利用周期性巧解数列题策略讲义-2026届高三数学二轮专题复习

利用周期性巧解数列题策略讲义 我们知道周期性是函数的一个重要性质之一,由于数列是一类特殊的函数,因此数列也具有周期性是理所当然的;也就是说函数中有周期函数,对应地数列中就有周期数列.类似于周期函数的定义,周期数列的定义如下:对于数列,如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有成立,则称数列是从第项起的周期数列,且是它的一个周期.特别地,当时,就称数列为纯周期数列;当时,就称数列为混周期数列;因周期数列的周期必是正整数,故存在最小值,且都是其周期,常数列的周期为任意正整数(其中),一般都将的最小值称为数列的最小正周期,简称周期;周期数列是无穷数列,其值域是有限集.周期数列的周期性具有广泛的应用,在求解周期数列的某些项、通项与前项和等问题时,能方便快捷地获解,可达到事半功倍之效. 题型一、利用周期性求数列的通项公式 例1.根据下列数列的前几项求其一个通项公式:(1)(); (2). 【解析】(1)由数列的前六项,知其通项公式有多个:①; ②可用分段函数表示为;由于它是一个周期的周期数列,可用三角函数表示为③;④. (2)因从数列的前八项来看,可认为它是一个周期的周期数列,从而联想到三角函数具有周期性,并注意振幅,易得,或. 【点评】根据数列的前几项求其通项公式,关键是要发现数列的构成规律,寻找其项与项数之间的联系,即就是找出函数与自变量的解析式;一般地,满足一个数列前几项的通项公式可以有多个,甚至有无数多个,如本例(1)中,可以找出一个满足其前六项的通项公式,其中常数为任意实数,可见满足其前六项的通项公式有无数多个,但往往只需求出其规律非常明显且解析式简单的一个就行.另外,当一个数列是周期数列时,其通项可借助具有周期性的三角函数来表示会使问题解决更容易,如本例(2),依题意可设,由周期,得. 题型二、用周期性求和式递推数列中的某些项 例2.已知数列中,,且;求的值. 【解析】由数列递推式得 ①;根据①式又得,代入①式消去可得;于是有对成立,知数列是一个的周期数列;故. 【点评】本题可由初始条件及递推式一一求出数列的前八项(至少需八项),然后通过观察得到数列是一个周期为的数列,无证明的猜想是不严谨的推理;而采用通过周期数列的定义来证明该数列是一个周期数列,这样的推理过程是既严谨又避免了繁杂的计算,若本题需求,在先证明周期性的情况下再一一求出其前六项分别为:,可得.在和式递推数列中,易证明下面两个有用结论:(1)在数列中,若有()成立,则是周期为的数列;(2)在数列中,若(为常数,)成立,则是周期为的数列. 题型三、用周期性求积式递推数列中的某些项 例3.在数列中,若,且对成立;求. 【解析】由条件及,得即,则,知是周期为的数列;由 ,及,得,,;故. 【点评】本题根据递推式推理证明数列为周期数列是解决问题的关键所在,再求出一个周期内数列中的各项,就能使问题获解.在积式递推数列中,易证明下面两个有用结论:(1)在数列中,若,且()成立,则是周期为的数列;(2)在数列中,若(为非零常数,)成立,则是周期为的数列. 题型四、周期性在分段或分式线性递推数列中的应用 例4.已知数列满足,且;求的值. 【解析】由条件及递推式,得,, ;由此可归纳出对成立,知是周期为的数列,故. 【点评】当数列的递推式是以分段函数形式给出时,可先求出该数列前面几项,找出其构成规律并归纳得出该数列是周期数列,从而使问题迎刃而解.对于一类分式线性递推数列:数列满足(常实数,),可证明若关于的特征方程无实数根,则数列为周期数列;并且有若,则数列是周期为的数列.在数列中,若(,为正整数常数)成立,则是周期为的数列;证明如下:,则. 题型五、利用两角和的正切公式巧解数列周期性问题 例5.已知数列满足;求的值. 【解析】由于递推关系式与公式的结构相似,因而可考虑三角换元;令且则 即,则同理可得从而有;知数列是周期为的数列,故. 【点评】本题根据数列递推式的结构特点,通过三角换元的方式将递推式转化成两角和的正切公式形式,由于正切函数具有周期性,并多次利用递推式与两角和的正切公式之间的联系,经过多次尝试和探究,就能比较容易发现和证明该数列具有周期性;本题若不使用这种方法技巧解题,而采用其它解题方法和途径求解会感觉非常复杂,甚至束手无策.因此这样的方法技巧要善于发现和掌握,并通过一定的经验积累和题型训练才能达到理想效果. 题型六、利用周期性求数列的前项和 例6.设为数列的前项和,并满足,,且对都有()成立;求的值. 【解析】对有;可得 ;两式相减整理得,由条件得,必有成立,知是周期为的数列;又,,且,得,则;故. 【点评】当一个数列的递推公式是以若干相邻项进行加减(或乘除)运算的形式出现时,往往可让再取一个相邻的值又可得另一个递推式,然后将两个递推式作差(或作商),这样就能很快证明数列是一个周期为的数列;接下来先求出数列在一个周期内各项之和的值,并注意中项数与周期的关系,就能快捷轻松地求出的解. 【总评】由以上六类题型和问题可知:利用数列的周期性解题,思想独特,方法巧妙,有些方法与技巧还具有创新性;通过对这些题型的思索与训练,可提高同学们的学习兴趣,有效锻炼解题能力,能极大地培养学生的各种核心素养,可直接促进思维水平和能力的提升;相信善于思考的同学可在此基础上,能继续不断地总结周期数列解题类型,让这方面的内容变得更加丰富多彩. 【变式训练题】 1.求数列:的一个通项公式. 2.在数列中,,且成立;求的值. 3.在数列中,,且;求. 4.在数列中,有,;请判断数列的周期性,并求的值. 5.已知数列满足:,且;求的值(用含的式子表示). 6.设为数列的前项和,并满足,且;求的值. 变式训练题答案及解析 1.解:观察可知数列是周期的周期数列,可借助三角函数的周期性来解决;易得,或,或. 2.解:由条件得,即得对成立,从而知是周期为的数列;当时,有,故可得. 3.解:由条件得,于是三次利用该关系得,知数列是周期为的数列;由,可得,故. 4.解:三次利用递推式代入可得:,知数列是一个周期为的周期数列;由及递推式,可得,故得. 5.解:将递推式化为,令且则有于是,即同理可得从而有;知数列是周期为的数列,故有. 6.解:由数列递推式得 ①;根据①式又得,代入①式消去可得;于是有对成立,知数列是一个周期为的数列;由,及,可解得,,,再由递推式可得,,,则有;故. 学科网（北京）股份有限公司 $