专题 19.4 二次根式及其性质（专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.4 二次根式及其性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·周测）下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 7．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 8．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 9．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 10．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）设+···+，则不超过m的最大整数为（ ） A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 12．（25-26八年级上·吉林长春·周测） ． 13．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ． 14．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 15．（25-26九年级上·湖南·月考）已知，化简： ． 16．（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 17．（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为 ； 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为 （ 填序号即可 ） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏扬州·月考）求值与计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·四川巴中·月考）利用所学知识完成以下两题． (1)已知： 有意义，求的值． (2)已知，求： ①k、m、n的值是多少？ ②的值． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 23．（本小题满分10分） （25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 24．（本小题满分12分） （25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.4 二次根式及其性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 2．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 解：当时，二次根式， 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·周测）下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】C 【分析】依次计算每个选项，判断其正确性． 解：A、∵ 表示算术平方根，∴，故A错误； B、∵，两边同时6次方，得，即，整理得，解得或，∴“则”的说法错误，故B错误； C、∵，，∴，故C正确； D、∵，∴，∴，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 8．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 9．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，二次根式的性质．利用三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内的符号，进而化简代数式． 解：，，为的三条边， ，（三角形两边之和大于第三边）， ，， ， ， 原式． 故选：． 10．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）设+···+，则不超过m的最大整数为（ ） A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，能正确化简是解题的关键． 首先将化简，可得，然后再代入原式计算，即可得答案． 解： ， ， 不超过m的最大整数是2026， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 解：把代入得： 原式； 故答案为：． 12．（25-26八年级上·吉林长春·周测） ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的大小比较，绝对值的化简，根据题意得出，然后化简绝对值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可. 解：∵且是整数， ∴是完全平方数， ∴正整数n的最小值是2. 故答案为：2. 14．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 15．（25-26九年级上·湖南·月考）已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合的取值范围确定化简后每个绝对值的值，最后进行有理数运算． ， ， ，， ∴原式． 故答案为：． 16．（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 17．（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为 ； 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为 （ 填序号即可 ） 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ 前8项为从开始依次减2直到1，故前8项的和为64； 从第9项起为从1开始依次加2，直到，和为， 则， 当时，； ； （n为正整数，舍去负值）； ，故③正确； 故③正确， 所以，正确的结论是①③， 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏扬州·月考）求值与计算： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根定义解方程，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据平方根定义解方程即可； （2）根据二次根式性质，绝对值意义，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． （1）解：， 方程两边同乘2得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各数，然后计算加减即可； （2）根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质等计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·四川巴中·月考）利用所学知识完成以下两题． (1)已知： 有意义，求的值． (2)已知，求： ①k、m、n的值是多少？ ②的值． 【答案】(1)5 (2)①4；5；1  ②3 【分析】本题考查了二次根式有意义，积的乘方，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据有意义，求出，再求出，然后代入进行计算，即可作答． （2）①因为，故，则，即可作答． ②把代入进行计算，即可作答． （1）解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：①∵， ∴， 即， ∴， 则， 解得， ②由①得， ∴． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． （1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 23．（本小题满分10分） （25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． (1)若，求的值； (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，绝对值化简，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）将代入所给式子求出三角形的三边长度，再求解三角形的周长即可； （2）根据二次根式有意义的条件以及性质，结合绝对值性质化简所给式子，再求解三角形的周长即可． （1）解：当时，， ， ． ∴； （2）解：根据题意，得且， ∴，则，， ∵， ∴， ∴ ． 24．（本小题满分12分） （25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）（2）（3）根据规律运算即可； （1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $