22.1 二次函数的图象与性质之二次函数与取值范围问题2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1 二次函数的图象与性质之二次函数与取值范围问题 1.在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时，求抛物线的顶点坐标； 已知和是抛物线上的两点若对于，，都有，求的取值范围． 2. 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上设抛物线的对称轴为直线． 若，求的值； 若当时，都有，求的取值范围． 3. 已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线关于的方程有两个相等的实数根． 求抛物线的解析式； 若，试比较与的大小； 若，两点在直线的两侧，且，求的取值范围． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． 求的值； 求抛物线的对称轴用含的式子表示； 点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 5. 阅读材料：若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上点与点不重合，我们称这样的两条抛物线、互为“友好”抛物线，如图． 解决问题：如图，已知抛物线：与轴交于点． 若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； 求出以点为顶点的的“友好”抛物线的解析式； 直接写出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围． 6.在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． 若对于，有，求的值； 若对于，，都有，求的取值范围． 7.已知抛物线． 通过配方可以将其化成顶点式为______，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在轴______填上方或下方，即 ______填大于或小于时，该抛物线与轴必有两个交点； 若抛物线上存在两点，，分布在轴的两侧，则抛物线顶点必在轴下方，请你结合、两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图 利用二次函数结论，求证：当，时，． 8.设二次函数是实数． 甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． 写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值用含，的代数式表示． 已知二次函数的图象经过和两点是实数，当时，求证：． 9.已知点是二次函数图象上的点． 求二次函数图象的顶点坐标； 当时，求函数的最大值与最小值的差； 当时，若函数的最大值与最小值的差为，求的值． 10.在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． 求该抛物线的对称轴； 若对于，，都有，求证：； 若对于， ，都有，求的取值范围． 11.二次函数为常数图象的顶点在轴右侧． 写出该二次函数图象的顶点横坐标用含的代数式表示； 该二次函数表达式可变形为的形式，求的值； 若点在该二次函数图象上，且，过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，求的范围． 12.在平面直角坐标系中，已知二次函数． 当时， 若，求该函数最小值； 若，则此时对应的函数值的最小值是，求的值； 当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是，直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】解：把代入 ，得， 抛物线的顶点坐标为 ． 分两种情况： 当时，如图，此时， ， 又， ； 当时，如图，此时， 解得， 又， ； 综上，当或，都有．   【解析】把代入，转化成顶点式即可求解； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 2.【答案】解：点在抛物线上， ， ， ． ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，都有， 点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧， 点，，在抛物线上， 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故．  【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把点的坐标代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得； 由题意可知点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，分两种情况讨论，得到关于的不等式组，解不等式组从而求得的取值范围． 3.【答案】解：抛物线经过， ， 对称轴是直线， ， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 由可得：， 抛物线的解析式为； ， ， 点，点在对称轴直线的左侧， 抛物线，， 当时，随的增大而增大， ， ， ； 若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时， 由题意可得， ， 若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时， 由题意可得：， 不等式组无解， 综上所述：．  【解析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 由题意可得，，，联立方程组可求，，，即可求得解析式； 由，可得点，点在对称轴直线的左侧，由二次函数的性质可求解； 分两种情况讨论，列出不等式组可求解． 4.【答案】解：由题意得：， 解得：． ， ， 抛物线的对称轴为直线． 当时，可知点，，从左至右分布， ， ， 解得； 当时， ， ，不合题意， 综上，的取值范围是．  【解析】代入点即可求解； 利用对称轴公式即可求解； 利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5.【答案】解：抛物线：， ， 顶点为，对称轴为， 设，则， ， 点关于该抛物线对称轴对称的对称点的坐标为：． 设抛物线的解析式为：， 的顶点，且过点， ， ， 的解析式为， 即； 如图，由图象可知当时，与中同时随增大而增大．   【解析】设，求出的值，即可得到的坐标，把抛物线：配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点关于该抛物线对称轴对称的对称点的坐标； 由可知点的坐标为，再由条件以点为顶点的的“友好”抛物线的解析式，可求出的解析式； 画图象，根据图象可得与中同时随增大而增大的自变量的取值范围． 本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度． 