江苏省2026年中职职教高考文化统考《数学高频考点冲刺卷》（四）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据江苏省职教高考公共课考试大纲编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 江苏省2026年中职职教高考文化统考 数学 高频考点冲刺卷（四） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．若集合，集合，则是（     ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部等于（　　） A．1 B． C． D． 3．“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 6．已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量和的夹角为，且，则（   ） A． B． C．3 D．9 9．已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的一条准线经过抛物线的焦点，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数（，且）的图像恒过点，正实数p，q满足，则的最小值是（    ） A．9 B．12 C．3 D．6 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知函数（，）的部分图象如图所示，则 ．    12．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则 ． 13．设抛物线的焦点为F，准线为l，则以为圆心且与l相切的圆的标准方程为 ． 14．如图，正方体中，，分别是棱与的中点，则直线与直线所成的角的大小是 . 15．已知函数，则 ；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是 . 三、解答题（本大题共8小题，共90分）   16．设实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 17．已知是定义上的奇函数，当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 18．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件． (1)求两件产品都是正品的概率； (2)求恰好有一件是正品的概率； (3)求至少有一件是正品的概率． 19．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 20．如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，且满足，，    (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值. 21．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．已知椭圆的离心率为，长轴长为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过x轴上点P的直线交椭圆E于A，B两点，点C是点A关于x轴的对称点. ①若，，求过坐标原点作外接圆切线的长度； ②若直线与x轴交于点R，求证：为定值. 23．在∆ABC中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求∆ABC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据江苏省职教高考公共课考试大纲编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 江苏省2026年中职职教高考文化统考 数学 高频考点冲刺卷（四） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．若集合，集合，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、区间的定义与表示 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合并集的定义即可得解. 【详解】，解得， 所以，集合， 则， 故选：. 2．已知复数满足，则的虚部等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数除法的代数运算 【分析】根据复数的运算法则求出，进而可得的虚部． 【详解】复数满足，则， 则的虚部等于． 故选：C． 3．“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式、由对数（型）函数的定义域求参数 【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则恒成立，所以，解得， 由成立得一定成立，反之成立时，不一定成立， 所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据平行四边形的几何性质和向量运算性质，即可求出. 【详解】在平行四边形中，对角线， 又， ， 已知，则. 故选：C. 5．函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】求含cosx（型）的二次式的最值及对应x值、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】先利用二倍角公式及诱导公式化简函数的解析式，再利用二次函数的性质求解. 【详解】函数， ∵， ∴当时，函数取最小值，即. 故选：B. 6．已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】组合数方程或不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，， 因为，所以， 所以，得. 故选：C. 7．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】利用圆柱和圆锥的侧面积相等列式求得圆锥的母线，从而求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设圆柱和圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，它们的高都为， 因为圆柱和圆锥的侧面积相等，所以，即，解得4， 则由，即，解得（负值舍去）. 所以圆锥的体积为. 故选：D. 8．已知向量和的夹角为，且，则（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【知识点】用定义求向量的内积、内积的运算律 【分析】根据向量内积的运算律和定义计算即可. 【详解】向量和的夹角为，且， 则. 故选：C. 9．已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的一条准线经过抛物线的焦点，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦点坐标、求椭圆的顶点坐标、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由双曲线的一条准线经过抛物线的焦点可知，双曲线的焦点在x轴，且，根据双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点可知，双曲线的焦点为，，据此可求双曲线的，从而得解. 【详解】由抛物线可知，其焦点为， 因为双曲线的一条准线经过抛物线的焦点， 所以双曲线的焦点在x轴，设其方程为， 由椭圆方程可知，左右顶点为， 因为双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点， 所以双曲线的焦点为，. 由准线方程可得，， 从而. 所以双曲线方程为. 故选：D. 10．已知函数（，且）的图像恒过点，正实数p，q满足，则的最小值是（    ） A．9 B．12 C．3 D．6 【答案】D 【知识点】指数型函数图象过定点问题、利用基本不等式求最值 【分析】首先由指数函数性质确定定点坐标，结合基本不等式确定的最小值. 【详解】由指数函数性质，函数恒过定点， 所以，， 由题可知，，且，， 由基本不等式可知，， 等号当且仅当，结合，即时成立， 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知函数（，）的部分图象如图所示，则 ．    【答案】 【知识点】由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式 【分析】根据图象分求得函数解析式，然后代值计算即可. 【详解】由图可知：，所以， 又， 所以， 由，所以当时，，所以， 则. 故答案为： 12．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则 ． 【答案】10 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，代入等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意得，等比数列中，成等差数列，则， 即，所以，解得（不合题意，舍去）， 所以. 故答案为：. 13．设抛物线的焦点为F，准线为l，则以为圆心且与l相切的圆的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先求出焦点F，以及准线l，再求出半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】因为抛物线，所以焦点，准线. 所以焦点到准线的距离为，即半径为2. 则则以为圆心且与l相切的圆的标准方程为. 故答案为：. 14．如图，正方体中，，分别是棱与的中点，则直线与直线所成的角的大小是 . 【答案】 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角 【分析】首先找出直线与直线所成的角，再分析其所在的三角形，进而得到角的大小. 【详解】 连接,. 因为，分别是棱与的中点， 所以. 因为 所以四边形是平行四边形，进而. 因为，，则即为与所成的角. 又因为，所以为， 所以直线与所成的角为. 15．已知函数，则 ；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图象的应用、利用函数单调性求最值或值域、根据函数零点的个数或分布求参数 【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空. 【详解】易知， 又时，单调递减，且， 时，单调递减，且， 作出函数的图象如下： 所以方程有两个不同解即函数与有两个不同交点， 显然. 故答案为：； 三、解答题（本大题共8小题，共90分）   16．设实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1). (2). 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的含绝对值的不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（）解含绝对值的不等式即可得解. （）根据对数函数的性质列出不等式组即可得解. 【详解】（1）由，解得得， 即的取值范围为. （2）因为的取值范围为， 所以函数在定义域上为减函数， 则不等式，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 17．已知是定义上的奇函数，当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、函数基本性质的综合应用 【分析】（1）利用奇函数的性质，求时，的解析式，据此可得解； （2）利用奇函数的性质，判断函数的单调性，将原不等式转化为，根据单调性列不等式可求解. 【详解】（1）在函数，当时，. 令，则，， 因为是定义在R上的奇函数， 所以， 故； （2）当时，，其对称轴为，且开口向上， 所以函数在单调递增. 因为奇函数关于原点对称且，所以函数在上为增函数. 由，可得 ， 从而有，解得， 故的取值范围为. 18．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件． (1)求两件产品都是正品的概率； (2)求恰好有一件是正品的概率； (3)求至少有一件是正品的概率． 【答案】(1)0.912 (2)0.086 (3)0.998 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的概率公式 【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式求解； （2）利用相互独立事件概率的乘法公式与互斥事件的概率公式求解； （3）利用互斥事件概率的加法公式求解. 【详解】（1）两件产品都是正品的概率为. （2）恰好有一件是正品的概率为. （3）由（1）（2）得至少有一件是正品的概率为． 19．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式、其它常见函数模型的应用 【分析】（1）根据题意得到总利润的函数关系式，，配方后得到最大值； （2）根据题意得到A与的总利润为，建立不等式，即求出A售价的最小值. 【详解】（1）由题意得，折扣为时，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）依题意，销售的利润为， A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 20．如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，且满足，，    (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意证平面，即可证出为直角三角形并求面积，再证平面即可得到三棱锥的高，最后代体积公式求解即可. （2）作两平面交线的一条垂线，再由线面垂直找到另一个平面上的垂线，即可得到二面角的平面角，求出平面角所在三角形三边长， 再根据直角三角形中余弦定义求解即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，且， 平面，， 所以平面，且平面， 所以，所以. 又因为四边形为矩形，所以， 且平面，， 所以平面， 所以 （2）取中点记为，连接，    因为，， 所以在等腰直角中，， 且， 又因为平面，所以， 且平面，， 所以平面，所以， 所以即二面角的平面角， 又因为 所以. 21．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等差数列的定义及判定、等比数列的定义及判定 【分析】（1）构造数列并证明其等比数列，由的通项公式得到的通项公式即可. （2）结合已知条件求出数列的通项公式，判断数列是等差数列，根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）由得， 令，则，且， 所以是首项为 、公比为 的等比数列， 则，所以 . （2）由（1）得，所以 ， 则，所以数列是首项为、公差为的等差数列， 所以数列的前项和. 22．已知椭圆的离心率为，长轴长为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过x轴上点P的直线交椭圆E于A，B两点，点C是点A关于x轴的对称点. ①若，，求过坐标原点作外接圆切线的长度； ②若直线与x轴交于点R，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①1；②证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程、切线长及与切线有关的长度、面积等问题 【分析】（1）利用离心率和长轴长求出a、b，代入标准方程即可求解. （2）①先由点A和P确定直线l，求出交点B，可求出线段的中垂线方程，从而求外接圆圆心和半径，结合原点到圆心距离求切线长即可求解； ②设点A和B的坐标，利用对称性得到点C的坐标，从而得到直线的方程，从而推导R坐标和P坐标，最后根据已知的椭圆方程计算可证其为定值即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以，得. 因为椭圆长轴长为，所以，， 所以椭圆E的标准方程为. （2）①因为，，且过x轴上点P的直线交椭圆E于A，B两点， 所以直线的方程为， 将直线代入椭圆方程，得，解得. 因为，， 所以可求得线段的中垂线方程为，令，得. 设∆ABC外接圆的圆心为N，半径为r，可知，. 所以切线长为. ②设点，，则. 所以直线的方程为， 令，得，即点，同理， 所以. 因为点，在椭圆上， 所以，， 所以， 所以为定值. 23．在∆ABC中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求∆ABC的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及应用、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，将方程转化为关于角的三角恒等式，利用角度和为的性质简化方程即可求解. （2）通过联立余弦定理和代数方程，求出边长的乘积，直接代入面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知，，为外接圆半径， 代入可得， 在∆ABC中，， 所以，所以， 由于，故，代入得， 利用，方程可变为， 又，所以，即，解得，则. （2）利用余弦定理可得， 由，，可得，即， 又，代入得， 所以∆ABC的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $