专题06因式分解寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题06因式分解寒假预习讲义 1.吃透因式分解的核心定义，分清它与整式乘法的“逆运算”关系，不混淆、不踩坑； 2.熟练掌握提公因式法，精准锁定公因式，提得快、提得准； 3.牢记平方差、完全平方两大公式，灵活套用，轻松分解各类多项式； 4.学会综合运用两种方法，避开常见易错点，夯实基础，为新学期分式、一元二次方程学习抢占先机！ 必备知识 点梳理 1.因式分解的定义 2.因式分解的基本方法 3.十字相乘法 4.因式分解的一般步骤 常考题型 精讲精炼 1.因式分解的概念辨析 2.由因式分解的解果求参数 3.公因式的概念与确定 4.提公因式法分解因式 5.公式法分解适用条件判断 6.平方差公式分解因式 7.完全平方公式分解因式 8.公式法的综合运用 9.提公因式与公式法综合 10.实数范围内的因式分解 11.因式分解在简算中的应用 12.十字相乘法分解因式 13.分组分解法分解因式 14.因式分解的综合应用 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.因式分解的定义】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式。 ✅核心关键点： 1.因式分解的对象是多项式，单项式无需因式分解； 2.结果必须是整式的积（整式包括单项式和多项式）； 3.因式分解是恒等变形，与整式乘法是互逆运算（整式乘法：积→多项式；因式分解：多项式→积）。 【知识点02.因式分解的基本方法】 一.提公因式法（最基础，优先使用） 1.公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定方法： 系数：取各项系数的最大公因数； 字母：取各项都含有的相同字母； 指数：取相同字母的最低次幂。 2.提公因式法法则：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式 × 另一个多项式的形式， 即 ma+mb+mc=m(a+b+c)。 3.注意事项： (1)提公因式要提尽，若提完后括号内还有公因式，需继续提取； (2)当多项式的某一项与公因式完全相同时，提公因式后该项变为1，不能省略； (3)当多项式的首项系数为负数时，先提负号，括号内各项要变号。 二.公式法（常用平方差、完全平方公式，需熟记公式形式） 1. 平方差公式 公式形式：a2−b2=(a+b)(a−b)； 适用条件：多项式是两项式，且两项都能写成平方的形式，符号一正一负（平方差特征：异号平方项）； 拓展：公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式，整体代换即可。 2. 完全平方公式 公式形式：完全平方和：a2+2ab+b2=(a+b)2； 完全平方差：a2−2ab+b2=(a−b)2； 合并特征：a2±2ab+b2=(a±b)2。 适用条件：多项式是三项式，且满足 “首平方、尾平方，首尾两倍中间放”（完全平方式特征：同号平方项 + 交叉倍项）； 关键判断：中间项是首项底数和尾项底数乘积的2倍，符号与中间项一致； 拓展：a、b可代表单项式或多项式，整体代换；常需先凑出完全平方式的形式。例：x2+6x+9=x2+2x3+32=(x+3)2； 4a2−12ab+9b2=(2a)2−22a3b+(3b)2=(2a−3b)2。 3. 公式法补充 熟记常见平方数 / 式：12=1，22=4，…，102=100；(x)2=x2，(2x)2=4x2，(xy)2=x2y2等； 公式逆用要灵活，先判断多项式是否符合公式特征，再套用。 【知识点03.十字相乘法】 核心：分解二次三项式，整式乘法逆运算，十字交叉凑一次项系数 前提：先提公因式，再用十字相乘法 一、基础型：x2+px+q（二次项系数 = 1） 1.找两个数：和为 p（一次项系数），积为 q（常数项） 2.写结果：x2+px+q(x+先第一个数)(x+第二个数) 3.符号技巧：q 正→两数同号（与 p 一致）；q 负→两数异号（大数与 p 同号） ✅例：x2−5x+6→找 - 2、-3（和 - 5，积 6）→(x−2)(x−3) 二、进阶型：ax2+bx+c（a1，整数系数） 1.拆系数：a=mn（二次项拆两数积），c=pq（常数项拆两数积） 2.十字验证：mq+np=b（交叉相乘再相加 = 一次项系数） 3.写结果：ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q) ✅例：2x2+7x+3→2=2×1，3=1×3→2×3+1×1=7→(2x+1)(x+3) 三、核心注意 1.必提公因式：先消公因数，简化分解 2.分解要验证：整式乘法回代，确认与原式一致 3.无整数解：所有拆法都凑不出一次项，即整数范围内不能分解 【知识点04.因式分解的一般步骤】 1.一提：先看多项式的各项是否有公因式，若有，先提取公因式（提公因式是所有因式分解的第一步，优先操作）； 2.二套：提取公因式后，观察剩余多项式的特征， 若为两项式，看是否符合平方差公式，套公式分解； 若为三项式，看是否符合完全平方公式，套公式分解； 3.三查：检查因式分解的结果，确保 分解彻底：结果中的多项式不能再继续因式分解； 是整式的积：无加减运算，只有乘法； 恒等变形：可通过整式乘法验证结果是否与原式一致。 【题型1.因式分解的概念辨析】 【典例】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 【跟踪专练1】下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是 （填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 【跟踪专练2】下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此即可判断求解，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、，从左到右是因式分解，该选项符合题意； 、，从左到右是整式的乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是多项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是单项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【题型2.由因式分解的结果求参数】 【典例】多项式x2 +mx+5因式分解得(x+5) (x+n) ，则m= 【答案】6 【分析】将展开得到n值，代入计算可得m值． 【详解】解：， ∴5n=5， ∴n=1， ∴， ∴m=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解题的关键是掌握运算法则和因式分解的定义． 【跟踪专练1】如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D ． 【跟踪专练2】已知多项式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 【题型3.公因式的概念与确定】 【典例】多项式的公因式是 ． 【答案】mn/ 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 【跟踪专练1】将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 【跟踪专练2】化简： ． 【答案】； 【分析】原式进行提取公因式，然后一步步的进行提取，最后计算即可得到结果． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，解题的关键在于能够熟练提取公因式进行求解. 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解． 直接通过提取公因式法进行因式分解． 【详解】 故选：B． 【跟踪专练1】已知，，则多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查因式分解和代数式求值．将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：． 【跟踪专练2】把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确变形并能找出公因式是解此题的关键． 通过提取公因式进行因式分解，注意符号变换. 【详解】原式为. 1. 处理符号：观察到， 原式可改写为： 2.提取公因式：两项均含公因式，提取后得： 3.验证选项： 选项B为，与上述结果一致. 其他选项符号或分解形式不符. 故选：B 【题型5.公式法分解适用条件判断】 【典例】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【跟踪专练2】下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】对于任意整数n，多项式都能被（    ）整除． A．9 B．2 C．11 D．n+9 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式因式分解，然后根据为整数可得结论． 【详解】解： , ∵n为整数， ∴为整数， 则多项式都能被9整除． 故选：A． 【跟踪专练2】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时， ； （2）不超过1010的所有“和谐数”之和为 ． 【答案】 14 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解“和谐数”的定义是解题的关键． （1）由题意可得，再由“和谐数”的定义得到，据此可得答案； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数），则可得，则“和谐数”一定是4的奇数倍，进而可得到不超过1010的所有“和谐数”一共有个，据此求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：14； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数）， ∴ ， ∵k为自然数， ∴一定时大于0的奇数， ∴“和谐数”一定是4的奇数倍， ∵， ∴不超过1010的所有“和谐数”一共有个， ∴不超过1010的所有“和谐数”之和为， 故答案为：． 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可． 【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式； B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式； C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式； D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式； 故选：B． 【跟踪专练1】若能用完全平方公式因式分解，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】∵能用完全平方公式因式分解为， ∴， 解得：或． 故答案为：或 【跟踪专练2】下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 【详解】解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 【题型8.公式法的综合运用】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】先求出一元二次方程的两个实数根，再因式分解即可． 【详解】解：时，解得或， ， 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握在实数范围内因式分解的方法，一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【跟踪专练1】下列多项式中是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键． 【详解】解：； ∴是多项式的因式； 故选A 【跟踪专练2】把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】先提取公因式，后套用公式分解即可． 【详解】∵ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解时先用提取公因式法，再用公式法分解是解题的关键． 【题型9.提公因式与公式法综合】 【典例】分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 【跟踪专练1】已知，则 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用．将式子因式分解后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：18． 【跟踪专练2】下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是判断是否分解正确且彻底．     对各选项逐一进行因式分解验证即可． 【详解】解：A.，A正确，符合题意． B.，原选项分解有误，B错误，不符合题意． C.，原选项未彻底分解，C错误，不符合题意． D.，原选项分解不彻底，D错误，不符合题意． 故选：A． 【题型10.实数范围内的因式分解】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【跟踪专练1】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型11.因式分解在简算中的应用】 【典例】计算的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先提取公因式，再确定符号即可． 【详解】解： ； 故选B 【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，熟练的提公因式是解本题的关键． 【跟踪专练1】在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪专练2】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 【题型12.十字相乘法分解因式】 【典例】把分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，采用十字相乘法直接分解即可． 【详解】可将分为， 故， 故答案为：． 【跟踪专练1】多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可． 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 【跟踪专练2】多项式，的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解 熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：， 多项式，的公因式是， 故答案为：． 【题型13.分组分解法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 【跟踪专练2】常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分组法分解因式．熟练掌握分组分解法依据，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，是解决问题的关键． 前三项分为一组，后一项分为一组，前三项先用完全平方公式分解，而后整体用平方差公式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 【题型14.因式分解的综合应用】 【典例】已知x﹣y＝2，xy＝3，则xy2﹣x2y的值为（    ） A．5 B．6 C．﹣6 D．12 【答案】C 【分析】先将xy2﹣x2y因式分解为﹣xy（x﹣y），然后再将x﹣y＝2、xy＝3代入求值即可． 