6.【答案】解：对于，有， 抛物线的对称轴为直线 ． 抛物线的对称轴为，  ． 解：当，， ，， ，， 离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ， 即．   【解析】【分析】根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； 根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 7.【答案】，下方， 若设且不等于顶点横坐标则，两点位置可能有以下三种情况： 当，都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随的增大而减小，所以点在轴上方，点在轴下方，顶点在点下方，所以抛物线顶点必在轴下方．如图所示： 当，都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随的增大而增大，所以点在轴上方，点在轴下方，顶点在点下方，所以抛物线顶点必在轴下方．如图所示： 当，在对称轴两侧时，由于，分布在轴两侧，所以不管，哪个点在轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同或，可以说明抛物线顶点必在轴下方．如图所示： 证明：令，， 当时，； 当时，． 而， ， 上存在两点，分别位于轴两侧， 由可知，顶点在轴下方， 即， 又， ， 即：．  【解析】解：， 顶点式为：，当顶点在轴下方时，即填大于或小于时，该抛物线与轴必有两个交点； 故答案为：，下方，； 先提公因式，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案； 若设且不等于顶点横坐标则，两点位置可能有以下三种情况：当，都在对称轴左侧时，当，都在对称轴右侧时，当，在对称轴两侧时，根据二次函数性质可得答案； 令，根据点的特殊性得，上存在两点，分别位于轴两侧，然后根据可得答案． 此题考查的是二次函数与系数的关系，根据题意画出正确图形是解决此题关键． 8.【答案】解：当时，；当时，； 二次函数经过点，， ，， ， 当时，， 乙求得的结果不对； 对称轴为， 当时，是函数的最小值； 二次函数的图象经过和两点， ，， ， ，， ．  【解析】将，代入求出函数解析式即可求解； 对称轴为，当时，是函数的最小值； 将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解． 本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将准确的用和表示出来是解题的关键． 9.【答案】解：已知是二次函数图象上的点 解得， 此二次函数的解析式为：， ， 顶点坐标为． 抛物线开口向上，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值与最小值的差为． 当时，对进行分类讨论， 当时，即，随着的增大而减小， 当时， 当时，， ， 解得不合题意，舍去． 当时，顶点的横坐标在取值范围内， ， 当时，在时，， ， 解得，不合题意，舍去． 当时，在时，， ， 解得，不合题意，舍去； 当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ， 解得不合题意，舍去； 综上所述，或．  【解析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； 根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当时，，当时，，从而求得结论； 分四种情况讨论： 当时，即，，， 解得不合题意，舍去； 当时，，当时，，得，解得，不合题意，舍去； 当时，在时，，得，解得，不合题意，舍去； 当时，，，得，解得不合题意，舍去． 10.【答案】解：二次函数解析式为， 抛物线的对称轴  证明：设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴，， ． 点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ， ， ，， 当时，． 把代入函数解析式得． 抛物线的对称轴，， 点在对称轴右侧． (ⅰ)当点在对称轴右侧时， 时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ； (ⅱ)当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为， ， ． 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ，则． 由可知，或．  【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 根据对称轴运算求解即可 设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可 分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可． 11.【答案】解：根据顶点坐标公式可得， 顶点的横坐标为：， 该二次函数图象的顶点横坐标为； ， ， 二次函数图象顶点在轴右侧， ， ， 设二次函数图象与轴交点分别为，，在左侧 令，则， 或， ，， ， 点在该二次函数图象上，且， 在上方， 点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方， ， ， ， ．  【解析】直接用顶点的坐标公式，代值进行计算； 将二次函数表达式进行因式分解，即可求解； 由可得二次函数图象与轴交点坐标，设两交点分别为，，由于顶点在轴右侧，所以顶点横坐标大于，由此求得，所以，由题意可得，在轴上方，过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，所以，否则，点和交点不可能在轴异侧，由此得到，即可求解． 本题考查了二次函数的顶点坐标公式，二次函数与轴交点坐标问题，根据题意，理解点和两点之间的关系，是解决问题的突破口． 12.【答案】解：由题意，二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 函数的最小值为． ， 对称轴， ，则此时对应的函数值的最小值是， 时，， ， ． 当时，，图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时， 在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大， 当时，最小值， ，解得，舍去，； 当时，即， ，的值最小， ，方程无解． 当，即， 在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小， 故当时，为最小值， ， 解得，舍去，； 综上所述，满足条件的的值为或．  【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可． 由题意，判断出时，，利用待定系数法可得结论． 当时，，图象开口向上，对称轴为直线，分三种情形：当，即时，当时，即，当，即，分别利用待定系数法，构建方程求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $