 N． (2)小球的速度为v＝r， 由平抛规律得h＋r＝gt2，x＝vt， 联立解得x＝0.63 m． 11. (1)已知手与球之间的绳长为，平抛的水平位移为d，设小球在最低点时绳能承受的最大拉力为Fmax，根据向心力公式和平抛运动规律，有Fmax－mg＝，d＝vt，d－＝gt2.由此解得Fmax＝mg. (2)如图所示，设手与球之间的绳长为r，平抛的水平位移为x，由(1)可知绳能承受的最大拉力为Fmax＝mg，根据向心力公式和平抛运动规律，有Fmax－mg＝，x＝vt，d－r＝gt2，由此解得Fmax＝mg＋mg.当Fmax＝mg时，代入上式有x2＝r(d－r)，则当r＝ 时，xmax＝. 12. (1)自行车恰好不受摩擦力时，运动员和自行车所受重力及赛道支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg tan 15°＝m，解得v0＝＝12.7 m/s. (2)运动员骑自行车以v1＝18 m/s做匀速圆周运动时，因v1>v0，故赛道给自行车的静摩擦力Ff沿斜面向下，受力分析如图所示． 在x轴方向由牛顿第二定律可知Ff＋mg sin 15°＝max.将自行车水平加速度沿x轴分解得ax＝a cos 15°，再根据向心加速度公式a＝，联立解得a＝5.4 m/s2，ax＝5.22 m/s2，Ff＝263 N． 摩擦力方向沿着倾斜路面指向内侧． 学科网（北京）股份有限公司 $