第四章因式分解单元综合测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解单元综合测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解是将多项式化为整式的积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该选项的右边不是积的形式，故该选项错误，不符合题意； B．该选项的变形是整式乘法，故该选项错误，不符合题意； C．的变形是因式分解，故该选项正确，符合题意； D．该选项的变形也是因式分解，但分解不彻底，不符合题意． 故选：C． 3．因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故选：D． 4．计算的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，同底数幂的乘法的逆运算，正确计算是解题的关键． 将原式变形为，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 5．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 6．已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 7．若，，则的值为（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键． 将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得，结合已知条件代入计算． 【详解】解： 代入已知条件 和 ，得： ， 故选C． 8．若有理数满足，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解及几个非负数的和为零的问题．先利用完全平方公式对方程进行处理，化为两个非负数的和为零的情况，两个非负数之和为零，则它们均为零，据此即可求出x，y的值，从而可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 即， ∴， 故选：B． 9．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 10．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键． 把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12．将在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查求根公式法分解因式．把某些二次三项式分解因式，先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【详解】解：方程的两个根为：，， ， 故答案为：． 13．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 14．如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题需要计算一个无盖长方体纸盒的底面积与侧面积的差，并进行因式分解．主要用到的概念有面积计算和因式分解． 【详解】解：由图可知，底面积为，侧面积为， ， ， 故答案为：． 15．已知，，那么 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵m≠2n， ∴ ∴m＋2n＝−1； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案是：−1；0． 【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键． 16．若，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ，， 原式 ． 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 18．把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键； （1）利用提公因式法分解因式； （2）利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 19．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式可进行分解因式； （2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式； （3）根据乘法公式可进行分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 21．已知，，求的值． 【答案】． 【分析】把的因式分解，再代入计算． 【详解】解：，，， ，， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，掌握二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，注意灵活应用． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 23．下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)D (2)没分解到最后； (3) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）根据完全平方公式解答即可； （2）利用十字相乘法解答即可； （3）设，利用完全平方公式因式分解即可解答． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式； 故答案为：D； （2）解：没分解到最后； 原式 （3）解：设， 原式 ． 24．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 【答案】(1)C (2)能， (3) (4)或． 【分析】题目主要考查利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握整体思想和乘法公式分解因式是解题关键． （1）由题意可直接得出结果； （2）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （3）仿照例题利用完全平方公式进行因式分解即可． （4）设，利用完全平方公式进行因式分解即可求出y的值，再将代入，再进行因式分解即可得出x的值． 【详解】（1）解：第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：能， 故答案为：能；； （3）解：设， ∴ （4）解：设 即， 整理得： ， ∴， ∴， 即 ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第四章因式分解单元综合测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分）》 1.将3ax-y)-9b(x-y)用提公因式法分解因式，应提取的公因式是() A.3a-b B.x-y C.3(x-y) D.a-3b 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.x2+2x-1=xx+2）-1 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.x2+4x+4=(x+2)2 D.ax2-a=a(x2-1) 3.因式分解：x2-4y2=(x+2y)·A,则代数式A等于() A.x+y B.x-y C.x+2y D.x-2y 4.计算(-2)2025+(-2)224的值是（) A.-2 B.22024 C.2 D.-22024 5.若x2-ax-1可以分解为x-2)(x+b),那么a+b的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.已知实数a满足a2-2a-3=0,则代数式a3-2a2-3a+5的值为() A.-5 B.0 C.5 D.-3 7.若a-b=-2,ab=3,则a3b-2ab2+ab3的值为（) A.-12 B.-6 C.12 D.6 8.若有理数x,y满足2x-1+y2-4y=-4,则y的值等于() A.-1 B.1 C.-2 D.2 9.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc-b2+ab的值是() A.2 B.-2 C.15 D.-15 10.设三角形的三边a、b、c满足a4-b4-c4-2b2c2=0,则这个三角形的形状是（) A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法确定 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.对于二次三项式x2+mr+n,如果能将常数项n分解成两个因数a,b,使a,b的和恰 好等于一次项系数m,即，a+b=m,就能将x2+mx+n分解因式.这种分解因式的方 法取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数 试卷第1页，共3页 项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式 分解.则代数式x2+6x-16因式分解的结果为 x2-5x+6 1×(-3)+1×(-2)=-5 .∴.x2-5x+6=(x-2)x-3) 12.将4x2-4x-1在实数范围内分解因式 13.在对多项式a2-4ab+4b2-1进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式 =a2-4ab+4b2)-1=(a-2b)2-1=(a-2b+1)(a-2b-1,这种方法叫做分组分解法.请你 用以上方法，写出多项式4x2+4x-y2+1因式分解的结果为 14.如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形，然后将四 周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为】 6 15.己知m2=2n+1,4n2=m+1m≠2n),那么m+2n=-,4n3-mn+2n2= 16.若m2=n+2025,n2=m+2025,且m≠n,则代数式m23-2mn+n的值为 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)a2-4=(a+2)(a-2): (3)x2-3x+2=x(x-3)+2. 18.把下列多项式分解因式： (1)3a3b+9a2b2-3a2b; (2)-3x2+6xy-32. 试卷第1页，共3页 19.在实数范围内分解因式： (1)x2+4x+1; (2)x2-4x-2. 20.因式分解： (1)3pq3+15p3q; (2)3a2-18a+27; (3(a2+42-16a2. 21.已知a=55+35,b=55-35,求a2b-ab2的值. 22.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 (m=3n’ 解得：n=-7,m=-21. :另一个因式为(x-7),m的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)己知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值， (2)己知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是(2x+a,a是正整数，求另一个因式以及a 的值。 23.下面是小亮同学对多项式(a2-2a-2a2-2a-4+1进行因式分解的过程. 解：设x=a2-2a 原式=x-2(x-4)+1(第一步) =x2-6x+9(第二步) =(x-3)2(第三步) 试卷第1页，共3页 =a2-2a-3(第四步) ()该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的α的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解 到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式(4a2-4a-3(4a2-4a+5)+16进行因式分解. 24.某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对 多项式(x2-4x+2(x2-4x+6)+4进行因式分解.有个学生解答过程如下，并得到了老师的 夸奖： 解：设x2-4x=y, 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+42(第四步) 根据以上解答过程回答以下问题： ()该同学第二步到第三步的变形运用了 (填序号)； A.提取公因式法 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还 (填“能”或“不能”)继续因式分解，如能，直接写出结果： (3)请你模仿以上方法对多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程x2-6x+4)x2-6x+6+1=0的解。 试卷第1页，共3页