2025-2026学年人教版九年级数学上册期末冲刺卷

2025-2026学年人教版九年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.下列事件为必然事件的是(). A.相等的弦所对的弧相等 B.三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C.关于x的方程x2-bx+1=2有两个不相等的实数根 D.有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等 2.按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人” 和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会.下列说法中正确的是 () A.小王的可能性最大 B.小李的可能性最大 C.小马的可能性最大 D.三人的可能性一样大 3.关于x的一元二次方程(a-2)x2+a2-4=0的一个根为0，则a值为() A.±2 B.2 C.-2 D.0 4.若y=(a-4)x-2+7x-5是二次函数，则a的值为() A.-4 B.4 C.±4 D.±2 5.用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将它化为x+m2=n的形式，则m+n的值 为() A.-6 B.-3 C.0 D.3 6.如图，AB为OO的直径，CD是⊙0的弦且与AB平行，连接AC,OD,若∠D=50°， 则∠C的度数是() B A.100 B.115° C.120° D.125° 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将ABC绕点A逆时针旋转，使 点C落在边AB上的E处，点B落在D处，则BE的长为() 试卷第1页，共3页 D E >8 C A.1 C.2 D. 8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,且与x轴交于点(x,0)和(x2,0), 下列说法正确的是() A.x+x2=1 B.b2<4ac C.a-b+cx0 D.ab<0 9.菱形0ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠A0C=60°，OA=2,把菱形OABC绕 点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点B的坐标为() A.（-5,-3列 B.（-5,3) C.（5,3或(-5，-3 D.-5,3或5，-3) 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB,BC,CA为直径作半圆围成两月牙形， C作DF/AB分别交三个半圆于点D,E,R.若花=，4C+BC=I5,则阴影部欧 的面积为() 试卷第1页，共3页 F D E A B A.16 B.20 C.25 D.30 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.如图是某旅游景点的两个入口(A,D)和三个出口(B,C,E),小华随机选一个入口 进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是 B E A (A,B (A,C) (A,E) D (D,B (D,C) (D,E) ,12.如图，O0是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，∠EAP=28°，则 LBCP的度数为 B 13.为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格.某种药品经过两次连续 降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 14.己知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米.如图建立平面 试卷第1页，共3页 直角坐标系xOy,如果水面上升3米，那么水面宽度减少米. V 4m -8m 15.如图，圆锥底面圆直径BC长是4cm,母线AC长是6cm,一只蚂蚁在圆锥侧面从B点 爬到AC的中点D,最短路径长是_cm. 2--------------0 16.从-2，-1,0,1,2,3这6个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的方程 2x-m=3的解是负数，且关于x的一次函数y=(m-)x-4的图象不经过第一象限的概率 x+1 为」 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.用适当的方法解下面的方程： (1)x2-4x+1=0 (2)3x(x-5)=2(x-5) 18,某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查 了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 (1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率： (2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生， 估计该学生愿意参加该活动的概率。 19.如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如图所示，如果 试卷第1页，共3页 AF=4,AB=7,求： D E 9 A B (1)指出旋转中心和旋转角度： (2)求DE的长度； (3)BE与DF的位置关系如何？ 20.如图，扇形的圆心角为60°，其弧长是4πcm. D B (1)求此弧所在圆的半径长： (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高0D是c 21.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D,过点C作⊙O的切线 CE,交OD的延长线于点E,连接AE. 求证：AE是⊙O的切线. B D 22.某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件 球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y(单位： 件)与每件球衣的售价x(单位：元)之间满足的函数关系如图所示 试卷第1页，共3页 件A 110 100 90100x/元 (1)求y关于x的函数表达式及x的取值范围： (2)当球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为2700元？ 23.甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分.建立如图平面直角坐标 系，甲在O点正上方1m的P处发球，羽毛球飞行的高度ym与水平距离x(m)之间满足抛 物线表达式，已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m,当羽毛球飞行达到 最高点离地面3m时，此时与点O的水平距离为4m. y(m)4 o 球 甲X 网 x(m) (1)求抛物线表达式： (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为2.5m的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在 Q处时与球网的水平距离. 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B (点B在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,OB=20A, 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,过点D作DE⊥BC, 交BC于点E,求PD-√2DE的最大值，及此时点P的坐标； (3)将抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)沿射线BC方向平移22个单位长度得到新抛物线，点M 试卷第1页，共3页 是新抛物线上一点，当∠MAC=∠ACO时，写出符合条件的点M的横坐标，并选一种情况 写出解答过程. 试卷第1页，共3页 2025-2026学年人教版九年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．下列事件为必然事件的是（   ）． A．相等的弦所对的弧相等 B．三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D．有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件的概念，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形内切圆性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据必然事件的概念，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形内切圆性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定定理，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A选项：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧才相等，否则不相等，故该事件不是必然事件，不符合题意； B选项：三角形内切圆的圆心（内心）到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等，仅当三角形为等边时成立，故该事件不是必然事件，不符合题意； C选项：方程化为，判别式， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根，为必然事件，符合题意； D选项：两组边和一组角相等可能对应情况，不一定全等（如非直角三角形的），不必然成立，故该事件不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 2．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 【答案】D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为， 小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为：， 抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为：， 小马抽到“主持人”的可能性为：， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 3．关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及二次项系数不为0的条件，代入根后求解参数，并验证二次项系数非零． 由方程的一个根为0，则将代入可得到关于a的方程，同时，一元二次方程要求二次项系数不为0，求解即可得a的值． 【详解】解：将代入原方程： 则，， 化简得，， 解得，, 方程为一元二次方程， 二次项系数, ， , 故选：C． 4．