5.2.2 小船过河与关联速度模型 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案聚焦小船过河与关联速度模型，通过问题链引导学生思考渡河条件、分运动等，衔接运动的合成与分解知识，搭建从基础概念到实际问题的学习支架。 以问题驱动探究，构建小船过河、绳杆关联等模型，培养科学思维与科学探究能力，检测题分层设计且答案详尽，助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

5.2.2 小船过河与关联速度模型 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册 学号： 班级： 姓名： 【学习目标】 1. 会求解小船过河模型问题． 2. 知道常见的绳关联模型和杆关联模型的解法，会求解关联速度模型问题． 【活动方案】 如图所示，一小船要渡过宽为d的河，已知水流速度(与河岸平行)为v水，船在静水中的航速(沿船头的方向)为v船，思考： 1. 若仅有水流速度，小船不开动，小船能过河吗？ 2. 渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ 3. 小船如何渡河时间最短？最短时间tmin为多少？此时渡河位移为多大？ 4. 小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移xmin为多大？ 总结：小船渡河时间的长短与水流速度无关，小船实际运动的方向由合速度方向决定． 关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但由于绳、杆不可伸长，两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度． 1. 如图所示，岸上的小车以速度v匀速向左运动，轻绳跨过光滑轻质定滑轮和小船相连，某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α.通过观察可以发现，小船与滑轮间的轻绳参与了两种运动：一是绳发生摆动，摆动的速度垂直于绳方向；二是绳发生抽动，抽动的速度方向沿绳的抽动方向． (1)在图上画出小船的速度方向，将小船的速度分解为垂直于绳方向的分速度和沿绳方向的分速度，写出图示位置小船速度与小车速度的关系式． (2)小船是否做匀速运动？为什么？ 拓展1：在图中分别画出极短时间(Δt≈0)内小车和小船的位移x车和x船，写出x车和x船的关系，并根据速度的定义式写出图示位置小船速度与小车速度的关系式． 拓展2：如图所示，光滑水平面上固定两个光滑立柱A和B，两根柔软轻绳对称地跨过两立柱，每根绳的一端系在物体上的O点，另一端施加沿绳方向的等大外力，使物体能沿两绳夹角的角平分线运动．当绳子之间夹角为2α瞬间，绳端速度大小为v，此时物体的速度v物＝________． 注意：(1)力有力的作用效果，运动有运动的效果，二者不要混淆．(2)合成或分解运动时要分清合运动和分运动，物体实际发生的运动是合运动． 2. 如图所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面，当滑到图示位置时(α已知)，B点速度为v，则A点速度是多大？ 总结：(1)分析关联速度模型问题的基本思路． 第一步：先确定合运动，即物体的实际运动； 第二步：将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图； 第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解． (2) 常见的速度分解模型． 情境图示 定量结论 v＝v物cos θ v′物＝v∥＝v物cos θ v∥＝v′∥ 即v物cos θ＝v′物cos α v∥＝v′∥ 即v物cos α＝v′物cos β 3. 一个半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动．在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示．当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小v. 总结：分析面接触模型的基本思路：首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向分解，令两物体沿________方向的速度相等即可求解． 【检测反馈】 1. 已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是(　　) ① ② ③ ④ ⑤ A. ①② B. ①⑤　　 C. ④⑤ D. ②③ 2. 小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是(　　) A. 增大α角，增大船速v　　 B. 减小α角，增大船速v C. 减小α角，保持船速v不变　　D. 增大α角，保持船速v不变 3. 某小船渡河时做匀速直线运动，小船相对于河岸的速度大小为v，方向与河岸的夹角为θ，河宽为d，河水速度恒定，则下列判断正确的是(　　) A. 河水速度大小为v cos θ B. 河水速度大小为v sin θ C. 渡河时间为 D. 渡河时间为 4. 一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸．假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的(　　) A B C D 5. 船在静水中的速度是1 m/s，河岸笔直，河宽d＝100 m，河水靠近岸边的流速为4 m/s，河中间的流速为5 m/s，则下列说法正确的是(　　) A. 船过河的时间不可能等于100 s B. 船过河的航线不可能是直线 C. 船不能到达对岸 D. 因船速小于水速，船不能到达正对岸 6. 如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度大小分别为vB、vA，则(　　) A. vA＝vB B. vA<vB C. 绳子对B的拉力大于B的重力 D. 绳子对B的拉力等于B的重力 7. 如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　) A. 人拉绳行走的速度为v cos θ B. 人拉绳行走的速度为 C. 船的加速度为 D. 船的加速度为 8. 