1.5.1二次函数的应用（2）（课件）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，核心讲解利用二次函数解决最大面积和最大利润问题。通过知识回顾二次函数顶点公式，以日字形窗框问题为探究起点，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合生活实例，如窗框面积、玩具销售利润等，通过表格分析、函数建模培养学生数学眼光与思维，课堂小结提炼解题步骤助学生形成模型意识。既让学生掌握方法，也为教师提供清晰教学路径。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 1.5.1二次函数的应用（2） 第1章 二次函数 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月30日 2026年1月30日星期五9时25分28秒 2026年1月30日星期五9时25分29秒 知识回顾 一般地, 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低（高）点, 所以当 x = ________时,二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 有最小（大）值____________. 探究新知 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积 S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 由于做窗框的铝材长度已确定， 而窗框的面积 S 随矩形一边长的变化而变化. 因此设窗框的宽为 x m， 则窗框的高为 m， 其中 探究新知 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积 S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 探究新知 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积 S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 窗框的透光面积为 将上式进行配方， 当 x = 时， S 取最大值 . 探究新知 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积 S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 这时高为 则当窗框的宽为 m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为 m2. 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 【教材P31页】 进价/元 售价/元 数量/件 利润 现价 20 30 180 涨价 20 30 + x 180-10x 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 【教材P31页】 解 设每件商品的销售单价上涨 x 元， 一个月内获取的商品总利润为 y 元. 每月减少的销售量为 10 x（件）， 实际销售量为 180 - 10 x（件）， 单件利润为（30 + x - 20 ）元， 则 y = (10 + x )(180 - 10x ) ， 即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 （ 0 ≤ x ≤ 18 ） . 将上式进行配方，y ＝ - 10 ( x - 4 )2 + 1 960. 当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时， y 取最大值 1960. 答：当销售单价定为 34 元时,该店在一个月内能获取的最大利润为 1960 元. 练习 小妍想将一根 72 cm 长的彩带剪成两段， 分别围成两个正方形， 则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？ 此时的面积和为多少？ 解 设剪断后一段彩带长为 x cm，则另一段彩带长为 (72-x) cm 当 x = 36 时，面积和有最小值为 162. 【教材P31页】 答：当剪的彩带长度都为36cm时两个正方形面积和最小，最小为162cm2. (0<x<72) 1. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P，AB＝2 m，BP＝9 m，水嘴高AD＝5 m，则水柱落 地点C到水嘴所在墙的距离AC 是________m. 5 中考考法 11 【点拨】∵以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意知D(0，5)，P(2，9)．∵水柱的最高点为P(2，9)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋9.把点D(0，5)的坐标代入，得4a＝－4，∴a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋9.当y＝0时，－(x－2)2＋9＝0，解得x＝5或x＝－1(不合题意，舍去)，∴水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是5 m. 返回 中考考法 2. 在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；善于用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．比如，一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 中考考法 13 小明同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2－4mx－20m＋5图象的一部分，如图①，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线PD与水平线的夹角为45°， 中考考法 14 三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图②，则此时幼苗叶子的长度QD′为________，幼苗叶子的最大宽度为________． 中考考法 15 3．九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案(如图)，则最佳方案是________．(填序号) ③ 中考考法 16 课堂小结 一般步骤： 1.根据实际问题建立二次函数的关系式； 2.确定自变量取值范围； 3.求出实际问题的最值. 本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题. 3 $