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形与平行线性质求解角度． 先由得；再由得；结合求出；最后根据平行线同旁内角互补即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，旋转，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据旋转即可得，即可得． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得，， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处， ∴， ∴， 故选：A． 8．二次函数（）的对称轴是直线，且与轴交于点和，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数各项系数间的关系，由对称轴为可得，再结合二次函数与轴有两个交点，判别式大于零，逐一分析选项. 【详解】∵ 对称轴为， ∴ ，即. 选项A：根的和，故A错误. 选项B：判别式，即，故B错误. 选项C：，取，， 则，故C错误. 选项D：， ∵ ， ∴ ，故，D正确. 故选：D. 9．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，由旋转的性质可得，，由菱形的性质可得，，由两直线平行同位角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由线段之间的和差关系可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得点的坐标；由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称，因而点与点关于原点对称，于是可得点的坐标；综上，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，   ， 由旋转的性质可得： ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 点的坐标为， 由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 旋转后点的对应点（或）的坐标为或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转，旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，中心对称图形的识别，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，求关于原点对称的点的坐标，两直线平行同位角相等，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握坐标与图形变换——旋转、中心对称图形的识别及勾股定理是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　） A．16 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】连接AF，BD，先证明四边形ABDF是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC+BC＝15，求出k的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接AF，BD，如图， ∵AC、BC是直径， ∴∠AFC=90°，∠BDC=90°， ∵DFAB， ∴四边形ABDF是矩形， ∴AB=FD； 取AB的中点O，作OG⊥FD， ∵， 则设，， 由垂径定理，则， ∴， ∴，，， 由勾股定理，则 ，， ∵AC+BC＝15， ∴， ∴； ∴，，， ∴阴影部分的面积为 ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：列表如下： B C E A D 由列表可知，共有种等可能的结果，其中从口进，从口离开的结果只有种，即， ∴他选择从口进入，从口离开的概率是， 故答案为：． .12．如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形性质，圆内接四边形性质，根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据两次连续降价后的价格关系列方程求解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意，得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故药品每次降价的百分率是， 故答案为：． 14．已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少 米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 15．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．把圆锥沿母线展开得到它的侧面积为扇形点为弧的中点，如图，设该扇形圆心角为，利用弧长公式得到，解得，所以，然后利用等边三角形的性质计算出的长，从而根据两点之间线段最短得到答案． 【详解】解：圆锥底面圆直径长是， ∴圆锥底面圆周长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：， 如图， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， ， ， ， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 16．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【详解】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．用适当的方法解下面的方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴，； （2）解： 或 ，. 18．某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 (1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率； (2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式． （1）利用概率公式求解即可； （2）分别求得该校初中生和高中生中愿意参加该活动的人数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随机调查的初中生共有人， 其中，愿意参加该活动的有40人， 若从该校全体初中生中随机抽取1位， 由频率估计概率可得，这位初中生愿意参加该活动的概率约为； （2）解：由样本估计总体得， 该校初中生中愿意参加该活动的有人， 该校高中生中愿意参加该活动的有人． 若从该中学的全体学生中随机抽取1位学生， 由频率估计概率可得， 这位学生愿意参加该活动的概率约为． 19．如图，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求的长度； (3)与的位置关系如何？ 【答案】(1)旋转中心为点A；或 (2)3 (3) 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角； （2）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （3）如图所示，延长交于点G，根据旋转可得，可得，然后求出，判断出． 【详解】（1）解：∵旋转一定角度后得到， ∴， ∴，，， ∴旋转中心为点A； ∴绕点A顺时针旋转后得到或绕点A逆时针旋转后得到， ∴旋转角度为或； （2）解：由旋转得，，， ∴； （3）解：如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 21．如图，是的直径，是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接． 求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的性质和判定定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，证明，得到，进而证明． 【详解】证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵，且， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 22．某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（单位：件）与每件球衣的售价（单位：元）之间满足的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式及的取值范围； (2)当球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为元？ 【答案】(1) (2)当球衣的销售单价定为元时，每周销售球衣所获利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设关于的函数表达式为． 将点，代入，得 解得 关于的函数表达式为． （2）解：根据题意，得． 解得，． ， ． 答：当球衣的销售单价定为元时，每周销售球衣所获利润为元． 23．甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点D，过点D作，交于点E，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线上一点，当时，写出符合条件的点M的横坐标，并选一种情况写出解答过程． 【答案】(1) (2)最大值为2，此时，点的坐标为 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）求出点，再运用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出，得，设，由轴，得，求出，再得出，求出，运用二次函数的性质可得结论； （3）先判断平移方式得出新抛物线的解析式，设，由，可分点在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点B（点B在x轴的正半轴上）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∴， 又，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为2，此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的， ∴， ∵点M是新抛物线上一点， ∴设， ∵，则有： ①当点在上方时，如图，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点在下方时，如图，则与交于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点， 综上，当时，点的或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数解析式，二次函数的性质、勾股定理、函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $