统计与概率：二项分布、正态分布专项训练-2026届高三数学二轮复习

统计与概率：二项分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 正态分布 考点一 二项分布 例1．（2026·河南洛阳·模拟预测）经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 (1)用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； (2)年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 例2．（25-26高三上·广西崇左·期末）小张参加射击训练，他每次射击的命中率为，共射击4次，这4次射击命中的次数为，设他每次射击是否命中相互独立. 0 1 2 3 4 0 1 2 4 8 (1)求的概率； (2)求的方差； (3)若命中次数与其对应的积分如下表所示，求的均值. 例3．（25-26高二上·江西九江·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 例4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 变式1．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 变式2．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立. (1)若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率； (2)若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率. 变式3．（2026·广东湛江·一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 变式4．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 考点二 正态分布 例1．（25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 例2．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 例3．（25-26高三上·河北张家口·期末）某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； (2)在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； (3)从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 例4．（25-26高三上·广东汕头·月考）某学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 变式1．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 变式2．（24-25高二下·福建泉州·期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 变式3．（24-25高二下·山西太原·月考）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 变式4．（2025·山西·模拟预测）某款产品的尺寸误差（单位：）服从正态分布，若一件产品的尺寸误差的绝对值不小于，则认为该件产品不合格. (1)任取一件产品，求这件产品不合格的概率； (2)在计算二项分布的概率时，若重复性试验的次数很多且每次试验事件发生的概率很小，则可利用泊松分布代替二项分布进行近似计算.设随机变量服从二项分布，若，且，则，，其中.现对某一批产品抽取40件进行检测，若不合格产品超过3件，则认为这批产品不合格.估算这批产品不合格的概率（精确到0.01）. 附：若，则；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：二项分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 正态分布 考点一 二项分布 例1．（2026·河南洛阳·模拟预测）经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 (1)用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； (2)年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)15 【详解】（1）由题意得，这15人中，年龄在C组内的有（人）， 年龄在E组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. （2）样本中“主流客群”的频率为. 从所有“目标客群”中随机抽取20人， 设“主流客群”中被抽到的人数为，则 所以. 由于， 故当时，， 则. 当时，， 则. 所以当时，最大， 即从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能抽到15人. 例2．（25-26高三上·广西崇左·期末）小张参加射击训练，他每次射击的命中率为，共射击4次，这4次射击命中的次数为，设他每次射击是否命中相互独立. 0 1 2 3 4 0 1 2 4 8 (1)求的概率； (2)求的方差； (3)若命中次数与其对应的积分如下表所示，求的均值. 【答案】(1)； (2)1； (3). 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）知，； （3）由（1），， ， ， ， ， 所以. 例3．（25-26高二上·江西九江·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）在一局比赛中，甲得2分的概率为. （2）每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为. 因为每局比赛相互独立，故服从二项分布. ，， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为. （3）每局比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 乙最终获胜可分为以下三种情况： ①乙3局都得2分，其概率为； ②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0，其概率为； ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为. 综上，乙最终获胜的概率为. 例4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)分布列见详解； (2)7个或8个 【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 变式1．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 变式2．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立. (1)若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率； (2)若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设甲通过为事件，乙通过为事件， 因为两位同学每次闯关通过概率均为， 所以，，，， 则甲通过次数不低于乙通过次数为如下事件， 甲通过且乙通过，甲通过且乙不通过，甲不通过且乙不通过，且三者互斥， 当甲通过且乙通过时，甲通过与乙通过相互独立，此时概率为， 当甲通过且乙不通过时，甲通过与乙不通过相互独立，此时概率为， 当甲不通过且乙不通过时，甲不通过与乙不通过相互独立，此时概率为， 则甲通过次数不低于乙通过次数为. （2）由题意得甲参加过次游戏，设通过次数为， 由题意得乙参加过次游戏，设通过次数为， 由题意得，， 把乙的次游戏拆分为前次和第次， 设乙前次通过游戏的次数为，第次通过的次数为， 可得，，则，且相互独立， 得到，而， 由全概率公式可得 ， 因为同分布且相互独立，所以， 而， 则 . 变式3．（2026·广东湛江·一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【答案】(1) (2)概率，最大值 【详解】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． （2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 变式4．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 考点二 正态分布 例1．（25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 例2．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 例3．（25-26高三上·河北张家口·期末）某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； (2)在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； (3)从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)该校学生对足球赛事的关注与性别有关. (2). (3). 【详解】（1）零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关. 根据列联表中的数据，得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关. （2）由题意得，，，， 故. （3）因为， 所以， 所以， 故， 即. 例4．（25-26高三上·广东汕头·月考）某学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【答案】(1) (2)159 (3) 【详解】（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，， . （2）因为， 所以估计成绩超过90分的学生人数为人. （3）设前分位数为，则，所以， 由正态分布表得，解得， 又， ， 所以选中的2人成绩都超过95分的概率为. 变式1．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 【答案】(1)114人； (2). 【详解】（1）样本平均数的估计值为 ，即， 又，则，则， 又，所以估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的学生有114人. （2）由频率分布直方图知第一次考试评级是良好的频率为(0.024+0.012)×10=0.36， 评级为合格的频率为，评级为不合格的频率为， 记事件A为“第二次考试后该学生晋级”，事件B为“该学生第一次考试评级为合格”， ，，所以， 故在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率为 变式2．（24-25高二下·福建泉州·期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】(1)更适合 (2)，8.1千万件 (3) 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 变式3．（24-25高二下·山西太原·月考）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)5 (2)分布列见解析； 【详解】（1）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故. （2）X的可能取值为， ， ， ， ， ，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 变式4．（2025·山西·模拟预测）某款产品的尺寸误差（单位：）服从正态分布，若一件产品的尺寸误差的绝对值不小于，则认为该件产品不合格. (1)任取一件产品，求这件产品不合格的概率； (2)在计算二项分布的概率时，若重复性试验的次数很多且每次试验事件发生的概率很小，则可利用泊松分布代替二项分布进行近似计算.设随机变量服从二项分布，若，且，则，，其中.现对某一批产品抽取40件进行检测，若不合格产品超过3件，则认为这批产品不合格.估算这批产品不合格的概率（精确到0.01）. 附：若，则；. 【答案】(1)0.05； (2)0.14.（注：和均为正确答案） 【详解】（1）当，时，，则， 所以任意一件产品是不合格的概率为0.05. （2）记为不合格产品的数量，则，且， 又，且，则，， 其中， 因此 ， 所以这批产品不合格的概率为0.14. （注：最终结果为和均为正确答案） 2 学科网（北京）股份有限公司 $