如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为(　　) A. v0sin αcos θ B. C. v0cos αcos θ D. 9. 如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点).将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则(　　) A. v2＝v1 B. v2＝2v1 C. v2＝v1 D. v2＝v1 10. 如图所示，相同的小球A、B静止在水平面上，用长为L的细线连接，细线刚好伸直，O为细线的中点，用竖直向上的力作用在O点，使O点竖直向上运动，当A、B间的距离变为 L时，O点的速度大小为v，则此时A球的速度大小为(　　) A. v　 B. v C. v　 D. v 11. 如图所示，有一小船正在渡河，当离对岸距离d＝50 m时，发现在下游l＝120 m处有一危险区，假设水流速度为v水＝5 m/s，为了使小船不通过危险区到达对岸，小船相对静水的最小速度应为多大？ 12. 如图所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上．现将一个球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在此后运动中当B的速度大小为vB时，A的速度大小为多少？ 【参考答案】 【活动方案】 活动一： 1. 不能． 2. 船相对水的运动v船，它的方向与船头的指向相同；船随水漂流的运动v水，它的方向与河岸平行． 3. 由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝. 4. 情况一：v水<v船 最小位移xmin＝d，此时合速度垂直河岸．船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示．渡河所用时间t＝. 情况二：v水>v船 如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最小位移xmin＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. 活动二： 1. (1)小船速度方向如图所示，由v＝v船cos α，得v船＝. (2)小船不做匀速运动．因为当船向前运动时，α角逐渐增大，所以船速v船逐渐增大． 拓展1：位移如图所示，过船左端点作原轻绳的垂线，由于时间极短，顶角β≈0，三角形的两底角相等约等于90°，得x车＝x船cos α，得v船＝. 拓展2：　解析：把物体的速度分解为沿绳方向和垂直于绳的方向，对左边的绳子来说，画出物体的速度分解图像，如图所示，则v物＝. 2. 由于杆不可伸长，因而杆的两个端点在沿杆方向的速度分量一定相同，即vA sin α＝v cos α，所以vA＝. 3. 由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示． 将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示．二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3， 即v cos θ＝v0sin θ， 解得v＝v0tan θ. 甲 乙 总结：弹力 【检测反馈】 1. C　小船渡河类问题，若要小船在最短时间内渡河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确． 2. A　由题意可知，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．因为合速度方向指向河岸且大小不变，如图所示，可得当水流速度增大时，可增大船速v，同时增大α角，故A正确，B、C、D错误． 3. D　小船相对于河岸的速度方向与河岸的夹角为θ，没有说明是与河岸的上游还是下游的夹角，则无法求得河水的速度，A、B错误；把小船相对于河岸的速度分解为垂直于河岸方向和沿河岸方向，则垂直于河岸方向为v垂＝v sin θ，则渡河时间为t＝，C错误，D正确． 4. C　水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误． 5. D　当船头始终垂直于河岸时，渡河时间t＝＝ s，故A、C错误；船过河时，河水流速的大小在变，只要不断调整船头的方向，就可使船的合速度(即航速)方向保持不变，船过河的航线可能是直线，故B错误；因船速始终小于水速，根据运动的合成与分解可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸或偏向上游，故船不能到达正对岸，故D正确． 6. C　根据运动的分解原理，沿绳方向的速度分量相等，设A端绳与水平方向夹角为θ，则vAcos θ＝vB，vA>vB，故A、B错误；A向左运动，θ减小，vB增加，加速度方向向上，绳子对B的拉力大于B的重力，故C正确，D错误． 7. A　船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝v cos θ，A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此F cos θ－f＝ma，解得a＝，C、D错误． 8. D　将人、物块的速度分别分解，如图所示，人和A沿绳方向的分速度大小相等，可得v0cos α＝v1cos θ，所以v1＝，D正确． 9. C　小球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，由几何关系可知小球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，两球沿杆方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确． 10. A　将O点与小球A的速度分别沿细线与垂直于细线进行分解如图所示，则有v cos 30°＝vAcos 60°，解得vA＝v.故A正确． 11. 当v船与v合方向垂直时所需的船速最小，因而有 ＝， 解得v船＝ m/s＝1.92 m/s. 12. 由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vAcos 30°＝vBsin 30°， 解得vA＝vB. 学科网（北京）股份有限公司 $