【详解】解：∵x﹣y＝2，xy＝3， ∴xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y）＝﹣3×2＝﹣6， 故选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，对xy2﹣x2y进行因式分解是解答本题的关键． 【跟踪专练1】若正整数x，y满足，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．先把16移到等号右边，对等号左边的多项式分解因式，再根据是正整数，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y是正整数， ∴是正整数， ∴， ∴①，解得：（舍去）； ②，解得：． ∴． 故答案为：7． 【跟踪专练2】已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用得到；将代入n的表达式，转化为a的表达式；根据排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ， ． ∵， ∴，即． 将代入，得：． ∵， ∴，即，故．即， 因n为自然数，故n的最小值是13， 此时，此时，符合题意， 故选：C． 1．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 2．仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)另一个因式为，k的值为 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：4； （2）解：∵， ∴． 故答案为：1； （3）解：设另一个因式为，得， 则， ∴，， 解得，， ∴另一个因式为，k的值为． 3．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．分解因式： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的知识，特别是十字相乘法； （1）利用提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）利用十字相乘法求解即可； （3）利用十字相乘法求解即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 5．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 6．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查因式分解，主要使用提公因式法； （1）提取公因式，即可求解； （2）提取公因式，即可求解； （3）提取公因式，即可求解； （4）提取公因式，即可求解； （5）提取公因式，即可求解； （6）提取公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题06因式分解寒假预习讲义 预习目标 1.吃透因式分解的核心定义，分清它与整式乘法的“逆运算”关系，不混 淆、不踩坑： 2.熟练掌握提公因式法，精准锁定公因式，提得快、提得准： 3.牢记平方差、完全平方两大公式，灵活套用，轻松分解各类多项式： 4.学会综合运用两种方法，避开常见易错点，夯实基础，为新学期分式、 元二次方程学习抢占先机！ 预习内容概览 必备知识 1.因式分解的定义 2.因式分解的基本方法 点梳理 3.十字相乘法 4.因式分解的一般步骤 1.因式分解的概念辨析 2.由因式分解的解果求参数 3.公因式的概念与确定 4.提公因式法分解因式 常考题型 5.公式法分解适用条件判断 6.平方差公式分解因式 7完全平方公式分解因式 8.公式法的综合运用 精讲精炼 9提公因式与公式法综合 10.实数范围内的因式分解 11.因式分解在简算中的应用 12.十字相乘法分解因式 13.分组分解法分解因式 14.因式分解的综合应用 强化巩固 (解答题6题) 知识点梳理 【知识点01.因式分解的定义】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分 解，也叫把这个多项式分解因式。 )核心关键点： 1.因式分解的对象是多项式，单项式无需因式分解； 2.结果必须是整式的积（整式包括单项式和多项式）； 试卷第1页，共3页 3.因式分解是恒等变形，与整式乘法是互逆运算（整式乘法：积→多项式；因 式分解：多项式→积)。 【知识点02.因式分解的基本方法】 一，提公因式法（最基础，优先使用） 1.公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项 的公因式。公因式的确定方法： 系数：取各项系数的最大公因数： 字母：取各项都含有的相同字母： 指数：取相同字母的最低次幂 2.提公因式法法则：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 括号外面，将多项式写成公因式×另一个多项式的形式， 即ma+mb+mc=m(a+b+c)。 3.注意事项： (1)提公因式要提尽，若提完后括号内还有公因式，需继续提取： (2)当多项式的某一项与公因式完全相同时，提公因式后该项变为1，不能省 略； (3)当多项式的首项系数为负数时，先提负号，括号内各项要变号。 二·公式法（常用平方差、完全平方公式，需熟记公式形式） 1.平方差公式 公式形式：a-b'=(a+b)(a-b)； 适用条件：多项式是两项式，且两项都能写成平方的形式，符号一正一负（平 方差特征：异号平方项)： 拓展：公式中的、b可以是单项式，也可以是多项式，整体代换即可。 2.完全平方公式 公式形式：完全平方和：a+2ab+b2=(a+b: 完全平方差：a2-2ab+b2(a-b); 合并特征：a±2ab+b2=(a±b)2。 适用条件：多项式是三项式，且满足“首平方、尾平方，首尾两倍中间放” (完全平方式特征：同号平方项+交叉倍项)； 试卷第2页，共3页 关键判断：中间项是首项底数和尾项底数乘积的2倍，符号与中间项一致； 拓展：、b可代表单项式或多项式，整体代换；常需先凑出完全平方式的形 式。例：x2+6x+9=x2+2x3+32-(x+3)2: 4a2-12ab+9b2=(2a)2-22a3b+(3b)2=(2a-3b)2。 3.公式法补充 熟记常见平方数/式：12-1,22-4，…，102=100：(x)2=x2,(2x)2=4x2, (xy)2=x3y2等： 公式逆用要灵活，先判断多项式是否符合公式特征，再套用。 【知识点03.十字相乘法】 核心：分解二次三项式，整式乘法逆运算，十字交叉凑一次项系数 前提：先提公因式，再用十字相乘法 一、基础型：x+px+q(二次项系数=1) 1找两个数：和为p(一次项系数)，积为q（常数项) 2.写结果：x2+px+qd(x+先第一个数)x+第二个数) 3.符号技巧：q正→两数同号（与p一致）；q负→两数异号（大数与p同 号))例：x2-5x+6→找-2、-3（和-5，积6）→(x-2)(x-3) 二、进阶型：ax2+bx+c(a1,整数系数) 1拆系数：a=mn（二次项拆两数积)，c=pq(常数项拆两数积) 2.十字验证：mq+np=b（交叉相乘再相加=一次项系数)》 3.写结果：ax2+bx+c(mx+p)nx+q) V例：2x2+7x+3→2=2×1,3=1×3→2×3+1×1=7→(2x+1)x+3) 三、核心注意 1必提公因式：先消公因数，简化分解 2.分解要验证：整式乘法回代，确认与原式一致 3无整数解：所有拆法都凑不出一次项，即整数范围内不能分解 【知识点04.因式分解的一般步骤】 1.一提：先看多项式的各项是否有公因式，若有，先提取公因式（提公因式是 所有因式分解的第一步，优先操作)； 试卷第3页，共3页 2.二套：提取公因式后，观察剩余多项式的特征， 若为两项式，看是否符合平方差公式，套公式分解： 若为三项式，看是否符合完全平方公式，套公式分解： 3三查：检查因式分解的结果，确保 分解彻底：结果中的多项式不能再继续因式分解： 是整式的积：无加减运算，只有乘法： 恒等变形：可通过整式乘法验证结果是否与原式一致。 常考题型精讲精练 【题型1.因式分解的概念辨析】 【典例】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( A.6x2y3=2x2.3y 2+2x1=x2+ C.r-9=(x-3r+3) D.(x+2(x-3)=x2-x-6 【跟踪专练1】下列变形0x+1川x-川=-1：②a-2a+4=6a-2八：国 3abc3=3c·abc2；④ a2-6a=3a21-2） a: ⑤x2-16+6x=(x+4(x-4+6x中，是因式分 解的是（填序号） 【跟踪专练2】下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是() A.2aib-3abi-ab(2a-3) B.(x+(x-3)=x2-2x-3 C.x-3=(x+1(x-1-2 D.10a'b=2a-5ab 【题型2.由因式分解的结果求参数】 【典例】多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(+m),则m= 【跟踪专练1】如果把二次三项式x-x-3因式分解得 -cx-3=(x-川x+3列，那么常 试卷第4页，共3页 数c的值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 【跟踪专练2】已知多项式+m+n能分解为+r+gr+2x-3,则刀=一，9= 【题型3.公因式的概念与确定】 【典例】多项式m2n-mn的公因式是一. 【跟踪专练1】将3x一川-96x-”用提公因式法分解因式，应提取的公因式是() A.3a-b B.x-y 3(x-y) D.a-3b 【(跟踪专练2】化简：a+1+a(a++aa+1)2++aa+1)m- 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】将多项式㎡一m进行因式分解，结果正确的是（) A.m(m+1) B.m(m-1) C.-m(m-1) D.（m+(m- 【跟踪专练1】已知a+b=-5,ab=2,则多项式ab+ab2-a-b的值为 【跟踪专练2】把多项式m(n-2引-㎡(2-川因式分解得（) A.(n-2)(m2-m) B.m2-n(1-m C.m(n-2(m+1 D.m(2-n(1+m) 【题型5.公式法分解适用条件判断】 【典例】下列多项式中，能用公式法分解因式的是() A. B.+2 C.x2-2 D.x+ 【跟踪专练1】在多项式+少，少+，--y,2++月 4,-x2+2x-1, 4x2+1-4x中，能用公式法分解因式的有个. 试卷第5页，共3页 【跟踪专练2】下列各式：①-2-y:@1-,回，+b+:r+2w+y: ⑤2-x+ 4,可以用公式法分解因式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例)分解因式：r-36= 【跟踪专练1】对于任意整数，多顶式n+1-+2都能被《)整除。 A.9 B.2 C.11 D.n+9 【跟踪专练2】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数 4=22-0212=42-2220=62-42 为“和谐数”，如 ,因此，4,12,20这三个数都是 “和谐数”. (1)当28=m2- 时，m+n (2)不超过1010的所有“和谐数”之和为一· 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是() A.r-6x-9 B.4r2-4x+1 C.4r2+2x+1 D.4r2+1 【跟踪专练1】若9r-u-+2 能用完全平方公式因式分解，则的值为一· 【跟踪专练2】下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是() A.a-b2+2=(a+b1(a-b)+2 B.(x+3(x-2)=x2+x-6 C.4m2-9n2=(4m+9nl(4m-9nl D.2-4y+4=(y-2 【题型8.公式法的综合运用】 【典例】因式分解：x2+3x+1=一 试卷第6页，共3页 【跟踪专练1】下列多项式中是多项式4红+3 因式的是() A.x-1 B.x C.x+2 D.x+3 【跟踪专练2】把多项式y-4y+4y 分解因式的结果是一· 【题型9.提公因式与公式法综合】 【典例】分解因式a-4a的结果是( ) A.ala2+4) B.a(a-4) c.aa+2(a-2 D.ala2-1) 【跟踪专练1】已知a-b=-3,则2a2-4ab+2b2=一 【跟踪专练2】下列式子因式分解正确的是() A.r-5x+6=(x-2)(x-3到 B. 3x2y-6y+3y=3yx2-2x c.r-16=(2+4x2-4到 D.2r+4x=2(x2+2x 【题型10.实数范围内的因式分解】 【典例】因式分解：-3= 【跟踪专练1】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是() A.a2+1 B.a2-6a+9 C.+x D.a2-4 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式：x-9=一· 【题型11.因式分解在简算中的应用】 【典例】计算-2)0+（←2）22 的值是() A.-2 B.-22022 C.22022 D.2 【跟踪专练1】在算式：09-X93-》,②9-296-2，③96-4X95-) 试卷第7页，共3页 中，计算结果与972-3972-) 相同的是 (填写序号). 【跟踪专练2】已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc-b2+ab的值是() A.2 B.-2 C.15 D.-15 【题型12.十字相乘法分解因式】 【典例】把x2-8x+7分解因式的结果是一. 【跟踪专练1】多项式r-x-6 因式分解的正确结果是() A.r-x-6=xx-1-6 B.X-x-6=x-3到(x+2 C.-r-6=(x+3x-2 D.x-x-6=(x-6x+1) 【跟踪专练2】多项式m2-4,m2+m-6的公因式是一. 【题型13.分组分解法分解因式】 【典例】因式分解：+4少2-22-4y= 【跟踪专练1】下列式子中，属于2x3-x2+2x-1的因式的是() A.2 B.2x C.2x-1 D.2r+1 【跟踪专练2】常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用 上述方法就无法分解，如-20+y2-16」 通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形 后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： x2-2y+y2-16=x2-2y+y2）-16=(x-y)-4=(x-y+4(x-y-4),这种分解因式的 4x2+12xy+9y2-9= 方法叫分组分解法利用上述方法分解因式： 【题型14.因式分解的综合应用】 【典例】已知x-y=2,y=3,则y2-xy的值为() A.5 B.6 C.-6 D.12 试卷第8页，共3页 【跟踪专练1)若正整数，y满足-2”-8-16=0，则+y= 【跟踪专练2】已知实数，b满足4如+46=刀，b+8a=川，62a,川为自然数，则n的 最小值是() A.11 B.12 C.13 D.14 强化巩固通关 1.己知多项式r+a+b因式分解的结果为x+3x-4),求a,b的值。 2.仔细阅读下面例题： 已知二次三项式r+5x+m 一个因式是+2，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,+5x+m=(x+2(x+m 则+5x+m=2+(n+2x+2n 所以n+2=5,m=2n,解得：n=3,m=6. 另一个因式为x+3,m的值为6. 依照以上方法解答下列问题： )若二次三项式2-x-12可分解为x+3(x-4,则a= (2)若二次三项式2--6可分解为2x+3-2列，则B= (3)已知二次三项式 x2-9x-k 有一个因式是 2x-1,求另一个因式以及k的值。 3.在实数范围内分解因式： 0r+4+1 2)r2-4-2 4.分解因式： 03x-12 试卷第9页，共3页 (202-7a-8 同)-0-122 442-10a+25-2 5.简便计算 0192-19×40+202 2202-19+182-172+162-152++2-1 6.把下列各式分解因式： 04062-62 (2)-12abe+4ab+2abc 6)4ry2+8x2y-8y (④6x+x-)-x(x-y} (5 ma-b)-n(b-a) (6 mn(m-n)-m(n-m) 试卷第10页，共3页