整式的乘法 寒假专项训练-2025-2026学年上学期 人教版数学八年级上册

整式的乘法 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．在，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 4．已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 5．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（    ） A． B． C．48 D．24 6．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 7．下列各式①；②；③；④；⑤，运算正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．若整式是一个完全平方式，则常数 ． 9．已知实数a，b满足，则 ． 10．已知实数x满足，则的值是 ． 11．已知实数a，b满足，，且a≠b，则的值为 ． 12．已知．若，则的值是 ． 13．观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 14．观察下列各式：；；，那么 ． 15．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ． 16．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（1）化简求值：，其中、满足． （2）若、、满足，且，求的值． 19．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，后求值：，其中，，． 20．若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 21．已知a，b，c为实数，且多项式能被多项式整除， （1）求的值； （2）求的值； （3）若a，b，c为整数，且，试确定a，b，c的值． 22．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； (3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 23．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． (2)利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． (3)如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 24．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 25．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D A A A D A 1．C 本题考查幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法和合并同类项． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 解：选项A： ，∴ A错误. 选项B： ，∴ B错误. 选项C： ，∴ C正确. 选项D： ，∴ D错误. 故选：C． 2．D 本题考查指数运算法则，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方等．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，逐项判断，即可求解． 解：选项A∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项B∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项C∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项D∶ ， 故本选项正确，符合题意． 故选：D 3．A 本题考查了实数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，据此判断即可求解． 解∵ ，，，， ∴ ， 即， 故最大数为， 故选：A． 4．A 本题主要考查了同底数幂乘除法运算，平方差公式．根据同底数幂乘除法法则，平方差公式，逐项判断，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∵，，即，， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：A 5．A 本题考查了完全平方式的结构特征以及单项式除以单项式的运算，解题关键是根据完全平方式的系数关系求出的值，再代入代数式计算． 先根据完全平方式的结构特征求出的值，再代入代数式进行计算，最后判断选项． 解：∵ 能写成一个二项式的平方， ∴ ， ∴ ． 又 ∵ ， 代入 ，得 ． ∴ 值为 ． 故选：A． 6．D 本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 解：， ∴， 故选D． 7．A 本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法和积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应式子的结果即可得到答案． 解：①，原式计算错误； ②，原式计算错误； ③，原式计算正确； ④，原式计算错误； ⑤，原式计算错误； 故选：A． 8．或 本题考查了完全平方公式；根据完全平方式，整式应能写成的形式，通过比较系数求解． 解：设完全平方式为，展开得． 与给定整式比较系数，得 当时，； 当时，． 故答案为：或． 9． 本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 解：∵， ∴ 故答案为：． 10． 本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 通过换元法简化计算，利用完全平方公式展开并合并同类项求解． 解：设 ，则 ，， 代入原方程得： ∴． 故答案为：． 11． 本题综合考查了平方差公式、等式的基本性质以及一元二次方程的求解等知识． 可先根据已知条件得到关于、的等式，再通过变形求出的值． 解：已知，， 将两式相减可得： 去括号得： 合并同类项得：． 对因式分解得； 对提取公因式得． 则． 因为，所以，等式两边同时除以， 可得：． 故答案为：． 12．3 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． ，，， ，， ， ， ， ， ． 13． 本题主要考查多项式乘法的展开式中系数的规律问题，理解题目中各项的次数，系数之间的关系是解题的关键．观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8，9，10，11的等式右边各项的系数，可推出的展开式含项的系数． 解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8，9，10，11的等式， 右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1； 1，11，55，165，330，462，330，165，55，11，1； ∴的展开式中含项的系数是， 故答案为：． 14． 此题考查多项式乘法的规律探究，通过观察已知等式，左边是乘以一个从到的等比数列求和形式，右边是，从而得出一般结论 由已知等式：， ， ， 可知，对于正整数，有：， 故答案为 15．34 本题考查完全平方公式的应用．利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值． 解： ， S为“完全式”， ， ， 故答案为：34． 16． 本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （3）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． （1）解：原式. （2）解：原式 ． （3）解：原式 . （4）解：原式 ， ， ． 18．（1），；（2） 本题考查了整式的混合运算求值，涉及到非负性、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式、平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式展开，再合并同类项得出化简结果，然后根据非负性及完全平方公式求出，最后代入计算即可得出答案； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则展开合并得出，，再根据完全平方公式及等量代换即可得出，最后求平方根即可得出答案． 解：（1） ， ， ，， ，， ， ， ， 原式； （2）， ， ，， ， ， ， ， ， ． 19． （1），；（2）， 本题考查整式的化简求值，需要运用整式的乘法、除法和合并同类项等运算法则，先将表达式化简，再代入数值计算 解：（1） ； 当 时， 原式 ； （2） ； 当 ， 时， 原式 ． 20．(1) (2) 本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． （1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 21．（1）12；（2）14；（3）a=2，b=-7，c=4 （1）由于多项式能被多项式整除，则说明，求出的x也能使，从而得到关于a、b、c的两个等式，对两个等式变形,可得4a+c=12③； （2）由③可得a=3-④，把④代入①，可得b=-4-c⑤，然后把④⑤同时代入2a-2b-c即可求值； （3）由于c≥a＞1，又a=3-，可知1＜3-＜3，即可求出c的范围，但是a、c是大于1的正整数，且a=3-，即可求出c，从而即可求出a，b． 解：（1）是的一个因式， ∴，解得x=-4，x=1， 即x=-4，x=1是方程的解， ∴， ①×4+②得4a+c=12③； （2）由③得a=3-④， 代入①得b=-4-c⑤， ∴2a-2b-c=2×（3-）-2（-4-c）-c=6-+8+-c=14； （3）∵c≥a＞1，又a=3-， ∴a=3-＜c， 即1＜3-＜c， 解得＜c＜8， 又∵ a、c是大于1的正整数， ∴c=3、4、5、6、7，但a=3-，a也是正整， ∴c=4， ∴a=2， ∴b=-4-c=-7， 综上：a=2，b=-7，c=4． 【点睛】本题考查的是多项式除以多项式，理解整除的含义是解题关键． 22．(1) (2)方法1：；方法2： (3) (4)17 本题考查了代数式的几何意义，完全平方公式的应用，用两种不同的方法表示同一图形的面积是解题的关键． （1）直接写出阴影部分的正方形的边长即可； （2）按题目要求回答即可； （3）根据（2）问中的两个结论用等式表示出来即可； （4）结合图形，通过图形拼补即可表示出阴影部分的面积． （1）解：图1中每个小长方形的长为宽为，图2中阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，即， 故答案为：； （2）解：方法1：直接用正方形面积公式，边长为，面积为； 方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积．大正方形边长为，面积为；4个小长方形面积为,因此阴影面积为； 故答案为：，； （3）解：由阴影面积的两种表示方法，可得：； 故答案为：； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ， ， ∵， ∴， ， ∴阴影部分面积． 23．(1) (2)①62；②80 (3)11 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据正方形面积的两种计算方法即得答案； （2）①直接利用（1）中的公式计算即可；②把和看作整体，利用（1）的公式计算即可； （3）设正方形和正方形的边长分别为x和y，则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，然后根据已知求得，再根据计算即可． （1）解：阴影部分的面积既可以表示为，又可以表示为， 即． 故答案为：． （2）解：①当时， ． 故答案为：62． ②， 当，时， ； （3）解：设正方形和正方形的边长分别为x和y， 则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，且，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即长方形的面积为11． 24．(1)或 (2) 本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． （1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 25．(1) (2) (3) 本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． （1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $