1.2.3二次函数 y = a（x-h）²（a≠0）的图象与性质（课件）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x-h)^2\)（\(a eq 0\)）的图象与性质，通过平移\(y = \frac{1}{2}x^2\)的实例导入，从具体抛物线平移到一般结论推导，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解图象变换与函数表达式的关联。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光，通过坐标变换推导函数表达式发展推理意识，结合例题、随堂练习及中考题强化模型应用。课堂小结用表格系统梳理顶点、对称轴等性质，助力学生结构化掌握知识，提升数学思维与应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 1.2.3二次函数 y = a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 第1章 二次函数 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月30日 2026年1月30日星期五6时26分39秒 2026年1月30日星期五6时26分40秒 探究新知 把二次函数 的图象 E 向右平移 1 个单位， 得到图形 F. E l F l′ 由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象 E 在向右平移 1 个单位后： 原 像 像 抛物线E: E的顶点O（0，0） E的对称轴是直线l （与y轴重合） E开口向上 图形F也是抛物线 点O '（1，0）是F的顶点 直线l'（过点O '与y轴平行） 是 F 的对称轴 F 开口向上 抛物线 F 是哪个函数的图象呢？ 在抛物线 上任取一点 ，它在向右平移 1 个单位后，点P 的像点 Q的坐标是什么？ P Q E F 记 b ＝ a + 1， 则 a ＝b -1， 从而点 Q 的坐标为（b， (b-1)2）. 这表明： 点 Q 在函数 的图象上． 由此得出， 抛物线 F 是函数 的图象． 抛物线 F 是哪个函数的图象呢？ P Q E F F l′ 函数 的图象是抛物线 F， 它的开口______， 顶点是 ____________， 对称轴是过点 O′（1， 0） 且平行于 y 轴的直线 l′． 直线 l′ 是由横坐标为 1 的所有点组成的，记作___________． 向上 O′（1，0） 直线 x ＝ 1 二次函数 y ＝ a （ x - h ）2 的图象是抛物线， 它的对称轴是直线 x ＝ h ， 它的顶点坐标是（h，0）． 当 a ＞ 0时，抛物线的开口向上； 当 a ＜ 0 时，抛物线的开口向下． 结论 由于我们已经知道了二次函数 y ＝ a（x - h ）2 的图象的性质， 因此今后在画 y ＝ a（x - h ）2 的图象时， 只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分， 然后利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分．在画右边部分时， 只需“列表、描点、连线” 三个步骤. 画函数 y ＝ （ x － 2 ）2 的图象． 解 抛物线 y =（x - 2）2 的对称轴是 x = 2， 顶点坐标是（2，0）. 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 2 开始取值. x 2 3 4 5 … y=(x-2)2 0 1 4 9 … 描点和连线： 画出图象在对称轴右边的部分． 利用对称性， 画出图象在对称轴 左边的部分． 这样就得到了 y ＝ (x－2 )2的图象. y ＝( x－2 )2 1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （1） ； （2） y ＝ － 3( x ＋ 2 )2. （1）对称轴 x = 5，顶点坐标（5,0），开口向上 （2）对称轴 x = -2，顶点坐标（-2,0），开口向下 随堂练习 2.分别画出二次函数 y ＝ -( x – 1 )2 ， 的图象. y ＝ -( x – 1 )2 随堂练习 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　) ①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)；⑤图象不经过第二、三象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 返回 C 中考考法 13 2．如图，小芳在坐标系内画出了y＝a(x＋3)2的图象，则她所选择的坐标原点是(　　)  A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 C 返回 中考考法 14 3．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　) A．(m，n＋1) B．(m＋1，n) C．(m，n－1) D．(m－1，n) 返回 D 中考考法 15 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　) B 返回 中考考法 16 返回 b<c<a 中考考法 17 返回 6. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征： 小明：函数图象的顶点在x轴上； 小智：当自变量取1，3时，函数值相等； 小文：函数有最大值． 请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：_______________________． y＝－(x－2)2(答案不唯一) 中考考法 18 7．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M. 中考考法 19 (1)求a，h的值； 【解】∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2， ∴a＝－3，4－6＝h，∴h＝－2. 中考考法 20 (2)求S△MAB的值． 返回 中考考法 21 课堂小结 抛物线 y=a(x-h)2(a>0) y=a(x-h)2(a<0) 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 （h，0） （h，0） 直线 x = h 直线 x = h 向上 向下 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 当 x = h时,最小值为0 当 x = h时,最大值为0 5．[2025长沙岳麓区期末]若A(－4，a)，B(－2，b)，C(1，c)为二次函数y＝(x＋1)2的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是____________(用“<”连接)． 【解】∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，∴点A(4，0)，B(0，－48)．∵抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0)．∴S△MAB＝×|4－(－2)|×|－48|＝144. $