6.2.4 向量的数量积 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4 向量的数量积 导学案（学生版） 教材知识提炼： 【1】平面向量的数量积的有关概念 平面向量的数量积 向量夹角 已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角，也常用 表示 向量夹角范围是 ，若，则称与 ，记作： .若，则称与 ，若，则称与 . 两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做与的数量积（或内积），记作 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． 向量数量积的性质 （1） （2）当与同向时，；当与反向时， ；特别地， 或 （3），当且仅当时，等号成立 （4） 向量数量积的运算律 交换律：⑧ 数乘结合律：（ ） 分配律： 投影与投影向量 向量在向量上的投影向量为 【2】投影向量几何意义的解释： （1）如上左图，设是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，叫做向量在向量上的 ，记为 . （2）如上右图，在平面内任取一点O，作，，过点M作直线ON的垂线，垂足为，则 就是向量在向量上的投影向量．设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为． 基于教材的训练： 一、单选题 1．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 3．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 7．已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 10．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 11．已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 三、填空题 12．已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 13．若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 14．若非零向量满足，，则 ． 四、解答题 15．已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 16．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 17．已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 18．已知平面向量，，且.求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值. 19．如图，等腰梯形中，，，．    (1)求； (2)求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4 向量的数量积 导学案（详解版） 教材知识提炼： 【1】平面向量的数量积的有关概念 平面向量的数量积 向量夹角 已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角，也常用表示 向量夹角范围是，若，则称与垂直，记作：.若，则称与，同向若，则称与反向. 两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． 向量数量积的性质 （1）（2）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或 （3），当且仅当时，等号成立 （4） 向量数量积的运算律 交换律： 数乘结合律：（） 分配律： 投影与投影向量 向量在向量上的投影向量为 【2】投影向量几何意义的解释： （1）如上左图，设是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，叫做向量在向量上的投影向量，记为. （2）如上右图，在平面内任取一点O，作，，过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为． 基于教材的训练： 一、单选题 1．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 2．如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】应用向量数量积的定义及圆的性质求数量积即可. 【详解】由，由圆的性质知， 所以. 故选：C 3．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 4．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】根据向量垂直和向量的数量积定义进行计算即可. 【详解】依题意，因为，所以， 解得，由于，均为单位向量， 所以，所以与的夹角为. 故选：C. 5．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、已知模求参数 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 6．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量、数量积的运算律 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 7．已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、已知数量积求模 【分析】利用数量积的运算律求得，再结合数量积的定义即可求解. 【详解】由题意，则， 设与的夹角为，则， 显然最大值为，此时. 故选：C 8．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知模求数量积、向量夹角的计算 【分析】由得，所以为0或锐角，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为为单位向量，所以两边平方得， 所以，而，所以为0或锐角， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：B. 二、多选题 9．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】由条件得到是等边三角形，进而得到 ，，，．再结合数量积的运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，． 因为， 所以是等边三角形， 所以，，，． ，故A正确． ，故B错误． 设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确． 因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 10．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 11．已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】A数乘向量为零向量可得；B根据数量积的运算律判断；C根据数量积的运算律可得或；D求证. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，因，则， 故，故B正确； 对于C，若，则，则或，故C错误； 对于D，， 则，故D正确． 答案：ABD 三、填空题 12．已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 13．若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、零向量与单位向量 【分析】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 14．若非零向量满足，，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 四、解答题 15．已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【答案】(1)12 (2) (3) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】（1）先计算，再结合数量积的运算律即可； （2）利用向量的求模公式即可； （3）先计算，再利用公式计算. 【详解】（1）由题意可知，， 则； （2）； （3）， 则， 因，则， 故与的夹角为 16．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积 【分析】（1）应用向量数量积的运算律及定义求数量积； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求参数值. 【详解】（1）由； （2）由，则， 所以，可得. 17．已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）根据平面向量的运算律可得，然后结合二次函数求解即可 . 【详解】（1）由，，可得， 又，所以， 又，所以. （2）因为，， 所以， 所以的最小值为，此时． 18．已知平面向量，，且.求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、求投影向量、数量积的运算律 【分析】（1）由已知可得，再由投影向量的公式求解即可； （2）由求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 解得， 所以向量在向量上的投影向量为； （2）因为 . 19．如图，等腰梯形中，，，．    (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】（1）用表示，根据模长关系结合数量积的运算律可得，结合夹角公式运算律求解； （2）根据（1）中结论结合数量积的运算求解 【详解】（1）由题意可知：，， 则， 可得， 即， 可得，即， 则， 且，所以. （2）由（1）可得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $