6.4.3 余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理 人教新课标A版 第六章 平面向量 学习目标： 1.会借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握余弦定理及其推论. 3.能够利用余弦定理及推论解三角形. 知识目标 核心素养目标 数学抽象、逻辑推理、数学运算 复习回顾 请同学们回顾 思考：三角形和向量有什么联系和区别？ 1、向量的减法： 2、向量的数量积： 问题引入 问题1：在RtΔABC中，若C=90°，三边之间满足什么关系？ 问题2：若C≠90°，三边之间还满足上述关系吗？ 问题3：三角形三边之间的关系与什么因素有关，可以用 什么方法来探究？ 在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b 和夹角 C ，如何求 c？ A B C a b c 动手操作，探究新知 追问：若已知a,c及夹角B，如何求b边？已知b,c及夹角A，如何求a? 余弦定理 　　三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 问题4：你能用文字语言概括三角形中的边角关系吗？ 由余弦定理变形得： 应用：已知三条边求角度． 思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们还可以解决什么问题？ 定理推理 思考：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？ 对比学习 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。 问题： 思考： 初中证明三角形全等的定理有SSS,SAS,ASA, AAS等。比如SAS能证明两个三角形全等,说明了什么? 说明 : 以SAS 为例，一个三角形的两边和夾角确定了，这个三角形就唯一确定 说明 : 以SAS 为例，一个三角形的两边和夾角确定了，这个三角形就唯一确定 追问： 这个三角形是唯一确定的！那么其余各边、角能否用这两边和夾角来求出来？ 问题： 探究 在 中，三个角 所对的边分别是 ，怎样用 来表示 ? 向量化 设 则 结论 新知 余弦定理： 三角形一边的平方，等于另外两边平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍。 新知 余弦定理： 变形 可以：知三边而求角 新知 余弦定理： 变形2 当A=900时，cosA=0,即为 勾股定理 新知 小组合作讨论： 考察变式2，如： ，设C为最大的内角。 当三角形分别为直角、锐角、钝角三角形时，三边有怎样的关系？ ①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2; ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2; ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2; 结论: 余弦定理的应用 三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 已知三角形的两边及一角解三角形 余弦定理的应用 例5 在三角形ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=410,解这个三角形。 需要求那些元素？ 解： 边a,角B,C 由余弦定理,得 利用计算器，可得 已知三角形的两边及一角解三角形 余弦定理的应用 例6 在三角形ABC中,a=7,b=10,锐角C满足 ，求B的余弦值。 解： 由 由余弦定理,得 由余弦定理的推论,得 得 已知三角形的两边及一角解三角形 余弦定理的应用 例7 在三角形ABC中,b=7,c= ,B=300,求a。 解： 由余弦定理 得 即a2-9a+18=0,解得a=6或a=3. 边长有两种可能,说明三角形全等的形状不确定,也说明SSA不能证明两个三角形全等. 已知三角形的两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 方法总结 余弦定理的应用 已知三边解三角形 已知△ABC中,a∶b∶c=2∶ ∶( +1),求△ABC的各内角度数. 例8 所以C=180o-A-B=180o-45o-60o=75°. 解： 由a∶b∶c=2∶ ∶( +1), 令a=2k,b=k ,c=( +1)k(k>0), 所以A=45° 所以B=60° 由余弦定理的推论,得 已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角; (2)用三角形内角和定理求出第三个角. 方法总结 余弦定理的应用 判断三角形的形状 例9 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2 ,试判断△ABC的形状. 解: 所以cosA= . 因为A∈(0,π),所以A= . (1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 所以a2=b2+c2-bc, 而a2=b2+c2-2bccosA,所以2cosA=1, 余弦定理的应用 判断三角形的形状 例9 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (2)若b+c=2a=2 ,试判断△ABC的形状. 解: (2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA, 且a= ,所以( )2=b2+c2-2bc· =b2+c2-bc,① 又因为b+c=2 ,与①联立,解得bc=3, 所以 所以b=c= , 于是a=b=c= ,即△ABC为等边三角形 (2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论: ①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2; ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2; ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2; ④若sin2A=sin2B,则A=B或A+B= . (1)判断三角形的形状时,需要使用转化思想解决问题. 一般有两条思考路线: ①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系; ②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系. 方法总结 C 1、 2、 小结： 本节主要内容： 1.余弦定理的推导（利用向量方法） 作业： P.44 2，3 $