随机事件的概率与古典概型 课件——2026届高三数学一轮复习

随机事件的概率与 古典概型 知识清单 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的__________称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件； ②表示：大写字母A，B，C，…； ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 基本结果 子集 知识清单 2．事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 ________ 并事件(和事件) A与B至少一个发生 ________或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 ________或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝________ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝________， A∪B＝________ A⊆B AB AB ∅ ∅ Ω 知识清单 3.频率与概率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 稳定于 知识清单 4．概率的基本性质 (1)对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1.必然事件的概率P(Ω)＝________，不可能事件的概率P(∅)＝________． (2)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________. (3)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝____________． (4)如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． (5)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________． 1 0 P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)＋P(B)－P(AB) 知识清单 5．古典概型 (1)古典概型的定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有________； ②等可能性：每个样本点发生的可能性________． (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 有限个 相等 ＝ 知识清单 【常用结论】 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 热点命题——1.随机事件 例1 (1)(多选)抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是(　　) A．C＝A ∩ B B．C＝A∪B C．C ∩ A＝∅ D．C⊆B CD 热点命题——1.随机事件 例1 (2)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球 C 热点命题——1.随机事件 例2 (1)为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答．结果被调查的1 200人(学号从1至1 200)中有366人回答了“是”．由此可以估计这1 200人中闯过红灯的人数是________． 热点命题——1.随机事件 解析：被调查的1 200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，所以第一个问题可能被问600次， 因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”， 所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0.11， 用样本频率估计总体，从而估计这1 200人中闯过红灯的人数为1 200×0.11＝132(人)． 热点命题——1.随机事件 例2 (2)某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示： (1)求有4人或5人外出家访的概率；(2)求至少有3人外出家访的概率． 派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 热点命题——1.随机事件 方法归纳： 1.判断互斥事件、对立事件的两种方法：(1)定义法；(2)集合法． 2.当试验次数足够多时，频率就会趋近于概率．所以我们可以通过观察频率来估计概率． 3.求解事件概率的两种方法 (1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． (2)间接求解法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便． 热点命题——1.随机事件 1　(1)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是(　　) A．R1⊆R B．R∩G＝∅ C．R∪G＝M D．M＝ A 热点命题——1.随机事件 (2)某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为________；命中的环数不超过5环的概率为________． 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 0.5 0 热点命题——2.古典概型 例3 (1)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为________． 解析：记取出的三个球上的数字按先后顺序分别为a，b，c，则共有＝120(种)可能． 由题知，|m－n|＝＝≤0.5，即|a＋b－2c|≤3. 根据对称性知c＝1或6时，均有2种可能；c＝2或5时，均有10种可能；c＝3或4时，均有16种可能， 故满足条件的共有2×2＋2×10＋2×16＝56(种)可能，故所求概率P＝＝. 热点命题——2.古典概型 (2)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________． 热点命题——2.古典概型 解析：不妨设甲四轮比赛中所选卡片顺序固定，即四轮比赛所选卡片依次为1，3，5，7，此时乙有＝24(种)选法，甲可能得0，1，2，3分，但不可能得4分． 当甲得2分时，若甲第二、三轮的数字大，则有1种选法； 若甲第二、四轮的数字大，则有＋1＝3(种)选法； 若甲第三、四轮的数字大，则有＝7(种)选法，共有1＋3＋7＝11(种)选法． 当甲得3分时，甲第一轮的数字小，其他三轮的数字大，有1种选法．故甲的总得分不小于2的概率P＝＝. 热点命题——2.古典概型 方法归纳： 古典概型中样本点个数的探求方法： 热点命题——2.古典概型 2　(1)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是(　　) A．　　　B． C．　　　D． (2)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为________，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为________． A 热点命题——2.古典概型 3　在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中(百分制，均为整数)分成六组：第1组[40，50)，第2组[50，60)，第3组[60，70)，第4组[70，80)，第5组[80，90)，第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数 (保留一位小数)； (2)若先用分层抽样方法从得分在[40，50)和[50，60)的 学生中抽取5人，调查其读书情况，求此2人得分不在 同一组的概率． $