精品解析：陕西西安市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角相等 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 4. 如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4．5 D. 6 5. 如图，的顶点都在的正方形网格格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（　　） A. （2，﹣1） B. （1，﹣2） C. （，﹣1） D. （﹣1，） 7. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图2，某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度（半径于点D）为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：（1）；（2）；（3）若点、点、点在该函数图象上，则；（4）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 已知为锐角，若，则________． 10. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 11. 如图，的半径为5，为弦，若，则的长为________． 12. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 14. 如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． （1）画出将绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 18. 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 19. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 20. 陕西拥有很多中小学研学实践爱国主义教育基地，小辉计划假期和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片：A．陕西历史博物馆（西安）；B．杨家岭革命旧址（延安）；C．薛家寨革命旧址（铜川）；D．西安半坡博物馆（西安），这些卡片除正面图案不同外，其余都相同．现将这四张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． （1）若小辉随机抽取一张卡片，抽到“B．杨家岭革命旧址”的概率是 　　； （2）若小辉从中随机抽取一张卡片，放回洗匀，然后他妹妹从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率． 21. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 22. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 23. 如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 24. 如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，交延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 25. 在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情．消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米．以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系． （1）求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？ 26. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，则与的数量关系为________． 【问题探究】 （2）如图②，已知，请用尺规作图法，在直线上求作一点D，使得，． 【问题解决】 （3）如图③，为庆祝被誉为“中国最美公路”的独库公路通车，路政工作人员将公路与市区干道交汇处的不规则空地用鲜花进行布置，不同品种的鲜花之间需要用隐形花挡，，进行区分，经测量米，米，，弧形公路的圆心角为，在大方美观的基础上，为控制成本，试计算说明至少需要多少米的隐形花挡才能完成布置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 2. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角相等 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、平行四边形、正方形和菱形的性质及判定，需根据各图形的定义和判定条件逐一分析． 【详解】解：因为矩形的对角线相等，所以A正确； 因为平行四边形的对角相等，所以B正确； 因为对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C正确； 因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D不正确． 故选：D． 4. 如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4．5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再得到，，求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 即， 解得， 故答案为：C． 5. 如图，的顶点都在的正方形网格格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用网格图分别求出线段长度，首先根据网格图可以分别求出线段、、的长度，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，最后利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：的顶点都在的正方形网格格点上， ，，， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（　　） A. （2，﹣1） B. （1，﹣2） C. （，﹣1） D. （﹣1，） 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出点A的坐标，再连立方程组求出点B的坐标即可判断． 【详解】解：当x=﹣2时，y==1，即A（﹣2，1）， 将A点坐标代入， 得k=﹣2×1=﹣2， 反比例函数的解析式为， 联立双曲线、直线，得， 解得：，， 故B（2，﹣1）． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图2，某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度（半径于点D）为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径． 【详解】解：依题意，得，， 如图，连接，设轮子的直径为 ，则其半径为． 则在中，， ， 解得， 所以该桨轮船的轮子直径为． 故选：D． 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：（1）；（2）；（3）若点、点、点在该函数图象上，则；（4）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．已知二次函数对称轴为直线，由对称轴公式判断（1）；因当时，代入得，由此判断（2）；抛物线开口向下，点到对称轴距离越大函数值越小，计算得、、到对称轴的距离，由此判断（3）；抛物线交点式为，方程即求与的交点，观察图象判断（4）． 【详解】解：对于二次函数，对称轴为，图象过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为． （1）由对称轴公式，得， 即，故（1）正确； （2）观察图象，抛物线在对称轴左侧随着的增大而增大，当时，， ∴当时，，即，即，故（2）错误； （3）对称轴为直线，开口向下，离对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴，故（3）错误； （4）抛物线的表达式可以表示为，方程可视为函数与直线的交点横坐标． ∵抛物线开口向下，且或时，， ∴直线与抛物线的交点横坐标满足，故（4）正确； 综上，正确的结论有（1）（4），共2个． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 已知为锐角，若，则________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数求角的度数．根据是锐角，，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 11. 如图，的半径为5，为弦，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理与弧长公式的应用，关键是通过圆周角求出对应的圆心角，再代入弧长公式计算．先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧所对的圆心角；然后代入弧长公式(其中为圆心角度数，为半径)计算弧长． 【详解】解：如图．连接、， ∵， ∴弧所对的圆心角． ∵的半径， ∴弧的长为； 故答案为：． 12. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 14. 如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及“将军饮马”模型(对称求最短路径)的综合应用．先利用正方形的边长与对角线关系，结合已知的线段比例，证明，从而得到的线段转化关系；再将所求表达式代换为，把问题转化为求的最小值；最后通过作点关于的对称点，利用“两点之间线段最短”，得到的最小值为的长度，代入计算即可得出最终结果． 【详解】解：如图，连接，取关于的对称点，连接． ∵四边形是正方形，且， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∴，即， ∴． ∵为对称轴， ∴，， ∴，； ∴当、、三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度； 此时； ∴的最小值为； 代入得． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查三角函数的计算，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．先根据零指数幂与负整数指数幂运算法则计算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，先将等号右边的部分移项，再提公因式求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． （1）画出将绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 【答案】（1） 作图如下， ∴即为所求图形； （2） 作图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，坐标与图形，位数图形的作图及性质，掌握坐标与图形的特点，位数图形的性质是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质作图即可； （2）根据位似比得到点的坐标，连接即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，在轴下方画出，使它与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴即为所求图形． 18. 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； （2） 解：若，则四边形是矩形．证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最大值4，再计算出和时对应的函数值，从而得到当时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后计算的值． 【小问1详解】 解：依题意，把，．分别代入， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， ∵ ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴，， ∴． 20. 陕西拥有很多中小学研学实践爱国主义教育基地，小辉计划假期和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片：A．陕西历史博物馆（西安）；B．杨家岭革命旧址（延安）；C．薛家寨革命旧址（铜川）；D．西安半坡博物馆（西安），这些卡片除正面图案不同外，其余都相同．现将这四张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． （1）若小辉随机抽取一张卡片，抽到“B．杨家岭革命旧址”的概率是 　　； （2）若小辉从中随机抽取一张卡片，放回洗匀，然后他妹妹从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算． （1）直接利用概率的计算公式进行计算即可； （2）先根据题意画树状图列出所有可能出现的结果，找出两张卡片上的基地都在西安的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可． 概率=事件A发生的情况数所有情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 共有4种等可能的结果，而抽到“B．杨家岭革命旧址”的结果有1种，则P（抽到“B．杨家岭革命旧址”）． 故答案为： 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的基地都在西安共4种， ∴抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率为． 21. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1） （2） 7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 22. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 【答案】12米 【解析】 【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米，米，米， ∴，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， 答：城墙高12米． 23. 如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【解析】 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 24. 如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，交延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，即， ∴，即． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，属于圆的综合几何题，需结合圆的性质与三角形的相关知识推导求解． （1）要证明是⊙的切线，需证．通过角平分线、等腰三角形性质、圆周角定理，推导得出，结合，即可推出，从而证明结论； （2）先利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出的长度；再利用切线性质与角的等量代换，证明，求出，再用勾股定理算出， 然后证明，得到．设，则，代入方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是⊙的直径，⊙的半径为5， ∴，． 在中，由勾股定理得：． ∵是⊙的切线， ∴， ∴，即， ∴． ∴． ∴由，即，解得． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴， ∴，即． 设，则， 则，解得，即． 25. 在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情．消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米．以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系． （1）求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？ 【答案】（1） （2）消防员应至少前进4米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，点A的坐标为，点的坐标为，第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，从而可设抛物线的解析式为，再将点A代入求出a，进而可以判断得解； （2）依据题意，设消防员应至少前进h米，则消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，点A的坐标为，点的坐标为，第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设此时抛物线的解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴． 【小问2详解】 由题意，设第二次抛物线的解析式， 将点代入，得， 解得或， ∴消防员应至少前进4米． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，则与的数量关系为________． 【问题探究】 （2）如图②，已知，请用尺规作图法，在直线上求作一点D，使得，． 【问题解决】 （3）如图③，为庆祝被誉为“中国最美公路”的独库公路通车，路政工作人员将公路与市区干道交汇处的不规则空地用鲜花进行布置，不同品种的鲜花之间需要用隐形花挡，，进行区分，经测量米，米，，弧形公路的圆心角为，在大方美观的基础上，为控制成本，试计算说明至少需要多少米的隐形花挡才能完成布置． 【答案】（1）； （2）如图，过点作，则点即为所求： ①以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于、两点； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线，交直线于． ∵在中，， ∴，即； （3）至少需要米的隐形花挡． 【解析】 【分析】本题全面考查了等腰三角形的性质与判定、含角的直角三角形性质、勾股定理、尺规作图(作垂线)、点圆最值问题、轴对称最值问题等核心几何知识点，利用轴对称的性质，将线段转化到同一条线段上是解决问题的关键． （1）在中，，，作于，则．在中，，由勾股定理得，因此； （2）已知，要使且，只需过作的垂线(垂足为)即可； （3）作点关于、的对称点、，根据轴对称性质，因此，根据“两点之间线段最短”，当、落在上时，，即为最小值；由对称性质得到是顶角为的等腰三角形，由（1）；在弧上，因此是“圆外一点到圆上点的距离”．根据圆的性质：圆外一点到圆上点的最小距离=点到圆心的距离圆的半径，由此求得的最小值，最后得到的最小值． 【详解】（1）解：，， ． 如图，作于，则，． 在中，，由勾股定理得， ． 故答案为：； （2） 略 （3）解：如图，作关于、的对称点、，连接，、，，设弧的圆心为，连接，，，，则是等边三角形． ∵作关于、的对称点、， ∴，， ∴， ∴，当、在上时取等号． ∵，，， ∴，即是顶角为的等腰三角形， 由（1）． 由（2）知为直角三角形，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴(米)； 在弧上，且点在圆外， 的最小值为米， ∴的最小值为米． 答：至少需要米的隐形花挡． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $