江苏省2026年中职职教高考文化统考《数学高频考点冲刺卷》（九）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据江苏省职教高考公共课考试大纲编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第9卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 江苏省2026年中职职教高考文化统考 数学 高频考点冲刺卷（九） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．集合A＝且的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3． 2．设i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 4．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．计算：（   ） A．120 B．240 C．60 D．480 7．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的表面积为（   ） A．5 B． C． D． 8．正方形的边长为2，则（    ） A． B．2 C． D．4 9．已知圆与直线交于、两点，过、分别作轴的垂线，且与轴分别交于、两点，若，则（    ）． A．3 B．2 C． D．1 10．已知直线：与直线：，且，则的最小值为（   ）. A．15 B． C．12 D． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数的图象向右平移得到函数的图象，则在上的增区间为 . 12．在数列中，，，则 . 13．已知双曲线的中心在原点，渐近线为，且过点，则双曲线的标准方程为 ． 14．如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线与所成的角为 ． 15．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．已知函数. (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数的图象恒在的上方，求的取值范围. 17．若为上的奇函数，且时，． (1)求在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 18．某中职学校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名参加．现已知高一某艺术班36名同学中，有2名男同学和4名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校．现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流活动（每名同学被选到的可能性相同） (1)若在该班随机选取2名同学，求这2名同学都参加摄影社的概率； (2)求从这6名同学中选出的2名同学代表中恰有1名男同学的概率； (3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率． 19．在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求； (2)求的周长L和面积S． 20．货运卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制（单位：）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． (1)这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 21．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 22．已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式及其前n项和； (2)设求数列前 n项和. 23．已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆的左，右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点．若，且点满足，求面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据江苏省职教高考公共课考试大纲编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第9卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 江苏省2026年中职职教高考文化统考 数学 高频考点冲刺卷（九） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．集合A＝且的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3． 【答案】B 【分析】根据真子集的个数为（表示集合中元素的个数）进行计算即可. 【详解】因为集合A＝且， 集合有个元素，所以真子集的个数为个. 故选：B. 2．设i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先化简复数，再根据实部与虚部相等求参数. 【详解】因为， 则，解得. 故选：A. 3．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 4．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 【详解】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 即三角形的一个角为不能推出该三角形为等边三角形， 等边三角形可以推出该三角形的三个角均为， 所以“有一个角是”是“是等边三角形的必要不充分条件”. 故选：. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式即进行求解即可. 【详解】, 又， 故选：D. 6．计算：（   ） A．120 B．240 C．60 D．480 【答案】A 【分析】根据组合数的计算求解即可. 【详解】. 故选：A. 7．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的表面积为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正四棱锥的定义和表面积公式，即可代入求解． 【详解】由正四棱锥的侧棱长为1，底面周长为4，底面正方形边长为， 所以这个棱锥的表面积是四个边长为1的等边三角形的面积与底面积之和， 所以这个棱锥的表面积． 故选：D． 8．正方形的边长为2，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量的减法法则和向量模的概念求解. 【详解】正方形的边长为2， 所以． 故选：B． 9．已知圆与直线交于、两点，过、分别作轴的垂线，且与轴分别交于、两点，若，则（    ）． A．3 B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】将直线方程与圆的方程联立，消去，设出点、两点的坐标，利用根与系数的关系，结合进行求解即可. 【详解】直线方程与圆的方程联立得：，设，，所以有， 因此有， 因为，所以 或不符合不等式（*）舍去. 故选：D 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了已知线段长求参数问题，考查了数学运算能力. 10．已知直线：与直线：，且，则的最小值为（   ）. A．15 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】先根据两直线垂直的性质得出与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解. 【详解】已知直线与直线，且， 可得，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数的图象向右平移得到函数的图象，则在上的增区间为 . 【答案】 【分析】可先将原函数化简，再根据函数图象平移规律得到的表达式，最后根据正弦函数的单调性求出在上的增区间. 【详解】，将其图像向右平移， 则， 由， 解得， 结合，可得， 所以在上的增区间为， 故答案为：. 12．在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及裂项相消法求解即可. 【详解】因为，故可得，，…，，及， 累加可得. 则，当时，上式也成立， 所以， 则. 故答案为：. 13．已知双曲线的中心在原点，渐近线为，且过点，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程设出双曲线的标准方程，再将所过点代入即可得解. 【详解】因为双曲线的中心在原点，渐近线为， 所以可设双曲线方程为， 将代入双曲线方程得，解得， 所以双曲线方程，即. 故答案为：. 14．如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线与所成的角为 ． 【答案】 【分析】取中点为，连接，得出为直线与所成的角或补角，再由直三棱柱的几何特征结合余弦定理求值即可. 【详解】取中点为，连接， 为直三棱柱，且P为的中点， ，四边形为平行四边形， ，故为直线与所成的角或补角， 设，为直三棱柱， 平面，平面，平面， ， 则， ，且，， ，， ， ， 设直线与所成的角为， ，由， 所以直线与所成的角为. 故答案为：. 15．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】等价转化为函数与的图象有两个交点，作出图形可得结果. 【详解】方程恰有两个不同的实数解等价于函数与的图象有两个交点. 当时，，单调递增，由，所以，又，所以 当时，，单调递减，若，则，所以 作出图象如下：    所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．已知函数. (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数的图象恒在的上方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集求出的值，再根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据题意，令恒成立，分类讨论即可得解. 【详解】（1）函数，由的解集为或， 可得，解得，， 不等式即为， 不等式可化为，解得， 故不等式的解集为. （2）由题意可得， 即恒成立， 当，即时，满足题意， 当，则，解得， 综上，的取值范围为. 17．若为上的奇函数，且时，． (1)求在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（）根据题意令，则，结合奇函数的性质即可得解. （）任取，令，结合函数单调性的定义即可得解. （）根据奇函数的性质得出函数在上单调递减，结合减函数的性质列出不等式即可得解. 【详解】（1）因为为上的奇函数，时，， 令，则，， 因为为奇函数，则， 所以. （2）任取，令， 则， ， 所以， 则函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则函数在上单调递减， ， 所以，解得， 所以解集为. 18．某中职学校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名参加．现已知高一某艺术班36名同学中，有2名男同学和4名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校．现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流活动（每名同学被选到的可能性相同） (1)若在该班随机选取2名同学，求这2名同学都参加摄影社的概率； (2)求从这6名同学中选出的2名同学代表中恰有1名男同学的概率； (3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，该班36名同学中共有6名同学参加摄影社， 所以在该班随机选取2名同学，这2名同学都参加摄影社的概率为． （2）由题意从6名同学中选出的2名同学代表共有（种）等可能的结果， 其中恰有1名男同学的结果有（种）， 根据古典概率计算公式，从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名男同学的概率为． （3）从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率为． 19．在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求； (2)求的周长L和面积S． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求出B，从而可求其余弦值； （2）利用余弦定理求出b，从而可求三角形周长L，利用三角形面积公式可求其面积． 【详解】（1），； ； ； （2），， 根据余弦定理得：， （负值舍去）； 周长， 又， 由三角形面积公式得：． 20．货运卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制（单位：）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． (1)这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 【答案】(1)（） (2)， 【分析】（1）先得到行车时间，再分别计算汽车费用和司机费用，即可解得. （2）根据基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）依题意，得到行车时间为（时）， 汽油费用为，司机的工资为， 所以这次行车总费用， 即（）. （2）， 当且仅当时，等号成立，此时，满足， 所以km/h时，总费用最低，最低费用为. 21．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，可知（或其补角）是异面直线与所成的角； （2）先找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再根据直角三角形的性质求解正切值； （3）根据三棱锥体积公式进行计算. 【详解】（1）在正方体中，， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 因为正方体的各棱长都相等，且，是等腰直角三角形， 所以，即异面直线与所成的角为. （2）因为平面，所以是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成的角. 在正方形中，，则， 所以，又因为， 在中，. （3）在正方形中，，则，， 则， 又平面，， 所以三棱锥的体积. 22．已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式及其前n项和； (2)设求数列前 n项和. 【答案】(1) ，. (2). 【分析】（1）由递推关系判断数列为等差数列，结合等差数列的通项公式和前项和公式即可得解. （2）先对进行化简,结合裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以是首项，公差的等差数列， 所以，. （2）， 因为，， 所以， . 23．已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆的左，右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点．若，且点满足，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据椭圆的离心率可得a与c的关系，再将点代入椭圆方程，结合椭圆中的关系，即可得出答案． （2）分情况：直线的斜率为0和直线的斜率不为0，两种情况讨论最小值即可． 【详解】（1）因为椭圆的离心率， 所以，即，则有， 在椭圆中，，即， 又因为椭圆经过点，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得， 若直线的斜率为0，则直线的方程为，与直线无交点，不满足条件， 设直线的方程为， 若，则不满足，所以， 设， 由，得， 所以， 因为，即， 则， 所以， 解得，代入直线，即， 得到，又，所以， 直线的方程为， 联立，解得，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $