4.2 平面 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.2　平面 一、必备知识基础练 1.圆心和圆上任意两点可确定的平面有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或无数个 2.(多选题)给出以下说法,其中正确的有(　　) A.在不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面 D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 3.(2025甘肃兰州高一月考)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且AB∩l=C,则AB∩β=　　　　　.  5.下列说法不正确的是　　　　　.(填序号)  ①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面; ②三条两两垂直的直线共面; ③两两相交直线上的三个点确定一个平面. 6.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　.  7.如图所示,△ABC在平面α外,它的三边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点在同一直线上. 8.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l. (1)画出直线l; (2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长. 二、关键能力提升练 9.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则(　　) A.A,C,O1,D1四点共面 B.D,E,G,F四点共面 C.A,E,F,D1四点共面 D.G,E,O1,O2四点共面 10.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有(　　) A.1条或2条 B.2条或3条 C.1条或3条 D.1条或2条或3条 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体中过点M,N,C1的截面图形是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 12.如图所示的正方体,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是　　　　　.(填序号)  13.如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交 于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线. 三、学科素养创新练 14.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:直线AB,CD,l共点. 参考答案 1.D　若圆心和圆上两点共线,则可确定无数个平面;若三点不共线,则确定一个平面. 2.AD　对于A,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,故A正确; 对于B,如图两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,故B不正确; 对于C,显然不正确; 对于D,过直线与直线外一点可确定一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,故D正确. 故选AD. 3.D　∵直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ, ∴β∩γ=MC,∴γ与β的交线必通过点C和点M,故选D. 4.C　因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB.又因为C∈l,l⊂β,所以C∈β,所以AB∩β=C. 5.②③　三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①正确. 6.共线　如图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD. ∵l∩α=O,∴O∈α. 又O∈AB,AB⊂β,∴O∈β, ∴O∈直线CD, ∴O,C,D三点共线. 7.证明因为AB∩α=P,AB⊂平面ABC,则P∈平面ABC,P∈α,故点P在平面ABC与平面α的交线上. 同理,点Q,R均在平面ABC与平面α的交线上, 所以P,Q,R三点共线. 8.解(1)延长DM交D1A1的延长线于点E,连接NE,则直线NE即直线l. (2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1,∴AD=A1E=A1D1=a. 又A1P∥D1N,且D1N=a,∴A1P=D1N=a. 于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a. 9.ACD　正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,四边形A1B1C1D1的中心.对于A,由题可知O1是AD1的中点,所以O1是在平面ACD1内,故A,C,O1,D1四点共面,故A正确; 对于B,因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面,故B错误; 对于C,由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面,故C正确; 对于D,连接GO2并延长,交A1D1于点H(图略),则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面,故D正确. 故选ACD. 10.D　当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线; 当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线; 当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线. 11.C　设直线C1M,CD相交于点E,直线C1N,CB相交于点F,连接EF交直线AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C1MPQN为所求截面图形. 12.①③　图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确;分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面;②④中四点均不共面. 13.证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ. 因为PQ⊂平面PQR,所以M∈平面PQR. 又因为M∈直线CB,CB⊂平面BCD,所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上. 同理可证,K,N也在l上, 所以M,N,K三点共线. 14.证明如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC, 所以AB与CD必交于一点. 设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD. 又因为AB⊂α,CD⊂β, 所以M∈α,M∈β. 又因为α∩β=l,所以M∈l, 故直线AB,CD,l共点. 7 学科网（北京）股份有限公司 $